第二章：平面解析几何初步识归纳与题型突破（23类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第二章：平面解析几何初步 知识点1 直线的斜率 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点2 直线的方程 1、直线的五种方程形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 2、直线的方向向量与法向量 （1）直线的方向向量 ①把与直线平行的非零向量都称为的方向向量； ②直线的方向向量不唯一，它们都互相平行，互为非零实数倍； ③斜率为的直线的方向向量为的非零实数倍． （2）直线的法向量：与直线垂直的非零向量称为直线的法向量． 知识点3 两条直线的位置关系 1、相交、平行、重合的判定 已知直线，． （1）与相交． （2）与平行且． （3）与重合且． 2、垂直的判定 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线，，可得． 3、直线系方程 （1）平行直线系方程 ①斜率为的直线系方程为（为常数，为参数）； ②与定直线平行的直线系方程为（为参数，）； ③过点，且平行于直线的直线方程为． （2）垂直直线系方程 ①与直线垂直的直线系方程为（为参数）； ②与定直线垂直的直线系方程为（为参数）； ③过点，且垂直于直线的直线方程为． （3）过两点直线交点（定点）的直线系方程 设两条不平行的直线的方程分别为（，不同时为0），（，不同时为0），我们将（其中为参数，且）称为经过直线与交点（定点）的直线系方程． 当，时，此方程即直线的方程；当，时，此方程即的方程．过两条直线交点（定点）的直线系方程又可以表示为（），此时该直线系不含直线． 知识点4 点到直线的距离 1、两点间的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、两条平行线间的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为： 知识点5 圆的方程 1、圆的标准方程与一般方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点6 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）位置关系判断 ①几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． ②代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． （2）直线与圆相交弦长 ①几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． ②代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． ③弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． （3）圆的切线 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为. 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 2、圆与圆的位置关系 （1）位置关系判断 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）两圆的公共弦 ①公共弦所在直线的方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. ②公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． 几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． （3）两圆的公切线 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 题型一 求直线的倾斜角 【例1】（24-25高二上·浙江丽水·月考）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为，对应倾斜角为.故选：B 【变式1-1】（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知直线的倾斜角为， 则直线的斜率为，则.故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直线的斜率，即， 当时，；当时，， 故直线的倾斜角的取值范围是，故选：C 【变式1-3】（23-24高二上·广东·月考）直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 【答案】/ 【解析】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后， 得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 题型二 求直线的斜率 【例2】（24-25高二上·江西赣州·月考）已知点，，若直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若直线的斜率为，则，所以，故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由斜率的定义可得，即，解得.故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·安徽滁州·月考）过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该直线的倾斜角为，则， 因为，， 所以， 因为，所以，则，所以.故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【解析】因为三点共线， 所以， 又因为，所以， 整理得：，即， 又因为，解得. 故答案为： 题型三 过定点直线与线段相交问题 【例3】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，如下图示， 所以.故选：C 【变式3-1】（23-24高二上·河南信阳·月考）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 即直线过定点，设为P， 结合，则， 直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或，即或， 故m的范围为，故选：D 【变式3-2】（24-25高二上·山东济南·月考）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线，即， 由，解得，所以直线恒过定点， 又，， 由图可知，要使直线与线段有公共点， 则直线斜率的取值范围为.故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·重庆·月考）经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图，直线的斜率，直线的斜率，而直线与线段总有公共点， 所以直线l斜率的取值范围为. 故答案为： 题型四 求直线的方程 【例4】（24-25高二上·安徽宣城·月考）过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为 . 【答案】 【解析】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 即可得，所以所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即， 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍， 当截距为时，斜率为，此时直线方程为，即， 当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点， 所以，得到，故直线方程为，即， 故答案为：或. 【变式4-2】（24-25高二上·宁夏银川·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过两点； (3)过点且在两坐标轴上截距相等． 【答案】(1)；(2)；(3)或. 【解析】（1）由点斜式得直线方程为，即. （2）由两点式得直线方程为，即. （3）当直线截距不为0时，由直线的截距式方程，设求直线方程为， 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或. 【变式4-3】（24-25高二上·湖北黄冈·月考）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为． (1)求边所在直线的斜率和倾斜角； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)1，；(2) 【解析】（1）设直线的斜率为，倾斜角为， 因为， 所以，倾斜角为. （2）因为， 所以中点为， 所以BC边上的中线所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线所在直线方程为，即. 题型五 动直线过定点问题 【例5】（24-25高二上·湖南株洲·月考）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【解析】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【解析】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25高二上·安徽亳州·月考）已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; （2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限， 所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 【变式5-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)4 【解析】（1）证明： 直线l的方程可化为，故无论k取何值，直线l总过定点． （2）直线l的方程为， 则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则， 解得，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且， ∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 题型六 直线的方向向量与法向量 【例6】（24-25高二上·重庆·月考）已知经过两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】依题意可知，解得，故选：C． 【变式6-1】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为， 而ABC中向量与不共线，， 所以直线的一个方向向量的坐标为.故选：D 【变式6-2】（24-25高二上·广西百色·月考）（多选）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由，可得，直线的斜率为， 则直线的全体方向向量可表示为，， 当时，可得直线的方向向量为，故B正确，A错误； 当时，可得直线的方向向量为，故C正确，D错误.故选：BC. 【变式6-3】（24-25高二上·甘肃·期中）过点，且法向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，因为直线过点，所以将代入各选项可得， B，C选项直线不过，故排除B，C， 对于选项A，取直线上两点，， 可得直线的一个方向向量为， 由于，所以， 故是直线的法向量，故正确 对于选项D，取直线上两点，， 可得直线的一个法向量为， 由于，与不垂直， 所以不是直线的法向量，故错误.故选：A. 题型七 两条直线平行及应用 【例7】（24-25高二上·湖南·月考）已知直线：，直线：，若，则（    ） A．1或 B．2或 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为直线：，直线：， 若，则，解得，所以，故选：C 【变式7-1】（24-25高二上·河南周口·月考）已知直线与平行，且过点，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得， 又直线过，则，解得， 经验证与不重合，所以.故选：D. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏扬州·月考）两直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【解析】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行.故选：D 【变式7-3】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·月考）过点且与直线平行的直线方程是 ． 【答案】 【解析】过点且与直线平行的直线方程是，即. 故答案为：. 题型八 两条直线垂直及应用 【例8】（24-25高二上·广西南宁·月考）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得.故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】所求直线与已知直线垂直，且已知直线的斜率为，则所求直线的斜率为 则所求直线的方程为，即，故选：B. 【变式8-3】（24-25高二上·河北邯郸·月考）过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线斜率为， 所以要求直线斜率为，又因为过点， 所以直线方程为，即.故选：D 题型九 两条直线的交点问题 【例9】（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解方程组，得， 所以所求交点坐标为.故选：B 【变式9-1】（24-25高二上·黑龙江·月考）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或.故选：A. 【变式9-2】（24-25高二上·山东肥城·月考）已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设直线的方程为，代入点， 则，解得，则直线的方程为， 联立直线，解得，则点的坐标为.故选：C. 【变式9-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 【答案】ACD 【解析】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标， 由点在直线上可得，解得或，故AC正确； 至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等， 当时，；当时，； 若，则需有，不可能，故D正确.故选：ACD. 题型十 与直线有关的对称问题 【例10】（24-25高二上·福建莆田·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】由直线，令，可得，即直线与轴的交点为， 再令，可得，即直线过点， 则点关于的对称点为， 又由，所以直线关于轴的对称直线为，即. 故答案为：. 【变式10-1】（24-25高二上·广西梧州·月考）点关于直线的对称点坐标为 . 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为， 由直线的斜率为， 可得，解得， 所以点关于直线的对称点坐标为， 故答案为：. 【变式10-2】（24-25高二上·浙江杭州·月考）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即.故选：B. 【变式10-3】（24-25高三上·湖北随州·月考）已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，由已知条件得 所以. （2）在直线上取一点，则关于直线l的对称点必在直线上. 设对称点，则故. 设直线与直线的交点为，则由即. 又因为经过点，所以由两点式得， 整理直线的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 题型十一 点到直线的距离问题 【例11】（24-25高二上·天津红桥·期中）点到直线的距离为 【答案】 【解析】由点到直线距离公式计算可得. 故答案为： 【变式11-1】（24-25高二上·吉林·月考）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【解析】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或．故选：C. 【变式11-2】（24-25高二上·湖北荆州·月考）已知，两点到直线的距离相等，则 ． 【答案】1或2 【解析】由题意可得：，即， 可得或，解得或. 故答案为：1或2. 【变式11-3】（24-25高二上·湖南衡阳·月考）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故答案为：. 题型十二 平行线间的距离问题 【例12】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线，，则与的距离为(    ) A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，与的距离.故选：D. 【变式12-1】（24-25高二上·辽宁·期中）两平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，所以， 则化为， 所以两平行直线与之间的距离为．故选：C． 【变式12-2】（24-25高二上·天津和平·月考）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为.故选：A 【变式12-3】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）若分别为直线与上的动点，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】由题意可得两直线斜率均为，所以两直线平行， 所以的最小值为两平行线间距离，为， 故答案为：4. 题型十三 与距离有关的最值问题 【例13】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 【变式13-1】（24-25高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【解析】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为.故选：C. 【变式13-2】（24-25高二上·山东济南·月考），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，和直线，到l的距离分别为， 易知，显然. 当且仅当重合时取得等号.故选：C 【变式13-3】（24-25高二上·江西南昌·月考）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 【答案】 【解析】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点， 则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线， 得，易得，， 直线的方程是， 设，则得，即， . 故答案为： 题型十四 二元二次方程表示圆的条件 【例14】（23-24高二上·湖南·月考）若方程表示的曲线为一个圆，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】因为方程表示的曲线为一个圆， 所以， 即，解得或．故选：B. 【变式14-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 【答案】A 【解析】表示圆， 则，解得.故选：A 【变式14-2】（24-25高二上·湖南长沙·月考）已知，方程表示圆，则 ． 【答案】 【解析】依题意，解得或2， 当时，方程为，即表示圆，符合题意； 当时，方程为，即， 得，不表示圆，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 【变式14-3】（24-25高二上·江苏盐城·月考）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是，故选：C. 题型十五 求圆的标准方程或一般方程 【例15】（24-25高二上·江苏淮安·月考）已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，又半径长为1， 则圆M的方程为：.故选：B 【变式15-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得.故选：B. 【变式15-2】（24-25高二上·江苏常州·月考）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【解析】设圆C的一般方程为， 则由题可得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 【变式15-3】（24-25高二上·江苏淮安·月考）已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. (1)求顶点和的坐标； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由，解得，所以， ∵，且， ∴，∴，又， ∴直线的方程是，， 由，解得， 所以， 所以，； （2）设的外接圆的方程是， 将，，三点坐标分别代入，得 ，， 的外接圆的方程是. 题型十六 直线与圆的位置关系判断 【例16】（22-23高二上·宁夏银川·月考）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 【变式16-1】（24-25高二上·吉林通化·月考）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【答案】D 【解析】直线，即， 令，解得，故直线l经过点. 又，所以点在圆外， 故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关.故选：D 【变式16-2】（24-25高二上·福建三明·月考）直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可作图如下： 当直线位于直线时，交点一定有两个， 由，则，易知， 设直线，由图可知为切线，则，解得， 由图可得：.故选：C. 【变式16-3】（24-25高二上·江西·月考）（多选）若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】BD 【解析】直线恒过定点， 由可得，如图， 由解得或（舍去），即, 由，可得, 由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点.故选：BD 题型十七 圆的切线问题 【例17】（24-25高二上·重庆渝中·月考）圆：在点处的切线方程为 ； 【答案】 【解析】由题意知圆心， ，，又过点， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 【变式17-1】（24-25高二上·福建三明·月考）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以圆心，半径， ①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍； ②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得. 所以切线方程为.故选：D. 【变式17-2】（24-25高二上·广西梧州·月考）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】B 【解析】，圆的半径为， 所以，故选：B. 【变式17-3】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）过点向圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，如图， 则为两切线的夹角，由于， 所以， 由二倍角公式可得．故选：C． 题型十八 直线与圆相交弦长问题 【例18】（24-25高二上·江苏徐州·月考）圆与直线相交所得弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 所以弦长.故选：C 【变式18-1】（23-24高二下·云南曲靖·月考）若直线 被圆C：（aR）截得的弦长为定值，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意，圆心，半径， 因为直线被圆截得的弦长为定值，所以圆心到直线的距离为定值， 圆心到直线的距离为， 则的取值与无关，所以，即.故选：A. 【变式18-2】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知圆C：，圆M与圆C关于x轴对称，直线l：与圆M交于A，B两点，则 . 【答案】 【解析】因为圆C：，所以圆心，半径为， 圆M与圆C关于x轴对称，所以关于x轴对称的圆心， 所以圆M：，直线l：与圆M交于A，B两点， 圆心到直线的距离为：， 所以. 故答案为： 【变式18-3】（24-25高二上·湖北咸宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设的一般方程为， 由题意可知，解得， 所以， 故的标准方程为. （2）由（1）可知，，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 题型十九 圆与圆的位置关系判断 【例19】（24-25高二上·湖南·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【解析】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交．故选：D． 【变式19-1】（24-25高二上·河南洛阳·月考）圆与的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径． 两圆圆心距为，所以圆与圆内切．故选：D. 【变式19-2】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知圆与圆相交，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】圆的圆心坐标、半径分别为， 圆 即的圆心坐标、半径分别为， 若圆与圆相交， 则或， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式19-3】（24-25高二上·河南洛阳·月考）设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，其圆心为，半径为． 因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点． 因为圆心距为，所以，解得．故选：B 题型二十 两圆公共弦相关问题 【例20】（24-25高二上·重庆渝中·月考）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.故选：B 【变式20-1】（24-25高二上·黑龙江·月考）已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆与圆的两方程相减可得： 相交弦的直线方程为：， 又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长， 可得圆心到相交弦的距离为：， 则由点到直线的距离公式可得：，化简得：，解得或.故选：A. 【变式20-2】（24-25高二上·陕西渭南·月考）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【解析】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 【变式20-3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·月考）圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为 . 【答案】 【解析】圆圆心坐标为， 圆化成标准方程为，圆心坐标为， 两圆公共弦的垂直平分线恰为过两圆圆心的直线，由， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 题型二十一 两圆公切线相关问题 【例21】（24-25高二上·河南·月考）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意，圆的圆心，半径， 圆化为标准方程为：， 故圆心，半径， 则圆心距， 所以两圆外切，公切线条数为3条.故选：D. 【变式21-1】（24-25高二上·陕西西安·月考）圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 【答案】A 【解析】由是以为圆心， 3为半径的圆.， 转换为， 即该圆是以为圆心，4为半径的圆. 所以圆心距， 所以 所以两圆相交，故公切线的条数为2，故选：A 【变式21-2】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解析】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为：故选：D 【变式21-3】（24-25高二上·山西·月考）圆和圆的公切线的方程为 . 【答案】或或 【解析】圆，圆心坐标，半径， 圆，圆心坐标，半径， 由，则两圆相外切， 由圆心和半径可知，两圆均与直线相切， 直线的方程为，直线与直线的交点为， 设过的另外一条切线为，由点到切线距离为1， 故，解得，或，故另外一条切线为. 因为直线的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为， 设过公切点的切线方程为，由点到切线距离为1，则， 所以，故. 故答案为：或或. 题型二十二 与圆有关的动点轨迹问题 【例22】（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式22-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ， 即. 故答案为： 【变式22-2】（23-24高二上·云南昭通·期中）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262~190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.现有，，求点的轨迹方程为 . 【答案】，（答案不唯一） 【解析】，且，故点的轨迹是圆. 以线段的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则， 设，，则， 即，整理得，. （答案不唯一，建系不同，轨迹方程不同） 故答案为：，. 【变式22-3】（24-25高二上·山西长治·月考）已知圆经过点，，且圆恒被直线平分. (1)求圆的一般方程： (2)设，是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程，并说明表示何曲线? 【答案】(1)；(2)，的轨迹是一个圆 【解析】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点， 所以圆的半径，所以圆的方程为，即. （2）设，因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即， 所以的轨迹是一个圆. 题型二十三 与圆有关的最值问题 【例23】（24-25高二上·湖北·月考）实数、满足，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由题意知：设，， 则为圆上的点， 圆的圆心,半径， 则表示圆上的点与距离的平方， 又因为, 所以； 故的最大值是. 故答案为：. 【变式23-1】（24-25高二上·山东青岛·月考）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为 . 【答案】3 【解析】由题意知，半径为1的圆经过点， 所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 而到直线的距离为， 所以圆心到直线距离的最大值为. 故答案为：3. 【变式23-2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设关于的对称点为，则解得， 即，所以， 故的最小值为．故选：C. 【变式23-3】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)（i）最大值为，最小值为；（ii）最大值为，最小值为；（iii）最大值为9，最小值为1． 【解析】（1）设圆心到直线的距离，半径，， 则圆的几何性质可得，， 当且仅当，即圆心是线段的中点时，半径的取得最小值， 此时圆C的面积最小. 所以，， 即圆C的标准方程为． （2）（i）因为表示圆上的点M与已知的点之间的距离． 圆C：， 如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值， 即， 与B重合时取得最大值即， 故最大值为，最小值为； （ii）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值， 如图所示． 可设，则C到其距离为，解得， 故最大值为，最小值为 （iii）设，如图所示，即过点M的直线的截距， 如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值． 圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：平面解析几何初步 知识点1 直线的斜率 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点2 直线的方程 1、直线的五种方程形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 2、直线的方向向量与法向量 （1）直线的方向向量 ①把与直线平行的非零向量都称为的方向向量； ②直线的方向向量不唯一，它们都互相平行，互为非零实数倍； ③斜率为的直线的方向向量为的非零实数倍． （2）直线的法向量：与直线垂直的非零向量称为直线的法向量． 知识点3 两条直线的位置关系 1、相交、平行、重合的判定 已知直线，． （1）与相交． （2）与平行且． （3）与重合且． 2、垂直的判定 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线，，可得． 3、直线系方程 （1）平行直线系方程 ①斜率为的直线系方程为（为常数，为参数）； ②与定直线平行的直线系方程为（为参数，）； ③过点，且平行于直线的直线方程为． （2）垂直直线系方程 ①与直线垂直的直线系方程为（为参数）； ②与定直线垂直的直线系方程为（为参数）； ③过点，且垂直于直线的直线方程为． （3）过两点直线交点（定点）的直线系方程 设两条不平行的直线的方程分别为（，不同时为0），（，不同时为0），我们将（其中为参数，且）称为经过直线与交点（定点）的直线系方程． 当，时，此方程即直线的方程；当，时，此方程即的方程．过两条直线交点（定点）的直线系方程又可以表示为（），此时该直线系不含直线． 知识点4 点到直线的距离 1、两点间的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、两条平行线间的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为： 知识点5 圆的方程 1、圆的标准方程与一般方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点6 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）位置关系判断 ①几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． ②代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． （2）直线与圆相交弦长 ①几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． ②代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． ③弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． （3）圆的切线 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为. 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 2、圆与圆的位置关系 （1）位置关系判断 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）两圆的公共弦 ①公共弦所在直线的方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. ②公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． 几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． （3）两圆的公切线 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 题型一 求直线的倾斜角 【例1】（24-25高二上·浙江丽水·月考）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·广东·月考）直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 题型二 求直线的斜率 【例2】（24-25高二上·江西赣州·月考）已知点，，若直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·安徽滁州·月考）过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 题型三 过定点直线与线段相交问题 【例3】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·河南信阳·月考）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·山东济南·月考）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·重庆·月考）经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为 . 题型四 求直线的方程 【例4】（24-25高二上·安徽宣城·月考）过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为 . 【变式4-1】（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为 ． 【变式4-2】（24-25高二上·宁夏银川·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过两点； (3)过点且在两坐标轴上截距相等． 【变式4-3】（24-25高二上·湖北黄冈·月考）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为． (1)求边所在直线的斜率和倾斜角； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 题型五 动直线过定点问题 【例5】（24-25高二上·湖南株洲·月考）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【变式5-1】（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【变式5-2】（24-25高二上·安徽亳州·月考）已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【变式5-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 题型六 直线的方向向量与法向量 【例6】（24-25高二上·重庆·月考）已知经过两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·广西百色·月考）（多选）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·甘肃·期中）过点，且法向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型七 两条直线平行及应用 【例7】（24-25高二上·湖南·月考）已知直线：，直线：，若，则（    ） A．1或 B．2或 C．2 D． 【变式7-1】（24-25高二上·河南周口·月考）已知直线与平行，且过点，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式7-2】（23-24高二上·江苏扬州·月考）两直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【变式7-3】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·月考）过点且与直线平行的直线方程是 ． 题型八 两条直线垂直及应用 【例8】（24-25高二上·广西南宁·月考）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·河北邯郸·月考）过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型九 两条直线的交点问题 【例9】（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·黑龙江·月考）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·山东肥城·月考）已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 题型十 与直线有关的对称问题 【例10】（24-25高二上·福建莆田·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【变式10-1】（24-25高二上·广西梧州·月考）点关于直线的对称点坐标为 . 【变式10-2】（24-25高二上·浙江杭州·月考）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高三上·湖北随州·月考）已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 题型十一 点到直线的距离问题 【例11】（24-25高二上·天津红桥·期中）点到直线的距离为 【变式11-1】（24-25高二上·吉林·月考）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【变式11-2】（24-25高二上·湖北荆州·月考）已知，两点到直线的距离相等，则 ． 【变式11-3】（24-25高二上·湖南衡阳·月考）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 ． 题型十二 平行线间的距离问题 【例12】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线，，则与的距离为(    ) A．1 B．2 C． D． 【变式12-1】（24-25高二上·辽宁·期中）两平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高二上·天津和平·月考）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式12-3】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）若分别为直线与上的动点，则的最小值为 . 题型十三 与距离有关的最值问题 【例13】（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【变式13-1】（24-25高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【变式13-2】（24-25高二上·山东济南·月考），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式13-3】（24-25高二上·江西南昌·月考）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 题型十四 二元二次方程表示圆的条件 【例14】（23-24高二上·湖南·月考）若方程表示的曲线为一个圆，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式14-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 【变式14-2】（24-25高二上·湖南长沙·月考）已知，方程表示圆，则 ． 【变式14-3】（24-25高二上·江苏盐城·月考）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十五 求圆的标准方程或一般方程 【例15】（24-25高二上·江苏淮安·月考）已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高二上·江苏常州·月考）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【变式15-3】（24-25高二上·江苏淮安·月考）已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. (1)求顶点和的坐标； (2)求的外接圆的方程. 题型十六 直线与圆的位置关系判断 【例16】（22-23高二上·宁夏银川·月考）直线与圆的位置关系是 . 【变式16-1】（24-25高二上·吉林通化·月考）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【变式16-2】（24-25高二上·福建三明·月考）直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（24-25高二上·江西·月考）（多选）若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（    ） A．0 B． C．2 D． 题型十七 圆的切线问题 【例17】（24-25高二上·重庆渝中·月考）圆：在点处的切线方程为 ； 【变式17-1】（24-25高二上·福建三明·月考）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高二上·广西梧州·月考）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 【变式17-3】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）过点向圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型十八 直线与圆相交弦长问题 【例18】（24-25高二上·江苏徐州·月考）圆与直线相交所得弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【变式18-1】（23-24高二下·云南曲靖·月考）若直线 被圆C：（aR）截得的弦长为定值，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式18-2】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知圆C：，圆M与圆C关于x轴对称，直线l：与圆M交于A，B两点，则 . 【变式18-3】（24-25高二上·湖北咸宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 题型十九 圆与圆的位置关系判断 【例19】（24-25高二上·湖南·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【变式19-1】（24-25高二上·河南洛阳·月考）圆与的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【变式19-2】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知圆与圆相交，则实数的取值范围是 ． 【变式19-3】（24-25高二上·河南洛阳·月考）设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二十 两圆公共弦相关问题 【例20】（24-25高二上·重庆渝中·月考）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】（24-25高二上·黑龙江·月考）已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（   ） A．或 B． C． D． 【变式20-2】（24-25高二上·陕西渭南·月考）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【变式20-3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·月考）圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为 . 题型二十一 两圆公切线相关问题 【例21】（24-25高二上·河南·月考）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式21-1】（24-25高二上·陕西西安·月考）圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 【变式21-2】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 【变式21-3】（24-25高二上·山西·月考）圆和圆的公切线的方程为 . 题型二十二 与圆有关的动点轨迹问题 【例22】（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 【变式22-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【变式22-2】（23-24高二上·云南昭通·期中）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262~190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.现有，，求点的轨迹方程为 . 【变式22-3】（24-25高二上·山西长治·月考）已知圆经过点，，且圆恒被直线平分. (1)求圆的一般方程： (2)设，是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程，并说明表示何曲线? 题型二十三 与圆有关的最值问题 【例23】（24-25高二上·湖北·月考）实数、满足，则的最大值是 ． 【变式23-1】（24-25高二上·山东青岛·月考）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为 . 【变式23-2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式23-3】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$