第二十七章 圆与正多边形【单元卷·考点卷】（21大核心考点）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十七章 圆与正多边形【单元卷·考点卷】（21大核心考点） 考点一 圆的基本概念（共4题） 1．下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径 C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 2．已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是 ． 3．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 4．设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 考点二 求一点到圆上点距离的最值（共4题） 1．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点在射线上，，以为圆心在的上方作半径为1的半圆，点，分别是射线，半圆上的动点，连接，则的最小值为 ． 3．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值． 4．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值． 考点三 圆的周长和面积问题（共4题） 1．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 2．某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则 ． 3．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．    (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 4．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 考点四 利用垂径定理求值（共4题） 1．如图，已知的半径为5，弦的长为8，半径过的中点C，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 3．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 4．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 考点五 垂径定理的推论（共4题） 1．如图，的直径经过弦的中点E，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 3．如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心； (2)点的坐标为 ． 考点六 垂径定理的实际应用（共4题） 1．如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 2．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 3．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 4．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深． 考点七 圆心角的概念（共4题） 1．如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 2．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    3．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求解（共4题） 1．如图，在中，是的中点，点在上．若，则 （   ） A． B． C． D． 2．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    3．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 4．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 考点九 圆周角定理（共4题） 1．如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 2．如图，是的直径，是弦，，则 ． 3．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，为的直径，D，E是上的两点，且在直径的两侧，过点D作的切线交的延长线于点C，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 考点十 90度的圆周角所对的弦是直径（共4题） 1．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，圆内四边形满足：，，，则 ．    3．如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是的直径． 4．如图，在三角形中，． (1)作，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） (2)在（1）所作的中，若，求的长． 考点十一 圆内接四边形定理（共4题） 1．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    3．如图，在中，，以为直径作，分别交于点D、E，连结． (1)求证：点D是的中点； (2)若，则______． 4．在的内接四边形中，，，若点在上，连接、、，求的度数． 考点十二 点和圆的位置关系（共4题） 1．已知点为内的一点，且的半径为，则线段的长度可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 3．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 4．已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． 考点十三 确定圆的条件（共4题） 1．如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 3．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 4．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 考点十四 直线与圆的位置关系（共4题） 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，以点O为圆心作圆，若与直线相交、与直线相离，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 3．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 4．如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 考点十五 切线长定理（共4题） 1．如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（    ） A．12 B．24 C．8 D．6 2．如图，分别与相切于点A、B，的切线分别交于点E、F，切点C在上．若长为2，则的周长是 ． 3．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 考点十六 三角形的内心问题（共4题） 1．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 3．如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      4．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 考点十七 切线的性质和判定综合（共4题） 1．如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 2．如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 3．如图，在中，是上（异于点）的一点，恰好经过点于点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径长． 4．如图，为的切线，为切点，直线交与点、，过点作的垂线垂足为，交与点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 考点十八 正多边形和圆（共4题） 1．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 3．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 4．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 考点十九 求弧长（共4题） 1．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ． 3．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长．（结果保留） 4．如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，，连结，． (1)求的度数． (2)若，求的长 考点二十 求扇形面积（共4题） 1．如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，，则扇形的面积为 ． 3．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使． (1)求证；是的切线； (2)若，求扇形的面积（结果保留π）． 4．如图，已知中，，    (1)用尺规作的外接圆O； (2)若的半径为4，求扇形的面积． 考点二十一 求其他不规则图形的面积（共4题） 1．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．    3．如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，． (1)求证：； (2)若为的中点，且半径，求阴影部分面积． 4．如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 圆与正多边形【单元卷·考点卷】（21大核心考点） 考点一 圆的基本概念（共4题） 1．下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径 C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】A 【分析】利用圆的有关定义分别判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，正确，符合题意； B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意； C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 2．已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，等边对等角，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型． 连接，根据圆的半径都相等即可求出答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 4．设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． （1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外． 【详解】（1）解：如图1， 分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求； （2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画， 如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求． 考点二 求一点到圆上点距离的最值（共4题） 1．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 2．如图，，点在射线上，，以为圆心在的上方作半径为1的半圆，点，分别是射线，半圆上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查垂线段最短，解直角三角形，圆的性质，掌握垂线段最短是解题的关键． 过点作于点，交半圆于点，此时最小，解可得的长度，利用求解即可． 【详解】如图，过点作于点，交半圆于点， ∵，， ∴当最小时，就最小， ∵， ∴此时最小， 在中，，， ∴， ∴的最小值为：． 故答案为：． 3．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值． 【答案】 【分析】如图，过点作，当，，共线时，的面积最大，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，过点P作PH⊥AC， 由题可得，在以为圆心，半径长为6的圆上运动， 当的延长线交圆于点时面积最大， 在中，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键． 4．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值． 【答案】3 【分析】由题意易得，BE＝1，AF＝2，进而把问题转化为求PB＋PA－3的最小值，即为求PB＋PA的最小值，过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得BE＝1，AF＝2， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝3， ∴，， 欲求PE＋PF的最小值，需先求PB＋PA－3的最小值，即求PB＋PA的最小值（如图5-2）， 过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，如图5-3， ∴， ∵，，BC∥AD， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点B与关于DC对称， ∴PB＋PA的最小值为，， ∴PE＋PF的最小值等于3． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及圆的基本性质，熟练掌握菱形的性质及圆的基本性质是解题的关键． 考点三 圆的周长和面积问题（共4题） 1．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 2．某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长和弧长， （1）先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可； （2）先计算出半径往后移米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出a，再计算出b，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，圆的周长为：， ∴相邻两人间的圆弧长是， 故答案为：； （2）又来了两个同学后圆的周长为：， ∴， ∴， 当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．    (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可; （2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可． 【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的周长为:（米）, 故答案为:． （2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的面积为:（平方米）, ∵塑胶跑道和草坪的面积比为, ∴塑胶跑道面积为：（平方米）, ∴草坪面积为：（平方米）, ∵每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高, ∴每平方米草坪的价格为:（元）, ∴总费用为:（元）, 故答案为:． 【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算． 4．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 考点四 利用垂径定理求值（共4题） 1．如图，已知的半径为5，弦的长为8，半径过的中点C，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由垂径定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，则， ∵弦的长为8，半径过的中点C， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：B． 2．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 3．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径是5． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 4．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理和勾股定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． （1）由垂径定理得，由圆周角定理推论可求； （2）由垂径定理得，应用勾股定理即可计算． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）（2）∵， ∴， 在中，由勾股定理可得 ， ∴， ∴， ∴． 考点五 垂径定理的推论（共4题） 1．如图，的直径经过弦的中点E，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理应用，先根据垂径定理得出，再根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵的直径经过弦的中点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由圆周角定理和垂径定理可得，可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，设，则，分别求出，，由勾股定理可求的值，即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点，过圆心， ，， 是直径， ， 又， ； （2）解：， ， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， （负值舍去）， ， 的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理的推论及圆周角定理，三角形中位线定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心； (2)点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，解决本题的关键是能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据点M的位置写出坐标即可． 【详解】（1）如图，点M即为所求， （2）如图所示，则圆心为， 故答案为：． 考点六 垂径定理的实际应用（共4题） 1．如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点．根据垂径定理、勾股定理求出圆的半径，进一步计算即可得． 【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接， 由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长， 设圆的半径为， 由垂径定理得：，， 在中，，即， 解得， 即水面距管道底部的最大深度为米， 故选：D． 2．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 3．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】(1) (2) 10吨 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ∵，， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 船在水面部分可以下降的高度为． 货船的载重量每增加吨，则船身下降， 吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 4．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，如图所示，连接，利用垂径定理得到，再利用勾股定理可得． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为． 考点七 圆心角的概念（共4题） 1．如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】连接AC，由AB是圆的直径可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BCD=100°， ∴∠ACD=10°， ∵∠AOD与∠ACD都对着， ∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°． 故选∶B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理． 2．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【答案】 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 【点睛】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求解（共4题） 1．如图，在中，是的中点，点在上．若，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及其推论、弧与圆心角关系等知识，连接，如图所示，由等弧所对的圆心角相等、同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案，熟记圆周角定理及其推论是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是的中点， ，则， ， ， 故选：C． 2．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，      ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即弧的度数为 故答案为：． 3．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【详解】证明：∵D、E分别为半径、上的点，， ∴，则， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 4．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 【答案】(1)70 (2)100 (3)100 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等弧所对圆心角相等，求得，再利用等边对等角即可求解； （2）利用平行线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解； （3）先证明是等边三角形，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100； （3）解：∵，又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100． 考点九 圆周角定理（共4题） 1．如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是的直径，是弦，，则 ． 【答案】44 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据直径所对的圆周角是直角知，由直角三角形两锐角互余得的度数，再根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧是， ∴． 故答案为：44． 3．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 4．如图，为的直径，D，E是上的两点，且在直径的两侧，过点D作的切线交的延长线于点C，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查相似三角形性质及判定，圆周角定理， 解直角三角形． （1）根据题意连接，利用圆周角定理得，继而得，又因为，所以； （2）根据题意证明，继而得，，所以，所以的半径为 【详解】（1）解：证明：连接，如图所示， 则，． ∵为直径， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1），得． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 设的半径为r，则． ∴，． ∴的半径为． 考点十 90度的圆周角所对的弦是直径（共4题） 1．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，圆内四边形满足：，，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理 ，解直角三角形．根据圆周角定理可得为直径，可求出，在中，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴为直径， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是的直径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； （2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， 而， ， ， ， ；    （2），， ， 为的直径． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 4．如图，在三角形中，． (1)作，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） (2)在（1）所作的中，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆即可； （2）先判断为等边三角形，得出，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图，连接， ∵ ，又 ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴, ∴ 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 考点十一 圆内接四边形定理（共4题） 1．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据圆内角四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，以为直径作，分别交于点D、E，连结． (1)求证：点D是的中点； (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线分线段成比例性质，也考查了等腰三角形的性质． （1）利用等腰三角形的性质得到，，再判断，然后利用平行线分线段成比例得到； （2）利用圆内接四边形的性质得到，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 点D是的中点； （2）， ， 四边形为的内接四边形， ， ，， ， 故答案为： 4．在的内接四边形中，，，若点在上，连接、、，求的度数． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点十二 点和圆的位置关系（共4题） 1．已知点为内的一点，且的半径为，则线段的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离大于半径时，点在圆外是解题的关键．由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点为内的一点，且的半径为， ∴， 故选：A． 2．如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论． 【详解】解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 3．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 4．已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． 【答案】（1），；（2），；（3）或． 【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：（1），则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是，最长距离是． 故答案是：，； （2），则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离是． 故答案是：，； （3）当P在圆内部时，最长距离是， 当P在圆外时，最长距离是． 故答案是或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 考点十三 确定圆的条件（共4题） 1．如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 2．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 3．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；    （2）连接,交于, ∵ ， ， 在 中, ， 设的半径为， 在 中, ， 即， ， 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用． 4．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求；   ； （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 考点十四 直线与圆的位置关系（共4题） 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，以点O为圆心作圆，若与直线相交、与直线相离，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．分别求出与直线、直线相切时的半径即可解答． 【详解】解：当与直线相切时，， 当与直线相切时，， 与直线相交、与直线相离，的半径的取值范围是， 故选：C 2．如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：过M作于H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，与线段有交点， ∴r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 3．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 4．如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可． （1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案； （2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案； （3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点； （4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接， ∴轴， ∵， ∴， 当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点， ∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接， ∴轴， ∵， ∴， ∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点， ∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：；    （3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点， ∴当时，与坐标轴有3个交点； 如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点， ∴此时； 综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点， 故答案为：或；    （4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点， 故答案为：或．    考点十五 切线长定理（共4题） 1．如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（    ） A．12 B．24 C．8 D．6 【答案】D 【分析】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：与圆切于点， 显然根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 故选：D 2．如图，分别与相切于点A、B，的切线分别交于点E、F，切点C在上．若长为2，则的周长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．根据切线长定理可得，，即可求解． 【详解】解：分别与相切于点A、B， ， 的切线分别交于点E、F， ， 的周长． 故答案为：4 3．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 4．如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线长定理可得，进而可得,，据此即可求解； （2）由切线长定理即可求解． 【详解】（1）解：由切线长定理可得： ∴, ∵ ∴ ∴ （2）解：解：由切线长定理可得： ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．熟记相关结论即可． 考点十六 三角形的内心问题（共4题） 1．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 3．如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      【答案】 【分析】连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得由圆周角定理可求得． 【详解】解：如图所示；连接，．    ，， ． 是圆的切线， ． 同理． ． ． ． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 4．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 考点十七 切线的性质和判定综合（共4题） 1．如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 【答案】D 【分析】根据题意及切线的性质可分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①设PA与相切于点D，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设PA与相切于点E，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当圆心O移动的距离为或5cm时，与直线相切； 故选D． 【点睛】本题主要考查切线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 2．如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质得性质与判定，切线长定理，勾股定理，连接，先证明是的切线，进而由切线长定理得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出，则，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵与相切于点A， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为6， 故答案为：6． 3．如图，在中，是上（异于点）的一点，恰好经过点于点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握切线的判定方法． （1）连接，证明，进而解决问题． （2）利用勾股定理求出，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径长为． 4．如图，为的切线，为切点，直线交与点、，过点作的垂线垂足为，交与点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】 根据切线的性质，垂径定理以及全等三角形的性质可得，再根据切线的判定方法即可得出结论； 根据直角三角形的边角关系可得到，进而求出． 【详解】（1） 证明：如图，连接、， 为的切线，为切点， ，即. ，所在直线为直径所在直线， 是的中垂线， . 又，， ， ， 即，是半径， 为的切线； （2） 解：在中，，， ， . 在中，，， . 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，垂径定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及垂径定理是正确解答的前提． 考点十八 正多边形和圆（共4题） 1．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故选：C． 2．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 3．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 4．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 考点十九 求弧长（共4题） 1．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理可知，即可求出，再根据得出答案． 【详解】连接，    ∵， ∴， ∴， ∴弧的长为． 故选：C． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握弧长的计算公式是正确解答的关键，求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径是解决问题的前提．连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，则， ，，， ，， ， △为等边三角形， ， 的长为：． 故答案为：． 3．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）证即可； （2）根据题意求出即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的长为： 4．如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，，连结，． (1)求的度数． (2)若，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，求弧长； （1）根据切线的性质得出，进而得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵的切线交直径的延长线于点，为切点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∴的长为 考点二十 求扇形面积（共4题） 1．如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 2．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是切线的性质、三角形外角性质、圆的性质、扇形面积公式，解题关键是熟练掌握扇形面积的求法．先根据切线性质、圆的性质求得，再由三角形外角性质得到，即可利用扇形面积公式求解． 【详解】解：依题得：， ， ， ， ， 是的外角， ， ，且是直径， ． 故答案为：． 3．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使． (1)求证；是的切线； (2)若，求扇形的面积（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，求扇形面积： （1）连接，根据得，再根据，，从而得到，即可证明结论； （2）求出，再利用扇形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∵点E在上， ∴是的切线； （2）解： 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为． 4．如图，已知中，，    (1)用尺规作的外接圆O； (2)若的半径为4，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形外接圆，圆周角定理，扇形面积计算． （1）三角形外接圆圆心是三角形三条垂直平分线的交点，据此作出圆心O的位置即可作出； （2）由圆周角定理得到，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴．    考点二十一 求其他不规则图形的面积（共4题） 1．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 2．如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．    【答案】/ 【分析】连接，，运用勾股定理分别算出，再结合计算即可．本题考查扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接，．    在中，，， ， ∴，则， ∵是直径， ∴， ， ∵O是的中点， ∴是的中线， ∴， ， 故答案为． 3．如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，． (1)求证：； (2)若为的中点，且半径，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关计算，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）利用直径所对的圆周角为直角可得，根据可得，推出；结合点在上且平分弧可得，即可求证； （2）连接，，过点作于点，利用垂直平分线的性质，圆的有关性质和等边三角形的判定与性质得到为等边三角形，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，再利用阴影部分面积解答即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ． ， ， ． 点在上且平分弧， ， ， ， ； （2）解：连接，，如图， ，为的中点， 为的垂直平分线， ， ， ， 即为等边三角形， ． ， ， ． ． 过点作于点，则， ． 阴影部分面积 ． 4．如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题重点考查圆中不规则图形的面积、等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明及求得是解题的关键． （1）连接，由，是中点，得，即可证明是的切线； （2）由是的中点，得，推出，再证，则可求出，和，最后可由求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，是中点， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的中点，， ， ， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$