专题04 三角函数重难点题型专训（13大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题04 三角函数重难点题型专训（13大题型+20道拓展培优） 题型一 利用定义求某角的三角函数值 题型二 由终边或终边上的点求三角函数值 题型三 由三角函数值求终边上的点或参数 题型四 由单位圆求三角函数值 题型五 三角函数定义的其他应用 题型六 特殊角的三角函数值 题型七 各象限角三角函数值的符号 题型八 三角函数线 题型九 已知三角函数值求角 题型十 诱导公式一 题型十一 诱导公式二、三、四 题型十二 诱导公式五、六 题型十三 三角函数的化简、求值--诱导公式 知识点一 三角函数 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 0 1 0 cos α 1 0 － － －1 tan α 0 1 － － 0 【经典例题一 】 【例1】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（    ）． A．的值越大，梯子越陡； B．的值越大，梯子越陡； C．的值越小，梯子越陡； D．陡缓程度与的三角函数值无关． 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．以上都不对 2．（24-25高一上·全国·课前预习）任意角三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标定义： ， ， ，其中 ，以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切．，，分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为 ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）当角为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角的正弦值和余弦值呢？怎样表示呢？ 【经典例题二 】 【例2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·北京海淀·期中）设角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）设角的终边上有一点，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值． 【经典例题三 】 【例3】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24高一下·北京·期中）已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【经典例题四 】 【例4】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 1．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为 . 3．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【经典例题五 】 【例5】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为 . 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P． (1)如图，若，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标为，求的值． 【经典例题六 】 【例6】（24-25高一上·北京·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 1．（2024·山西太原·一模）设，条件：，条件：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·北京延庆·期中）计算： ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 【经典例题七 】 【例7】（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（24-25高一上·上海·课后作业）的值是 .（填“正数”“负数”或“零”） 3．（24-25高一·全国·课堂例题）角的正弦值为正数，角一定是第一或第二象限角吗？角的正切值为正数，角一定是第一或第三象限角吗？ 【经典例题八 】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 2．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，角的终边与单位圆交于点P，过点P作轴于点M，过点A作单位圆的切线交的反向延长线于点T，则有 . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 【经典例题九 】 【例9】（22-23高一上·河北保定·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高三上·陕西·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海·课前预习）若，，则 ； 若，，则 ； 若，，则 ； 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设关于x的方程. (1)当时，求方程的解； (2)若命题“关于x的方程有解的充要条件是”是真命题，求实数k的取值范围. 【经典例题十 】 【例10】（23-24高一上·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东湛江·期末） ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别求和的值． 【经典例题十一 】 【例11】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试） （    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）若，则=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则 3．（23-24高一下·新疆喀什·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 【经典例题十二 】 【例12】（23-24高三上·四川乐山·开学考试）若，则（ ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山东·阶段练习）已知，则的值为 . 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，求的值. 【经典例题十三 】 【例13】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）计算： ． 3．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）命题“”的否定是.（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 6．（22-23高一下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点，过点，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设，，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24高一下·广西·开学考试）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 9．（23-24高一上·湖北荆门·期末）下列计算结果为有理数的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河南南阳·期中）下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·课前预习）如图，在，设锐角对边为，对边为，对边为， ， ， . 12．（江苏省栟茶高级中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷）已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为 ． 13．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知角的终边上一点，且，则 . 14．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知，则 . 15．（24-25高三上·北京房山·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ． 16．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值（可以用计算器）： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25高一上·上海·课后作业）若是方程的解，求. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）用诱导公式求值： (1)； (2)； (3)； (4). 19．（23-24高一·上海·课堂例题）利用诱导公式，分别求角和的正弦、余弦及正切值． 20．（23-24高一上·福建三明·期末）已知 (1)求的值； (2)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数重难点题型专训（13大题型+20道拓展培优） 题型一 利用定义求某角的三角函数值 题型二 由终边或终边上的点求三角函数值 题型三 由三角函数值求终边上的点或参数 题型四 由单位圆求三角函数值 题型五 三角函数定义的其他应用 题型六 特殊角的三角函数值 题型七 各象限角三角函数值的符号 题型八 三角函数线 题型九 已知三角函数值求角 题型十 诱导公式一 题型十一 诱导公式二、三、四 题型十二 诱导公式五、六 题型十三 三角函数的化简、求值--诱导公式 知识点一 三角函数 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 0 1 0 cos α 1 0 － － －1 tan α 0 1 － － 0 【经典例题一 】 【例1】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（    ）． A．的值越大，梯子越陡； B．的值越大，梯子越陡； C．的值越小，梯子越陡； D．陡缓程度与的三角函数值无关． 【答案】A 【分析】直接由三角函数的定义以及实际意义即可得解. 【详解】根据“锐角的正弦、余弦、正切”的定义，点A竖立墙面的距离是“常数”； 对于A，的值越大，越大，梯子越陡，正确； 对于B，的值越大，越小，梯子越缓，错误； 对于C，的值越小，越小，梯子越缓，错误； 对于D，根据的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，错误． 故选：A. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．以上都不对 【答案】C 【分析】直接由正切的定义即可求解. 【详解】若是直角，则， 若是直角，则， 综上，故C选项满足题意，ABD不满足题意. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）任意角三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标定义： ， ， ，其中 ，以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切．，，分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为 ． 【答案】 三角函数 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课前预习）当角为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角的正弦值和余弦值呢？怎样表示呢？ 【答案】答案见解析 【详解】用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点作单位圆的切线，借助有向线段， 则有向线段MP，OM，AT就分别等于，， 【经典例题二 】 【例2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 故选：C. 1．（23-24高一下·北京海淀·期中）设角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】. 故选：C. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）设角的终边上有一点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义求出，即得解. 【详解】根据题意，， ，， . 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值． 【答案】答案见解析 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】设为坐标原点，则， 根据任意角三角函数的定义， ，，， 【经典例题三 】 【例3】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得. 【详解】点是第二象限的角终边上的一点，则， 由，得，所以. 故选：C 1．（23-24高一下·北京·期中）已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得. 【详解】由角终边上一点，得，因此，解得， 所以的值为. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可. 【详解】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解. 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 【经典例题四 】 【例4】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义得到，再逐一分析各弧度对应的坐标情况即可得解. 【详解】依题意，设点的坐标为， 所以由三角函数的定义可得， 因为，即， 对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误； 对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误； 对于D，在第四象限，且，则，所以，满足题意，故D正确. 故选：D. 1．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，得到坐标. 【详解】相遇时间为秒， 故转过的角度为， 故对应坐标为，即. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解. 【详解】因为，可知角与角的终边相同， 且，， 所以角与单位圆的交点坐标为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 【经典例题五 】 【例5】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合余弦函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立， 当时，，，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 1．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由时，；时，，验证排除可得解. 【详解】通过分析可知当 时，点到轴距离为，于是可以排除答案选项A，D； 再根据当时，可知点在轴上，此时点到轴距离为0，排除答案B. 故选：C． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为 . 【答案】 【分析】利用锐角三角函数的正弦值的定义可求解. 【详解】在中，斜边的长为m，， 所以，所以.    故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P． (1)如图，若，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，则，求得即可得出的坐标； （2）由题意设，结合条件求出的坐标，利用三角函数的定义求出. 【详解】（1） 过点作于点， 若，则， 又，则， 由题意点在第四象限，所以的坐标为. （2）由题意设， ∵点在单位圆上，且在x轴下方， ∴，且，解得， ∴. 【经典例题六 】 【例6】（24-25高一上·北京·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数先求出该点坐标，关于y轴对称后，y不变，x相反 【详解】∵， ∴， 关于轴对称点的坐标是． 故选：A． 1．（2024·山西太原·一模）设，条件：，条件：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合特殊角的三角函数值，根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当，，，， 而得或，或，则正向可以推出，反向无法推出； 所以是的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一下·北京延庆·期中）计算： ． 【答案】0 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】， 故答案为：0. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 【答案】(1). (2)或. (3)或 【分析】根据特殊角的三角函数值，根据不同的定义域，得到不同的自变量. 【详解】（1），，所以； （2），，所以或； （3），，得或， 所以取值集合为或. 【经典例题七 】 【例7】（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可. 【详解】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）的值是 .（填“正数”“负数”或“零”） 【答案】负数 【分析】利用三角函数值在各个象限的符号即可求解. 【详解】， ， . 故答案为：负数. 3．（24-25高一·全国·课堂例题）角的正弦值为正数，角一定是第一或第二象限角吗？角的正切值为正数，角一定是第一或第三象限角吗？ 【答案】答案见解析 【详解】角的正弦值为正数，角的终边可能在轴非负半轴上； 由角的三角函数值符号确定角时，可能为轴线角，这是易忽视的地方； 角的正切值为正数，角一定是第一或第三象限角． 【经典例题八 】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 1．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函数线，如图1所示， 则，因为，所以，所以A错误；      对于B中，若，是第二象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图2所示，则，所以，所以B错误；    对于C中，若，是第三象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图3所示，则，所以，所以C错误；    对于D中，若，是第四象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图4所示，则，所以，所以D正确. 故选：D.    2．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，角的终边与单位圆交于点P，过点P作轴于点M，过点A作单位圆的切线交的反向延长线于点T，则有 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据正弦线的作法即可作出（1）（2）的正弦线； （3）在上，和终边相同的角是，再作出正弦线即可. 【详解】（1）如图所示，正弦线为 （2）如图所示，正弦线为 （3）因为，所以的正弦线和的正弦线一样，如图所示，正弦线为 【经典例题九 】 【例9】（22-23高一上·河北保定·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，或，推不出； 当时，必有， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 1．（24-25高三上·陕西·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊余弦值的通式表示，结合必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】可得,故充分性不成立， 当可得，故必要性成立 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课前预习）若，，则 ； 若，，则 ； 若，，则 ； 【答案】 【分析】根据特殊三角函数值即可求解. 【详解】若，，则； 若，，则； 若，，则. 故答案为：；；. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设关于x的方程. (1)当时，求方程的解； (2)若命题“关于x的方程有解的充要条件是”是真命题，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出，得到方程的解； （2）化简得到，根据题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴，， 方程的解为. （2）原方程可化为， 即. 又由真命题：有解的充要条件是， 得方程有解的充要条件， 化简，得， ∴， ∴或， ∴k的取值范围为. 【经典例题十 】 【例10】（23-24高一上·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【详解】. 故选：B. 1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【详解】. 故选：C. 2．（23-24高一下·广东湛江·期末） ． 【答案】/ 【分析】根据题意利用诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别求和的值． 【答案】 【分析】分奇数和偶数讨论即可. 【详解】因为角的终边在轴上，所以 当为偶数，即时， 当为奇数，即时， 综上所示. 【经典例题十一 】 【例11】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试） （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：B. 1．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化简条件即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：B 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则 【答案】 【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 3．（23-24高一下·新疆喀什·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用诱导公式化简成特殊角即可得解. 【详解】（1）. （2） . （3）∵，， ， ∴. 【经典例题十二 】 【例12】（23-24高三上·四川乐山·开学考试）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】由，得. 故选：B. 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化解即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（22-23高一下·山东·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】. 故答案为： 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用指数对数的运算计算化简求解可得答案； （2）利用诱导公式、平方关系、弦化切化简计算可得答案. 【详解】（1） ； （2）原式 . 【经典例题十三 】 【例13】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求得，结合选项可得结论. 【详解】因为的终边经过点， 所以， 所以角的一个可能值为. 故选：B. 1．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】由三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 3．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简结合三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得， 即， 由三角函数定义知，， 故原式. （2）由题意， 故. 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意，. 故选：C 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）命题“”的否定是.（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得出答案. 【详解】命题“”的否定是： . 故选：D. 4．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合特殊角的余弦值即可求解. 【详解】. 故选：C 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状. 【详解】因为 所以， 可得， 又因为， 所以，则，所以一定是等腰三角形． 故选：C． 6．（22-23高一下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点，过点，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设，，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】结合三角函数的定义，逐项判断即可得结论. 【详解】由题意可知 若，则，则，故A，B正确； 若，则，故C错误； 若，则，所以，故D错误. 故选：AB. 7．（23-24高一下·广西·开学考试）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】 利用三角函数定义逐项求解判断. 【详解】由，得，解得（负值舍去），则正确. 由，得，则B，D正确. 由，得，解得，则错误. 故选：ABD 8．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项运用图形可判断；B选项可用三角函数定义判断；C选项可判断；D选项可知道,再利用中点坐标公式可判断. 【详解】，，A正确； 由题意，为的中点 则， 所以点的坐标为，故B错误; 由，可得，故C正确; 由于， 利用三角函数的定义，则; 所以，故D正确; 故选:ACD. 9．（23-24高一上·湖北荆门·期末）下列计算结果为有理数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐一计算结果进行判断即可. 【详解】因为：为有理数； 为有理数； 为有理数； 为无理数. 故选：ABC 10．（23-24高一下·河南南阳·期中）下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】直接利用三角函数的诱导公式分析四个选项得答案． 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C正确；，故D错误． 故选：BC 11．（24-25高一上·上海·课前预习）如图，在，设锐角对边为，对边为，对边为， ， ， . 【答案】 【分析】略 【详解】略 12．（江苏省栟茶高级中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷）已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设点是角的终边上的任意一点（除原点外），求出点关于对称的点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得； 【详解】解：设点是角的终边上的任意一点（除原点外），则其关于直线的对称点为； 已知角的终边与角的终边关于直线对称，所以点必在角的终边上， 由三角函数的定义有，又， 所以，因为 所以， 所以的最大值为 故答案为： 13．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 故答案为: . 14．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 15．（24-25高三上·北京房山·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据角关于轴对称的特点即可得到答案. 【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以， 所以. 故答案为：. 16．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值（可以用计算器）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据特殊角的三角函数值或计算器，计算即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）若是方程的解，求. 【答案】或， 【分析】将代入方程再根据特殊值求角可得答案. 【详解】由题意，将代入方程，得到， ∴，， 则或，. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）用诱导公式求值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）利用诱导公式，分别求角和的正弦、余弦及正切值． 【答案】答案见解析 【分析】综合运用诱导公式，将大角化小，负角变正，将题目中的角转化成锐角三角函数求解. 【详解】， ，则； ， ，则 20．（23-24高一上·福建三明·期末）已知 (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果； （2）利用即可得到结果. 【详解】（1）由诱导公式得：， 所以． （2）由（1）得，由，得． 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$