13.1 命题与证明（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

13.1 命题与证明 数学（冀教版） 八年级 上册 第十三章 全等三角形 学习目标 1.理解并掌握命题的定义、构成、写法、分类； 2.理解并掌握证明的概念； 3.理解互逆命题和互逆定理的概念，会写出一个命题的逆命题； 讲授新课 知识点一 命题、定理 1.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 2.等式两边加同一个数，结果仍是等式。 3.对顶角相等。 分析下列语句： 以上语句都是对一件事情作出“是”或“不是”的判断。 讲授新课 1.画线段AB= CD。 2.点P在直线AB外。 3.对顶角相等吗？ 分析下列语句： 以上语句没有对事情作出“是”或“不是”的判断，只是对事情进行了描述。 命题的定义 判定一件事情的语句，叫做命题. 讲授新课 2.同位角相等。 3.连接A、B两点。 下列哪句是命题？ 1.熊猫没有翅膀。 4.两条直线相交有几个交点？ 讲授新课 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 命题的构成 此命题分成两部分： 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 已知项 由已知项推出的事项 讲授新课 命题的构成 命题由题设和结论组成。题设是已知项，结论是由已知项推出的事项。 两直线平行，同位角相等。 题设 结论 讲授新课 1.如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。 指出下列命题的题设和结论 2.如果a > b ，b > c，那么a > c。 3.如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式。 讲授新课 “两条平行线被第三条直线所截，内错角相等” 可以写成“如果两条平行线被第三条直线所截， 那么内错角相等”。 命题的书写形式 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 讲授新课 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式： （1）垂直于同一直线的两直线平行； （2）对顶角相等。 （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 （1）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； 小结：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变。改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨。改写过程中，可适当增加词语，切不可生搬硬套。 讲授新课 下列语句是命题吗？它们的共同特点是什么？ （1）如果两个角互补，那么它们是邻补角； （2）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除。 这两个语句都是命题，它们的共同特点是题设成立时， 不能保证结论一定成立，它们都是错误的命题。像这 样的命题叫做假命题。 讲授新课 命题的分类 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题. 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 讲授新课 下列命题，哪些是真命题，哪些是假命题： （2）如果∠1= ∠2，∠2= ∠3，那么∠1= ∠3； （3）若xy=0，则x=0； （4）大于直角的角是钝角. （1）如果AC=BC，那么C是线段AB的中点； 假命题 真命题 假命题 假命题 讲授新课 1.定理的概念 一些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。 基本知识 —定理 真命题 基本事实 定理 2.定理的作用 定理可以作为推理的依据。 基本事实和定理都可以作为推理的依据。 讲授新课 知识点二 证明 a b 问题一：通过观察,图中两条直线a，b长度的大小关系? 方法一：测量 存在误差！ 讲授新课 问题二：通过观察,先猜想结论,再动手验证: 如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行? 直观是重要的,但它有时也会骗人. 方法二：目测（直观） 错觉！ b a d c 讲授新课 问题三：当n=0,1,2,3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是7,5,5,7,11,它们都是质数．那么,命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗? 当n=6时， n2-3n+7=25不是质数. 方法三：列举 举不胜举！ 讲授新课 如何判断一个命题是真命题？ 方法一：测量 存在误差！ 方法二：目测（直观） 错觉！ 方法三：列举 举不胜举！ 讲授新课 方法四：通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实; 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明. 如何判断一个命题是真命题？ 证明 讲授新课 【注意】证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内. 【例1】已知，如图1-12，DE∥BC，∠1=∠E.求证：BE平分∠ABC. 讲授新课 【点睛】证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 1、如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c. 证明： ∵a⊥b（已知）, ∴∠1=90º（垂直定义） 又b∥c（已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∴∠2=∠1=90º（等量代换） ∴a⊥c（垂直的定义） 讲授新课 2、在下面括号内，填上推理的根据. 已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2.求证：BE∥CF. 证明： ∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知） ∴ = =90°（ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴ = （等式性质） ∴BE∥CF（ ） ∠ABC ∠BCD 垂直的定义 内错角相等，两直线平行 ∠EBC ∠BCF 讲授新课 典例精析 【例2】如图，已知BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD.求证：AB∥CD. 证明：∵BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD(已知)， ∴∠1＝ ∠ABC， ∠2＝ ∠BCD(角平分线的定义)． ∵BE∥CF(已知)， ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)， ∴ ∠ABC＝ ∠BCD， 即∠ABC＝∠BCD， ∴AB∥CD(内错角相等，两条直线平行)． 讲授新课 练一练 1.如图，∠B＝∠C，AB∥EF.求证：∠BGF＝∠C. 证明：∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∵AB∥EF， ∴CD∥EF. ∴∠BGF＝∠C 讲授新课 2.如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°.求证：BC∥DE. 证明：∵AB∥CD，∠B＝40°， ∴∠B＝∠C＝40°， 又∵∠D＝40°， ∴∠C＝∠D， ∴BC∥DE 讲授新课 知识点三 互逆命题与互逆定理 假 a＝b a2＝b2 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 真 a2＝b2 a＝b ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 真 两直线平行 同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行。 真 同位角相等 两直线平行 ⑴两直线平行，同位角相等。 真假 结论 条件 命题 观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？ 讲授新课 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 ⑵同位角相等，两直线平行。 ⑴两直线平行，同位角相等。 原命题 逆命题 互为逆命题 讲授新课 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。 题设：一个三角形是直角三角形。 结论：它的两个锐角互余。 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。 讲授新课 结论：它的每个角都等于60°。 题设：一个三角形是等边三角形。 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。 2.等边三角形的每个角都等于60°。 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形。 讲授新课 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。 3. 全等三角形的对应角相等。 题设：两个三角形是全等三角形。 结论：它们的对应角相等。 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等。 讲授新课 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。 4.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 题设：一个点到一个角的两边距离相等。 结论：它在这个角的平分线上。 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等。 讲授新课 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。 5.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上。 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等。 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 当堂检测 1.如图，已知AD∥BE，∠1＝∠2.求证：∠A＝∠E. 证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵∠1＝∠2， ∴AC∥DE， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠A＝∠E 当堂检测 2.如图所示，已知BE是一条直线，∠ABD＝∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE.求证：BF∥DG. 证明：∵∠ABD＝∠CDE， BF平分∠ABD，DG平分∠CDE， ∴ ∠FBD＝ ∠ABD， ∠GDE＝∠CDE， ∴∠FBD＝∠GDE， ∴BF∥DG 当堂检测 3.如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由． 解：AE∥DC， 理由：∵AB∥DE， ∴∠1＝∠AED. ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AED， ∴AE∥DC 当堂检测 4.如图所示，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由． 解：∠A＝∠F， 理由∵∠AGB＝∠EHF， ∴∠AGB＝∠AHC，∴BD∥CE， ∴∠ABD＝∠C. ∵∠C＝∠D， ∴∠ABD＝∠D， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠F 当堂检测 5.如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE.求证：∠1＝∠2. 证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB， ∴CD∥GF， ∴∠DCB＝∠2. ∵∠B＝∠ADE， ∴DE∥BC， ∴∠1＝∠DCB， ∴∠1＝∠2 当堂检测 6.如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1，求证：AD平分∠BAC. 证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G(已知)， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°(垂直的定义)， ∴AD∥EG(同位角相等，两直线平行)， ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)， ∠E＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 又∵∠E＝∠1(已知)， ∴∠2＝∠3(等量代换)， ∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)． 当堂检测 7、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题。 1.同旁内角互补，两直线平行。 2.如果两个角都是直角，那么这两个角相等。 逆命题：两直线平行，同旁内角互补。 真命题 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角。 假命题 3.如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除。 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5。 假命题 课堂小结 1.命题的定义 2.命题的构成 4.命题的分类 3.命题的书写形式 基本知识 定理 命题 课堂小结 ※一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 ※如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。 注意 1.原命题为真命题，逆命题不一定是真命题。但逆定理一定是真命题。 2.不是所有的定理都有逆定理。 谢 谢~ $$