专题01 周期变化重难点题型专训（1大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题01 周期变化重难点题型专训（1大题型+20道拓展培优） 题型一 周期现象 知识点一 周期变化的应用 自然界中存在着丰富的周期变化，利用这些变化的周期性可以帮助人类解诀许多问题．例如，利用海水的潮汐发电，可解决能源紧张问题；利用候鸟的迁徙现象，可帮助人类研究生物的演变过程；利用一年四季的周期变化，可帮助农民种植农作物． 各种周期变化中，事物变化或者变化发生的重复出现，从数学的角度来研究，实际上是其中某些变量经过一个固定的时间间隔会出现重复变化，这个时间间隔就是周期． 【经典例题一 】 【例1】．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）钟表的分针每小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ 1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）下列现象不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间 2．（20-21高一下·全国·课后作业）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 3．（21-22高一下·全国·课后作业）如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是（    ） A． B．T C． D． 4．（22-23高一下·全国·课后作业）下列现象是周期现象的是（    ） ①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 5．（2022高二下·广西·学业考试）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“转体720度”是转体（    ）． A．1周 B．2周 C．3周 D．4周 6．（21-22高二下·山东烟台·阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方 C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米 7．（21-22高三上·山东菏泽·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方 C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米 D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米 8．（21-22高一下·全国·课后作业）下列现象是周期现象的是（    ） A．挂在弹簧下方作上下振动的小球 B．游乐场中摩天轮的运行 C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D．每四年出现一个闰年 9．（21-22高一下·全国·课后作业）王涛今年岁了，请问下面他班的哪个年龄的老师跟他属相不同（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·四川南充·阶段练习）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 11．（20-21高一下·上海·课后作业）自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转 周． 12．（2022春·广西钦州·高一校考阶段练习）下列现象不是周期现象的是 a．“春去春又回” b．钟表的分针每小时转一圈 c．“哈雷彗星”的运行时间 d．某同学每天上数学课的时间 13．（2022春·河南南阳·高一校考阶段练习）如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是 14．（23-24高一下·陕西·阶段练习）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、末，申、酉、咸、亥为地支．把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对五、丙对寅、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先旿环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2020年是庚子年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是 15．（2023·全国·高三专题练习）奇函数满足，当时，，则= 16．（22-23高一下·全国·课后作业）水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？ 17．（2022秋·四川成都·高三校考期中）定义在R上的奇函数满足，若当时，，则 18．（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数为奇函数，且对任意的，恒成立，当时，，则 19．（2022秋·河北廊坊·高一校考阶段练习）已知奇函数对任意都有，则 20．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 周期变化重难点题型专训（1大题型+20道拓展培优） 题型一 周期现象 知识点一 周期变化的应用 自然界中存在着丰富的周期变化，利用这些变化的周期性可以帮助人类解诀许多问题．例如，利用海水的潮汐发电，可解决能源紧张问题；利用候鸟的迁徙现象，可帮助人类研究生物的演变过程；利用一年四季的周期变化，可帮助农民种植农作物． 各种周期变化中，事物变化或者变化发生的重复出现，从数学的角度来研究，实际上是其中某些变量经过一个固定的时间间隔会出现重复变化，这个时间间隔就是周期． 【经典例题一 】 【例1】．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】根据分针与时针的特点求解即可. 【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合13次. 故选：C. 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期函数图像的特点，即图像具有重复性，即可判断出答案． 【详解】因为C选项中之间的图像在前后都没有重复出现， 所以C选项的函数图像不具有周期性， 故选：C． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 【答案】4 【分析】分析运动的过程，先求出半个周期，即可求出整个周期. 【详解】简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间t1=0.5，因过N点后再经过t2=1质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，所以振子从O点经过N点到最大位置，再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2，为半个周期，因此，质点振动的周期是T=2×2=4. 故答案为：4. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）钟表的分针每小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ 【答案】是 【分析】根据周期变化的定义分析可得结论. 【详解】解：根据题意，钟表的分针每小时转一圈， 即钟表的分针每小时转一圈，分针会重复出现在同一位置，具有“周而复始”的变化规律， 符合周期变化的定义，其变化是周期变化. 1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）下列现象不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间 【答案】D 【分析】根据周期现象的定义逐一判断四个选项的正误即可得符合题意的选项., 【详解】对于A：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象； 对于B：分针每隔一小时转一圈，是周期现象； 对于C：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象； 对于D：某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象， 故选：D. 2．（20-21高一下·全国·课后作业）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 【答案】B 【分析】利用时钟的周期为60分钟,分析100分是多少个周期,由此即可得到答案. 【详解】一个周期是60分钟,则100分钟是一个周期,故100分钟后分针指在10点处. 故选：B 3．（21-22高一下·全国·课后作业）如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是（    ） A． B．T C． D． 【答案】B 【分析】利用周期的特点判断. 【详解】整个运动刚好是一个周期， 所以经历的时间是一个周期T， 故选：B 4．（22-23高一下·全国·课后作业）下列现象是周期现象的是（    ） ①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【分析】对四种自然现象一一分析，即可得到答案. 【详解】①每天日出日落，周期为一天；②潮汐是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动；而③海啸和④地震是随机现象. 故选：A 5．（2022高二下·广西·学业考试）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“转体720度”是转体（    ）． A．1周 B．2周 C．3周 D．4周 【答案】B 【分析】根据转体动作名称的实际意义得解. 【详解】在现实中，“转体720度”是转体2周， 故选：B. 6．（21-22高二下·山东烟台·阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方 C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米 【答案】ABC 【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案. 【详解】设水面为， 过作直径，垂足为， 依题意米，所以，， 第一次到达最高点需要的时间为秒，A选项正确. 根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，B选项正确. 当水轮转动秒时，位置与秒时相同， 秒转过的角度为， 如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，C选项正确. 当水轮转动秒时，位于的位置，距离水面米，D选项错误. 故选：ABC 7．（21-22高三上·山东菏泽·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方 C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米 D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米 【答案】BC 【分析】利用周期和角度的关系求解. 【详解】如图所示： 作OM垂直于水面， 则OM=1.8，,, A.点第一次到达最高点需要转，时间是，故错误； B.，则点在水面的上方的时间是，故正确； C.，则点P转动了，点P在图中位置，在水面上方，点距离水面米，故正确； D. 当水轮转动秒时，转动了，点P在图中位置，在水面下方，点距离水面1.8米， 故选：BC 8．（21-22高一下·全国·课后作业）下列现象是周期现象的是（    ） A．挂在弹簧下方作上下振动的小球 B．游乐场中摩天轮的运行 C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D．每四年出现一个闰年 【答案】ABD 【分析】由周期现象定义直接判断即可. 【详解】周期现象是指间隔相等而重复出现的现象，由此可知ABD均为周期现象，C不是周期现象. 故选：ABD. 9．（21-22高一下·全国·课后作业）王涛今年岁了，请问下面他班的哪个年龄的老师跟他属相不同（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据周期为直接判断即可. 【详解】有生肖，属相是每年循环一次； 对于A，；对于B，； 对于C，；对于D，， 故选：ABC. 10．（22-23高一下·四川南充·阶段练习）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 【答案】ACD 【分析】根据已知可作出顶点的运动轨迹，可知轨迹为两个圆，结合图象可知A正确，B错误；结合圆的周长和面积求法可求得轨迹长度和围成区域面积，知CD正确. 【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示， 对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确； 对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误； 对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确； 对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和， 即所求面积为，D正确. 故选：ACD. 11．（20-21高一下·上海·课后作业）自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转 周． 【答案】 【分析】通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果. 【详解】两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿， 当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿， 小轮转动周. 故答案为：. 12．（2022春·广西钦州·高一校考阶段练习）下列现象不是周期现象的是 a．“春去春又回” b．钟表的分针每小时转一圈 c．“哈雷彗星”的运行时间 d．某同学每天上数学课的时间 【答案】d 【分析】根据周期现象的定义逐一判断四个选项的正误即可得符合题意的选项., 【解析】对于a：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象； 对于b：分针每隔一小时转一圈，是周期现象； 对于c：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象； 对于d：某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象， 故选：d. 13．（2022春·河南南阳·高一校考阶段练习）如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是 【答案】T 【分析】利用周期的特点判断. 【解析】整个运动刚好是一个周期，所以经历的时间是一个周期T， 14．（23-24高一下·陕西·阶段练习）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、末，申、酉、咸、亥为地支．把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对五、丙对寅、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先旿环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2020年是庚子年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是 【答案】己巳年 【分析】由题意2020年是干支纪年法中的庚子年，则2049的天干为己，地支为已，即可求出答案． 【解析】天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，2020年是干支纪年法中的庚子年，而，所以2049的天干为己，地支为已， 15．（2023·全国·高三专题练习）奇函数满足，当时，，则= 【答案】 【分析】由，可得到函数的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将转化为，代入函数解析式求解即可. 【解析】已知奇函数满足， 是以4为周期的奇函数， 又当时，， ， 16．（22-23高一下·全国·课后作业）水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？ 【答案】1920升 【分析】先判断出水车转到的周期，即可计算出1小时内最多盛水量. 【详解】因为1小时分钟分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水（升，）所以水车1小时内最多盛水（升）． 17．（2022秋·四川成都·高三校考期中）定义在R上的奇函数满足，若当时，，则 【答案】－3 【分析】首先确定函数的周期，再利用函数的周期和奇函数的性质，求函数值. 【解析】因为函数是奇函数，所以， 因为，所以， 所以，所以函数是周期的函数， 所以. 18．（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数为奇函数，且对任意的，恒成立，当时，，则 【答案】 【分析】由奇函数的定义和恒成立，推得的最小正周期为4，结合所给的解析式，计算可得所求值. 【解析】由函数为奇函数，可得. 对任意的，恒成立， 可得，即有， 所以是周期函数，且4为其周期， 所以. 当时，，可得， 所以， 则. 19．（2022秋·河北廊坊·高一校考阶段练习）已知奇函数对任意都有，则 【答案】0 【分析】由，两式相减得函数周期为12，即可得. 分别令条件等式中，结合奇函数的性质即可得. 【解析】奇函数对任意都有 ①，则 ②， ①-②得，故函数的周期为12，则. 由，又由为奇函数得，故，由，，故. 故答案为：0 20．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是 【答案】 【分析】根据函数的周期及函数为奇函数，分段求解函数的解析式即可. 【解析】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，， 设，则， 所以， 设，则，, 故. 综上可得，函数在上的解析式是， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$