第二十七章 圆与正多边形 知识归纳与题型突破（21类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十七章 圆与正多边形知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点02．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点03．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点04．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点05．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点06．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点07．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点08．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点09．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点10．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点11、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 知识点12、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 03 题型归纳 题型一　圆的基本概念 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 2．如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 3．如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （   ） ① 和 都是劣弧； ②是 中最长的弦； ③，， 三点能确定一个圆； ④ 的半径为 ． A． B． C． D． 巩固训练 1．下列命题中，正确的是（   ） A．相等的圆心角所对弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 2．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是 ． 3．如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 题型二　求一点到圆上点距离的最值 4．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 5．在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（   ） A．4 B．2 C． D．2 6．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．10或6 2．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于 ． 3．如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由． 题型三　圆的周长和面积问题 7．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 8．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 巩固训练 1．如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（    ） A． B． C． D． 2．滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．    3．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．（π取3） （1）求塑胶地面休闲区的面积； （2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值． 题型四　利用垂径定理求值 10．如图，在中，弦于点C，，，则的长为（   ） A．17 B．15 C． D．3 11．如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 12．如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，已知是的半径，于点C，，的直径为10，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 3．如图，已知为直径，是弦，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型五　垂径定理的推论 13．下列命题中是真命题的为（　　） A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．相等的弧所对的弦相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 14．如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 15．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（　　）    A．2 B．3 C．5 D．6 2．如图，为的直径，为弦的中点，若，且，则的长是 ． 3．如图，已知在半圆中，，，，求的长． 题型六　垂径定理的实际应用 16．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 17．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（   ） A．5米 B．4米 C．3米 D．2米 18．赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为40米，主拱高约10米，则桥弧所在圆的半径为（    ） A．25米 B．30米 C．35米 D．50米 巩固训练 1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（    ） A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸 2．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 3．如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (1)求此下水管横截面的半径： (2)随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 题型七　圆心角概念 19．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 20．如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为（　　） A．43° B．44° C．45° D．46° 21．下列说法正确的是（     ） A．等弧所对的圆心角相等 B．优弧一定大于劣弧 C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等 巩固训练 1．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ． 3．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 题型八　利用弧、弦、圆心角的关系求解 22．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    3．如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 题型九　圆周角定理 25．如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（   ） A． B． C． D． 26．如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 27．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，弦的长等于的半径，为优弧，则为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，三点在上，．则 ． 3．如图，在中，，于点D，于点E． (1)求证：． (2)若，求长． 题型十　90度的圆周角所对的弦是直径 28．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 29．已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．将一个含角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在中，，，，点为线段上一动点，以为直径，作交于点，则的最小值为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 2．木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的直径．如图，他将角尺的直角顶点放在圆周上，角尺的两条直角边分别与相交于点、，若度量出，，则的直径是 ． 3．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 题型十一　圆内接四边形定理 31．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 32．如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 33．如图，点A，B是上的两个定点，构成等边，点C是上的一个动点，不与点A，B重合，则的大小为（    ） A． B． C．或 D． 或 巩固训练 1．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，，，则 ． 3．如图，四边形内接于，连接，，．    (1)求的大小； (2)若的半径为3，求的长． 题型十二　点和圆的位置关系 34．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 35．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 36．数轴上有两个点和，点表示实数16，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为半径为4，若点在外，则（    ） A．或 B． C．琙 D． 巩固训练 1．如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在矩形中，．作于点E，作于点F．    （1）的长是 ． （2）若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，则的半径r的取值范围是 ． 3．如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 题型十三　确定圆的条件 37．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 38．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 39．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 巩固训练 1．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（   ） A． B． C． D． 2．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 3．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 题型十四　直线与圆的位置关系 40．如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 42．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，以点O为圆心作圆，若与直线相交、与直线相离，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 3．在中，，，， （1）斜边上的高为________； （2）以点C为圆心，r为半径作⊙C ①若直线与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围； ②若边与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围； ③若边与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围． 题型十五　切线长定理 43．如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 44．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 45．如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于F，交于点G，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，、的坐标分别为和，，为的内切圆，则的横坐标为 ．    3．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）； (2)利用图证明你的猜想； (3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 题型十六　三角形的内心问题 46．如图，是的内心，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 48．如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 巩固训练 1．在中，，如果截三条边所得的三条弦的长度相等，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 3．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明． 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在中，，，．    (1)用海伦公式求的面积； (2)求的内切圆半径r． 题型十七　切线的性质和判定综合 49．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 50．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 51．如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 巩固训练 1．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，过点作⊙O的切线交的延长线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 3．如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 题型十八　正多边形和圆 52．如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 53．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 54．如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 巩固训练 1．若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形内接于，连接，，则 .    3．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 题型十九　求弧长 55．如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 56．如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长是（     ）    A． B． C． D． 57．小明学习圆以后，进行以下操作：如图，线段的长为3，分别以点，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 2．以为直径的上三点A、B、C，作的平分线交于D点，如图，过点D作交的延长线于E点，交的延长线于F点，若    （1）若，则的弧长为 ． （2）若，则 ． 3．如图，是的外接圆，是直径． (1)尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，当的半径为2时，求的长． 题型二十　求扇形面积 58．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（    ） A． B． C．25 D．20 59．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 60．如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 3．如图，在中，已知． (1)尺规作图；画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）， (2)连接若，求扇形的面积． 题型二十一　求其他不规则图形面积 61．如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 62．“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组，示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇形，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 63．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 巩固训练 1．如图，是的直径，是的弦，，沿弦折叠后恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以O为圆心，为半径作半圆，以A为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，在中，，，点O在上，以O为圆心，为半程的半圆分别交，，于点D，E，F，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 圆与正多边形知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点02．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点03．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点04．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点05．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点06．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点07．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点08．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点09．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点10．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点11、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 知识点12、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 03 题型归纳 题型一　圆的基本概念 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键． 【详解】解：A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确； B. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确； D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确； 故选：B． 2．如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，根据等边对等角得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （   ） ① 和 都是劣弧； ②是 中最长的弦； ③，， 三点能确定一个圆； ④ 的半径为 ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及劣弧的定义，弦长，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关的知识．根据劣弧的定义，弦长，勾股定理逐一判断即可． 【详解】① 和 都用两个字母表示，是小于半圆的弧，是劣弧，故①正确； ②，是 的直径，又直径是圆中最长的弦，故②正确； ③过同一条直线上的三个点不能作圆，故③错误； ④ ，，，， 的半径为 ，故④正确． 故选: C． 巩固训练 1．下列命题中，正确的是（   ） A．相等的圆心角所对弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦，弦心距的关系，垂径定理，熟记定理是解本题的关键． 【详解】解：∵同圆或等圆中，相等的圆心角所对弦相等， ∴A选项的结论不正确，不符合题意； ∵同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧分别相等， ∴B选项的结论不正确，不符合题意； ∵平分弦（不是直径）的直径平分这条弦所对的两条弧， ∴C选项的结论不正确，不符合题意； ∵同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等， ∴D选项的结论正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，圆的性质，先证明，则，由三角形外角的性质得到，则可证明，再由三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点O作于点于点H，连接，则可证明，则，再证明，则，继而得以求证． 【详解】证明：过点O作于点于点H，连接． 平分， ， ∵ ， 又， ， ． 题型二　求一点到圆上点距离的最值 4．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 【答案】A 【分析】圆外一点，直径所在直线经过此点， 直径的远端点与此点的距离最远，近端点与此点距离最近． 【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是（cm），因而半径是3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题，理解何时距离最远、最近是解题的关键． 5．在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（   ） A．4 B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，得出点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，并且结合勾股定理列式得，因为，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离， ∴点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，如图： 上图，此时点E在的延长线上，满足最长为， 设， ∵在中， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 则， 故选：B． 6．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 巩固训练 1．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．10或6 【答案】C 【分析】由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在内时，． 综上可知此圆的半径为3或5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键． 2．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于 ． 【答案】 【分析】根据最大距离与最小距离之差等于直径即可得． 【详解】解：外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解最大距离与最小距离之间的关系是解题关键． 3．如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由． 【答案】当点P在OA上时PA＜PC＜PB，OB上时PB＜PC＜PA，当点P在点O处时PA=PB=PC. 【详解】试题分析：分类讨论：当点P在点O处，易得PA=PB=PC；当点P在OA上，同样方法可得PA＜PC＜PB；连接OC，如图，当点P在OB上，由三角形三边的关系得到OP+OC＞PC，则OA+OP＞PC，所以PA＞PC，再由OC=OB得到∠B=∠OCB，则∠B＞∠PCB， 所以PC＞PB，于是得到PB＜PB＜PA； 试题解析： 当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC， 当点P在OA上时，PA＜PC＜PB. 理由：连接OC， 在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC， ∵OA＝OB＝OC， ∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB， 同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA. 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．也考查了三角形三边的关系和分类讨论的思想． 题型三　圆的周长和面积问题 7．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解． 【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC， ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1， ∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x， ∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2， ∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键． 8．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的旋转对称性，可知阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，据此解题． 【详解】解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：π×22＝2π， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的旋转对称性等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式可以得到解答 ． 【详解】解：由题意可得： 外圆周长=，内圆周长=， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周长的计算公式是解题关键． 巩固训练 1．如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如解图所示，作辅助线，将下方阴影部分补到箭头所指位置，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示，作辅助线，将下方阴影部分补到箭头所指位置，可得正方形的面积与阴影部分面积的比是． 故选D． 【点睛】此题考查的是求面积的比，掌握分割法和平移法是解决此题的关键． 2．滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．    【答案】 【分析】根据铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，可知为圆的周长，即可得出答案． 【详解】∵铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点， ∴分米 故答案为： 【点睛】本题考查圆的周长，正确理解题意，理解圆的周长的公式是解题的关键． 3．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．（π取3） （1）求塑胶地面休闲区的面积； （2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值． 【答案】（1）塑胶地面休闲区的面积为350平方米；（2） 【分析】根据圆的面积公式和长方形的面积公式计算相应的面积即可． 【详解】解：（1）S塑胶地面＝S长方形+S半圆＝10×20π×（）2＝200+50π≈350（平方米）， 答：塑胶地面休闲区的面积为350平方米； （2）S种花卉＝S长方形﹣S半圆＝200﹣150＝50（平方米）， S种草坪＝S半圆＝50π≈150（平方米）， 所以，广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值为． 【点睛】本题考查平面图形面积的计算方法，掌握圆、长方形、扇形的面积计算方法是得出正确结果的关键． 题型四　利用垂径定理求值 10．如图，在中，弦于点C，，，则的长为（   ） A．17 B．15 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．利用垂径定理得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：弦于点C，， ， 又， ． 故选C． 11．如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由勾股定理得到，则当的值最小时，的值最大，再由垂线段最短可得当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合，据此利用垂径定理可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 当的值最小时，的值最大， ∴当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合， ∴， 即的最大值为1， 故选：D． 12．如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】过点O作于点C， 则 ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 巩固训练 1．如图，在中，已知是的半径，于点C，，的直径为10，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．由垂径定理得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵于点C，， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴． 故选A． 2．如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 3．如图，已知为直径，是弦，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理证明即可； （2）设的半径为R，利用勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握三个定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为直径，是弦，， ∴， ∴； （2）解：设的半径为R，根据题意，得 则， 又， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解得， 即：的半径为5． 题型五　垂径定理的推论 13．下列命题中是真命题的为（　　） A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．相等的弧所对的弦相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假，解题关键是掌握相关的概念、定理等．依次根据弦的概念，垂径定理的推论，圆心角、弧与弦的关系判断即可． 【详解】解：A、弦不一定是直径，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、相等的弧所对的弦相等，是真命题，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：D． 14．如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．过点作于点，由点在的垂直平分线上可知，直线必过圆心，再根据直角三角形的性质求出的度数；根据得出的度数，根据等腰三角形的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，连接，   点在的垂直平分线上， ∴，直线必过圆心，， ， ， ， ， ． 故选：A． 15．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于，根据垂径定理有，，因为、都为圆的半径，可得，不能得出． 【详解】解：∵， ∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意； 只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意； ∵、都为圆的半径， ∴，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（　　）    A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据垂径定理得出，故可得出是的中位线，再根据中位线定理即可得出结论． 【详解】解：于于， ， 是的中位线， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键． 2．如图，为的直径，为弦的中点，若，且，则的长是 ． 【答案】4 【分析】先由垂径定理的推论得出，从而得，再由圆周角定理得出，然后由直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵为的直径，为弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理的推论，圆周角定理，含量30度角的直角三角形的性质是解题词的关键． 3．如图，已知在半圆中，，，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于，根据垂径定理的推论得出，根据题意得出，继而得出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 题型六　垂径定理的实际应用 16．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，，     ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 17．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（   ） A．5米 B．4米 C．3米 D．2米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：D 18．赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为40米，主拱高约10米，则桥弧所在圆的半径为（    ） A．25米 B．30米 C．35米 D．50米 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴米． 设圆的半径是R，则， ∴， 解得米． 故选A 巩固训练 1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（    ） A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸 【答案】A 【分析】过点O作，交于点D，交于点E，设的半径为r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点D，交于点E， 设的半径为r． 在中，， 由勾股定理得出方程， 解得：， ∴的直径为26寸， 故答案为：26． 2．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 【答案】 【分析】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算．根据题意作于，交于点，再利用勾股定理得出，即可解答． 【详解】解：作于，交于点， 在中，， ， ， 筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为， 故答案为：3． 3．如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (1)求此下水管横截面的半径： (2)随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，根据垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，可得米，在中，由勾股定理，即可求解； （2）过点O作于点H，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米， ∴米， 设此下水管横截面的半径为r米，则米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 即此下水管横截面的半径为米； （2）解：如图，过点O作于点H， ∴， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴此时水面的宽度增加了米． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 题型七　圆心角概念 19．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 20．如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为（　　） A．43° B．44° C．45° D．46° 【答案】D 【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】 如图，连接OA，OC， ∵∠ABC＝20°，∠DAC＝24°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°， ∴∠AOD＝40°+48°＝88°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠OAD＝(180°−88°)＝46°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质与圆周角定理的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 21．下列说法正确的是（     ） A．等弧所对的圆心角相等 B．优弧一定大于劣弧 C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】A 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件相关概念进行判断即可 【详解】A：等弧所对的圆心角相等，故A正确； B：如果不在同一个圆内的话，优弧不一定大于劣弧，故B错误； C：经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故C错误； D：相等的圆心角所对的弧不一定相等，故D错误. 所以答案为A选项. 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件等相关概念，熟练掌握以上概念是解题关键. 巩固训练 1．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】观察图形，中间相当于一个圆心角被平分为六份，用一周角度数除以六. 【详解】解：. 故选：B. 【点睛】本题考查的对圆心角的概念的认识，将正六边形中心看作圆心角被平分是解答关键. 2．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接、，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角、等边三角形的判定与性质，熟知是圆心角是解答的关键． 3．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 题型八　利用弧、弦、圆心角的关系求解 22．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 23．如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 24．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 首先得到，进而得到，即可选择正确选项． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 故选：D． 巩固训练 1．如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出． 【详解】解：连接，   是直径， ， ， ， 是的中点， ． 故选：D． 2．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，      ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即弧的度数为 故答案为：． 3．如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 题型九　圆周角定理 25．如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 26．如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到，由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 由题意得 ∵， ∴， 故选：C． 27．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．熟练掌握圆周角定理是解题的关键 连接，，和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求解即可； 【详解】解：连接：，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．如图，在中，弦的长等于的半径，为优弧，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题重点考查了圆周角定理的知识，等边三角形的判定与性质；掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角为圆心角的一半，解题的关键是作出辅助线． 根据已知可证为等边三角形，得到，再根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，可得的度数． 【详解】解：连接、， ∵、都是的半径，弦的长等于的半径， ∴为等边三角形， ， ∴．（同弧所对的圆周角为圆心角的一半） 故选：A． 2．如图，三点在上，．则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，先求出度数，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，于点D，于点E． (1)求证：． (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论； （2）求出，根据勾股定理即可求出． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理，全等三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 又∵，， ； ∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：，， ， ， ． 题型十　90度的圆周角所对的弦是直径 28．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图所示 ， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ， ， ． 最小值为． 故选：A． 29．已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小， 再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， 即， ∴点G在以为直径的圆上， 取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，根据题意得到点G在以为直径的圆上是解题的关键． 30．将一个含角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由已知得出为的直径，，在上，进而得出，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，其中点所在位置在量角器外侧的读数为， ∴为的直径，，在上， ∵ ∴ ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角所对的弦是直径，圆周角定理，三角形外角的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 巩固训练 1．在中，，，，点为线段上一动点，以为直径，作交于点，则的最小值为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】连接，可得，从而得到点E在以为直径的圆Q上，则当Q，E，B三点共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径，点在上， ∴， ∴点E在以为直径的圆Q上，则当Q，E，B三点共线时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为18． 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的路径，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 2．木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的直径．如图，他将角尺的直角顶点放在圆周上，角尺的两条直角边分别与相交于点、，若度量出，，则的直径是 ． 【答案】 【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径可知即为圆的直径，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得即为圆的直径， 在中，由勾股定理得， ∴的直径是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，正确推出即为圆的直径是解题的关键． 3．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)DF=2 (3)的最小值为 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可； （3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点． （2）解：， ， 而， 为的中位线， ， ． （3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，则，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 题型十一　圆内接四边形定理 31．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质得到，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：D． 32．如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D 33．如图，点A，B是上的两个定点，构成等边，点C是上的一个动点，不与点A，B重合，则的大小为（    ） A． B． C．或 D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．分两种情况∶①当点C在优弧上时，②当点C在劣弧上时，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：①当点C在优弧上时，如下图： ∵是等边三角形 ∴， ∴， ②当点C在劣弧上时， ， 故选：D． 巩固训练 1．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．如图，四边形是的内接四边形，，，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形内接于，连接，，．    (1)求的大小； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出的度数，再利用等弧所对的圆周角相等得到求出答案； （2）连接，，首先求出的度数，得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质求出答案． 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，， 则， 又∵， ∴为等边三角形， ∴．    【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 题型十二　点和圆的位置关系 34．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 35．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 36．数轴上有两个点和，点表示实数16，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为半径为4，若点在外，则（    ） A．或 B． C．琙 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，点与圆的位置关系，解不等式，根据题意可得，再由点A在圆外可得，即可得到，解之即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A表示的数为， ∴， ∵半径为4，点在外， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故选A． 巩固训练 1．如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点A，B，C中只有1个点在圆内，， ∴在圆内的点为点B， ∴， 故选：B． 2．如图，在矩形中，．作于点E，作于点F．    （1）的长是 ． （2）若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，则的半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算： （1）根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据，即可求解； （2）根据，结合点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：矩形中，， ∴， ∵ ∴， ∴； 故答案为： （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外， ∴的半径r的取值范围为 故答案为： 3．如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 题型十三　确定圆的条件 37．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 38．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 39．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④． 【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题； ③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题； ④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：D． 巩固训练 1．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小正方形边长为1，再通过勾股定理求出到所有顶点长度，不相等的就是外心不在的三角形． 【详解】解：设小正方形边长为1， 则：， ， 根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断： 点O是三个三角形的外心； 不是的外心， 故选：C． 【点睛】本题考查外心的定义，掌握勾股定理求出外心到各顶点距离是关键． 2．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 3．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 【答案】(1)见解析 (2) (3)上 【分析】本题考查与圆有关的综合题，熟练掌握垂直平分线的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，标出坐标即可； （2）利用点与点D的坐标结合勾股定理即可得到的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与的半径比较，即可得到E点与的位置关系． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：，如图： （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴点到圆心的距离为：， ∵的半径长为， ∴E点在上， 故答案为：上． 题型十四　直线与圆的位置关系 40．如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 41．已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离． 【详解】解：∵直线m与公共点的个数为2个， ∴直线与圆相交， ∴半径3， 故选：A． 42．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．熟练掌握直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长是解题的关键． 根据直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长求解作答即可． 【详解】解：由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切， ∴圆心O到这条直线的距离为， 故选：B． 巩固训练 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，以点O为圆心作圆，若与直线相交、与直线相离，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．分别求出与直线、直线相切时的半径即可解答． 【详解】解：当与直线相切时，， 当与直线相切时，， 与直线相交、与直线相离，的半径的取值范围是， 故选：C 2．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图所示：过的中点作于． 则， ∵， ∴， ∵，即圆心到直线的距离半径， ∴直线与相交； 故答案为：相交． 3．在中，，，， （1）斜边上的高为________； （2）以点C为圆心，r为半径作⊙C ①若直线与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围； ②若边与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围； ③若边与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）2.4；（2）①；②；③或 【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高； （2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得的取值范围． 【详解】（1）中，，，， 设斜边上的高为, , , 故答案为： （2）①若直线与⊙没有公共点，则⊙相离，则r的取值范围是； ②若边与⊙有两个公共点，点在圆外或者圆上，则r的取值范围是； ③若边与⊙只有一个公共点，则⊙相切，或者点在圆内，则r的取值范围是或 【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系是解题的关键． 题型十五　切线长定理 43．如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 44．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长： 故选：B． 45．如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：，，， ∵， ∴ ∴； 的周长 故选：D 巩固训练 1．如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于F，交于点G，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是切线长定理，根据切线长定理得，，；结合的周长即可求得． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，； ∵ ， ∴， 故选：B． 2．如图，、的坐标分别为和，，为的内切圆，则的横坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查圆内切三角形的性质，切线长定理，坐标与图形．设的内切圆的各切点分别为、、，连接，根据三角形内切圆的性质可得出，根据切线长定理可得出，，．结合题意可求出，，从而得出，，进而可求出，即圆心的横坐标． 【详解】解：如图，设的内切圆的各切点分别为、、，连接，        ∴，，，． ∵，即， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴圆心的横坐标为． 故答案为：． 3．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）； (2)利用图证明你的猜想； (3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，， 【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； （3）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点，，，， 猜想， 故答案为：； （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于，，，， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即：圆外切四边形的对边和相等； （3）解：相邻的三条边的比为∶∶， 设此三边为，，， 根据圆外切四边形的性质得，第四边为， 圆外切四边形的周长为， ， ， 此四边形的四边的长为，，，． 即此四边形各边的长为：，，，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． 题型十六　三角形的内心问题 46．如图，是的内心，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，内心的定义，先根据三角形内角和定理求出，再由内心的定义得到分别是的角平分线，则可推出，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故选D． 47．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，根据三角形的内心的概念得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵点O是内切圆的圆心， ∴，， ∴， 故选：B． 48．如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形，    由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：D． 巩固训练 1．在中，，如果截三条边所得的三条弦的长度相等，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，，进一步利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：三条弦长相等， 圆心到三条弦的距离相等，即点到三边的距离相等， 点为的内心，即为三条角平分线的交点， ， ， ， 故选：A． 2．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 3．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明． 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在中，，，．    (1)用海伦公式求的面积； (2)求的内切圆半径r． 【答案】(1)的面积； (2)的内切圆半径． 【分析】（1）先根据的长求出的值，再代入到公式即可求得S的值； （2）根据公式，代入可得关于r的方程，解方程得r的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； 故的面积； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故的内切圆半径． 【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键． 题型十七　切线的性质和判定综合 49．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 50．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 51．如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理即可判断． 【详解】解：由切线长定理可得：，， ∴，， ∴， 故A，B，C正确，而中只满足，无其他条件证明是等边三角形， 故选D． 【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理，关键是利用切线长定理得到垂径定理的前提条件． 巩固训练 1．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，过点作⊙O的切线交的延长线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，，，进而可求正弦值． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正弦等知识．解题的关键在于求出的度数． 2．如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根据切线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得，再根据菱形的判定即可判断②，利用含角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， ，，， ， ， 与相切于点C， ， ， 是的直径， 与相切；故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ∵四边形是菱形， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 3．如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据等腰三角形的性质得，即可得，进而得出答案； （2）作，根据等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线的性质得，接下来根据勾股定理求出，进而得出，，再根据勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例得出答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）过点D作，交于点G， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理，得． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 题型十八　正多边形和圆 52．如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 53．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 54．如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 巩固训练 1．若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角和定理，正多边形的中心角，利用多边形的外角得到正多边形的边数，然后根据正多边形的中心角定义即可求解，掌握正多边形的外角和定理是解题的关键． 【详解】∵正多边形的一个外角为， ∴正多边形的边数为， ∴这个正多边形的中心角的度数是， 故选：． 2．如图，正五边形内接于，连接，，则 .    【答案】/度 【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得，即可求解． 【详解】∵五边形为正五边形， ∴， 故答案为：． 3．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 题型十九　求弧长 55．如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，求弧长，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， 则， 又∵A是的中点， ∴， ∴的长是 故选：D． 56．如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形的性质，先根据，，，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到的长． 【详解】在中，，， ， ∴的长为， 故选：A． 57．小明学习圆以后，进行以下操作：如图，线段的长为3，分别以点，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、等边三角形的性质与判定、弧长的计算，熟练掌握等边三角形的性质、弧长公式是解答本题的关键．由作图可得，，则为等边三角形，可得．利用弧长公式求出和的长，进而可得答案． 【详解】解：由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为，的长为， ∴阴影部分的周长为． 故选：B． 巩固训练 1．如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，再代入弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 的长为：． 故选：C． 2．以为直径的上三点A、B、C，作的平分线交于D点，如图，过点D作交的延长线于E点，交的延长线于F点，若    （1）若，则的弧长为 ． （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）连接，，设，则，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，最后列出关于的方程进行计算，可求出，从而利用圆周角定理可得，再利用弧长公式进行计算，即可解答； （2）先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：（1）连接，，    设， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 的弧长， 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，是的外接圆，是直径． (1)尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，当的半径为2时，求的长． 【答案】(1)图详见解析； (2)． 【分析】本题考查作图复杂作图、圆周角定理，弧长公式． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）连接，由题意可得，利用弧长公式计算可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求 ； （2）解：连接． 平分， ， ， ， ， 半径为2， ． 题型二十　求扇形面积 58．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（    ） A． B． C．25 D．20 【答案】C 【分析】根据扇形的半径为5，求得代入公式计算即可． 本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得扇形的半径为5，， 故扇形的面积为， 故选C． 59．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 60．如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．根据垂径定理得出，证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图，设线段，交于点E， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 巩固训练 1．如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查正多边形，求扇形的面积，先求出正六边形的一个内角的度数，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 2．如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是掌握扇形面积计算公式并能够正确表示出阴影部分面积． 根据题意有， 然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 3．如图，在中，已知． (1)尺规作图；画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）， (2)连接若，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先画出该三角形两条垂直平分线，相交于点O，以为半径画圆即可； （2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的定义以及求扇形面积，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及扇形面积公式：． 题型二十一　求其他不规则图形面积 61．如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积的计算和菱形的性质，连接，交点，根据菱形及直角三角形的性质求出和的值，然后根据阴影部分的面积等于 解题即可. 【详解】如图，连接，交点， ∵圆的半径为， ， 又四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 在 中，利用勾股定理可知， ， ， 则图中阴影部分面积为 ， 故选C. 62．“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组，示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇形，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据求解即可． 【详解】解：，，， ， 故选：B．    63．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求扇形面积公式，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置， ，， ， 故选：C． 巩固训练 1．如图，是的直径，是的弦，，沿弦折叠后恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、轴对称的性质，直角三角形的性质．根据题意和图形，可以求得弓形的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可得到新月形阴影部分的面积． 【详解】解：作于点，交于点，连接，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，即， 解得，， ， 弓形的面积是：， 新月形阴影部分的面积为：， 故选：D． 2．如图，在中，，以O为圆心，为半径作半圆，以A为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查扇形面积的计算，解题关键在于结合图形找出各面积之间的关系．根据直角三角形的性质可得 ，，利用阴影部分的面积代入数据计算即得． 【详解】解：在中， ， ∴， ， 阴影部分的面积 故答案为：2． 3．如图，在中，，，点O在上，以O为圆心，为半程的半圆分别交，，于点D，E，F，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键． （1）连接，证出，即可得出结论； （2）根据 ，分别求出和扇形的面积即可． 【详解】（1）证明: 连接，如图: ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴半径O， ∴是的切线； （2）解：由（1）知: ， ， ∴是等腰三角形, 设， ． 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