第3章 圆锥曲线的方程 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章圆雏曲线的方程 单元复习归纳 专题分布 考点频次高考分值 命题趋势 1.掌握椭圆和抛 【题源特点】椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准 物线的定义、 ★★★★ 方程、简单几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系 几何图形、标 均是高考重点考查对象 准方程及简单 5年52考 【题型形式】客观题主要考查椭圆、双曲线、抛物 几何性质。 线的定义、标准方程、简单几何性质，如2024年新课标 17~32分 2.了解双曲线的 ★★ 全国I卷、Ⅱ卷，2023年全国甲卷、乙卷等：主观题常 定义、几何图形 考查直线与圆维曲线的综合问题，特别是最值、定值与 和标准方程，知 定点问题.直线与圆雏曲线的综合是2023年高考必考 道它的简单几5年12考 试题，特别是2023新课标I卷把直线与抛物线的综合 何性质. 题放到压轴题最后一题的位置. 口01-知识网巧构建， 定义：MIMF1+MF=2a(2a>FF2)》 焦点在x轴上： =1(a>b>0),=a2 统一形式：Az2+ 椭圆 准方程 By2=1(A>0. 焦点在y轴上： =1(a>b>0),b6=a B>0,A≠B) 简单儿何性质 直线与椭圆的位置关系 定义：(MI1MF1-MF1=2a(0<2a<FF1D 圆锥曲线的方程 标 焦点在x轴上香一清 =1(a>0,b>0),=c2 统一形式：Ax2干 双曲线 程 焦点在y轴上：一 =1(a>0,b>0),b=2-a By2=1(4B<0) a 简单儿何性质 直线与双曲线的位置关系 定义：MMF=d,其中d表示点M到定直线l的距离，F任 焦点在 开口向右：y=2px(p>0) 统一形式：y=x(m去O) 标准方程 x轴上 开口向左：y2=一2x(p>0) 抛物线 焦点在 开口向上：x2=2y(p>0) y轴上 统一形式：x2=y(n≠0) 开口向下：x2=-2y(p>0) 简单几何性质 直线与抛物线的位置关系 177 重难点手册高中数学选择性必修第一册R/ 门02一微转题妙总结。 微专题1直线与圆锥曲线的位置关系 (2)与位置关系有关的求参问题 中的常见问题及求解策略 例②已知曲线C:x2一y=1和直线l: 直线与圆锥曲线的位置关系主要涉及判 y=kx-1. 定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、求最 (1)若直线1与曲线C有两个不同的交点， 值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线 求实数k的取值范围： 的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数 (2)若直线l与曲线C交于A,B两点，O 与方程、分类讨论等数学思想方法 是坐标原点，且△AOB的面积为√2，求实数k (1)交点个数问题 的值. 例①(2024·复旦附中检测)给定四条曲 消去y得 线：①r+y-号：@号+苦1：③+苦- 解扬(1)由=kx一L, lx2-y-1, (1-k2)x2+2k.x-2=0. ④听+y=1.其中与直线x十y一5=0仅有 ,直线【与双曲线C有两个不同的交点， 1一k2≠0， 一个交点的曲线是( A.①②③ B.②③④ 么=4+81-数)≥0， 解得-√2<k<√2，且k≠士1， C.①②④ D.①③④ 解析对于①，圆心(0,0)到直线x十y .实数k的取值范围为（一√2，一1）U(一1， 5=0的距离为”，等于圆的半径，所以南线 1)U(1w2). (2)设A(x1,y),B(x2,y2) ①与直线x十y一√5=0仅有一个交点；对于 2k 由(1)可知西十程=一1 @,联主方程9+兰。 2 整理得13x2 1一k2: x十y-5=0. ∴.AB引=√/1+k1-x 18、5x十9=0，因为△>0，所以曲线②与直线 x十y一√5=0有两个交点：对于③，联立方程 x+=1. (1+k)(8-4k) 4 整理得5.x2-25x+1=0, (1一k)2 x+y一√5=0， 点O到直线l的距离d= 1 因为△=0，所以曲线③与直线x十y一5=0仅有 1+2' 一个交点；对于④，联立方程 +=1. .S△B= 2·|AB1·d=18-4 2N(1-k2)2 整 x十y-√5=0， =√2， 理得5.x2-8√5.x十16=0，因为△=0，所以曲线 即2k-3k2=0,∴k=0或k=士⑤ 21 ④与直线x十y一√5=0仅有一个交点. [答案D 六实数的值为0，受。一 178 第三章圆锥曲线的方程么型 (3)与弦长有关的问题 将直线AB的方程y=k(x十2)与椭圆方 B如图椭圆后+芳 程联立，消去y,整理得(1十2k2)x2十8kx十 =1(a>b>0)与 8(k2-1)=0. 一等轴双曲线相交，并且双曲线的左、右顶点 设A(x1y1),B(x2), 分别是该椭圆的左、右 则有十2= 8k2 焦点F(-2,0),F2(2, 1+2k西22= 8(k2-1) 1+2k2 0),双曲线的左、右焦点BF, 因此AB引=√(1十k)(1十2)2-4xx2] 分别是椭圆的左、右顶 -4V2(1+k2) 点.设P为该双曲线上 1+2k2 异于顶点的任意一点，直线PF,PF2的斜率 同理可得1CD=4v2(k十1) 分别为k1,k2,且直线PF和PF2与椭圆的交 2十k2 点分别为A、B和C、D. 因此由AB|+|CD|=A|AB||CD|知 (1)分别求椭圆和双曲线的标准方程. 1+2k2+ 2十k2 (2)求证：k1k2=1. 入=AB+CD421+k)4V2(k+1) (3)是否存在常数A,使得|AB引+ICD= 3+3k2 3V2 AABICD恒成立？若存在，求出A的值；若 4V2(k2+1) 8 不存在，请说明理由。 所以存在常教A=3,巨，使得1AB1十CD 8 ()设双曲线的标准方程头 =λABCD恒成立. y2 微专题2圆锥曲线中的范围、最值问题 =1(a1>0,b1>0),由题意知，a1=b=2,故 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类： 双曲线的标准方程为听-菁-.在精圆中， 一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一 些问题：二是求直线或圆锥曲线中几何元素的 c=2,a=2√2，故b=￥a2一c2=2,故椭圆的标 最值，以及当这些元索存在最值时，求解与之 准方程为后+=1 有关的一些问题 4 对于最值问题，一般可以用数形结合的方 (2)设点P(,则=牛2：= 法或转化为函数的最值问题加以解决：解决最 值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几 2则年2产2产 何特征、方程的代数特征在解题中的作用， (1)转化为斜率求最值 由点P在双曲线上，可知-=1，即有 44 由代数式的结构特征联想其斜率公式，将 后一4=听，从而后 代数问题转化为斜率问题，利用图形的直观性 x话-4 =1,故k1k2=1. 使问题得到简化， (3)假设存在常数λ，使得|AB|十CD= 例④(2024·宜昌一中月考)试求函数 λAB|1CD恒成立. 代x)=一1-2sin工的最大值、最小值 由(2)知k1k2=1,所以可设直线AB的 -3-√5c0sx 方程为y=k(x十2)，直线CD的方程为y= x-2》. 前授CA,CB是描圆写+苦-1的两 条切线，如图所示，点C的坐标为（一3，一1）. 179 更难食手细高中数学选择性必修第一册W 故f(.x)的最大值为k, a26)=0, f(x)的最小值为kB. 得a2十b=3. 设过点C且与精圆号 又两焦点分别为F(一1,0)，F2(1,0), 所以a2一}=1，所以a2=2,=1, =1相切的切线方程为y一k虹十m 4 所以辅国的方程为号十)=1 [Jy=k.x十m, (2)若直线PQ的斜率不存在（或为0），则 + S-MNIPQI-22X/22. 2 2 消去y,得(4+5k)x2+10kmx+5m2 若直线PQ的斜率存在且不为0，设斜率 20=0. 为k(k≠0)， 由△=0得m=士√5k2十4， 则直线MN的斜率为-名，直线PQ的方 所以切线方程为y=k.x士/5k十4. 程为y=k.x十k 因为切线过点C(一3，一1)， 设P(x1y),Q(x2) 所以-1=-3k士√5k2+4. 所以k=3+2I,k=3-2四 由后+1. 4 4 y=k.x十k, 所以f)的最大值为3+回，)的最 消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0, 所以x1十x -4k2 2k2-2 小值为3-2四 2欢 2k2+11 4 所以PQ=√1十|x1一x2 (2)利用重要不等式求最值 =￥(1+k)16k-4(22-2)(2k2+1)] 例司(2024·湖南师大附中高三检测)已 2k2+1 知椭圆的两个焦点分别为F(一1,0)，F2(1, =22 k2十1 0),且直线y=x一√3与椭圆相切. 2k2+1 (1)求椭圆的方程： 同理，MN=22× (2)过F作两条互相垂直的直线11，l2,与 椭圆分别交于点P,Q及点M,N,求四边形 所以Smt形aoY=PQMN 2 PMQN的面积的最大值与最小值. (k2+1) 解析(1)由题意得椭圆的焦点在x轴上， =4×(2k2牛1)(k+2） k+2k2+1 故设横国的方程为后+ =1(a>b>0). =4X 2k+5k+2 =1, 消去y,得(a2十2)x2 y=x一5， 1 2v3a2x+3a2-a2b=0. 4+是+10 因为直线y=x一√3与椭圆相切， 所以△=(-2√3a2)2-4(a2+b)(3a2 图为4+是+10≥2√42·是+10=18 180 第三章圆锥曲线的方程么型 (当且仅当k=1时取等号)， 为参数)等，将椭圆和双曲线上的点的坐标用 所以 4(o,8], 三角函数表示出来，再利用三角函数知识来求 4++10 其最值 例7(2024·山东师大附中检测)过点 B0,6)作精圆后+ =1(a>b>0)的弦，求这 综上，四边形PMQN的面积的最小值为 些弦长的最大值. 日，最大值为2 解析设椭圆上任一点M的坐标为(acos a, (3)转化为二次函数求最值 b sin a),a为参数， 利用解析几何中的代数知识，把问题转化 则|BM=√(acos a-0)+(bsin a-b)2 为关于某个变量的二次函数，利用二次函数的 =(b-a)sin'a-2b sin a+ab 有关知识来求最值。 例G(2024·荆州中学检测)在过动直线 =G-（a广+ x+2y=t与定直线2x一y=a的交点（其中t∈ 因为a>b>0,所以？-a2<0. (0,3a])的等轴双曲线系：x2一y2=λ中，当t 取何值时，入达到最大值与最小值？ ①当-1。<0即a≥b时取ne 解折解方程组十2y=t 2x-y=a ”,得BM==√a”F=: 得两直线的交点为Q2,2与). ②当。<1，即<时，取na 因为双曲线系x2一y=入过点Q,所以入 =-1,得|BM=2b. -y=-+叶一-+3 点评本题也可用两点间的距离公式求 25 25 出|BM(M为椭圆上的任一点)，再将x2= (t∈(0.3a]). (1一方)代入，得到关于y的二次通数，转化 为二次函数在闭区间上的最值问题 又由01K3a得-青a1- 5 3a≤3， (5)利用几何图形的直观性求最值 例⑧(2024·南昌大学附属中学月考)在 于是当t=3a时，入m=0,此时方程x2 平面直角坐标系Oy中，双曲线C,子-y=1 y=0不表示双曲线，故无最小值。 的左、右焦点分别为F,F2 (4)转化为三角函数求最值 (1)若直线1过点Q(一1.0)，且与双曲线 利用椭圆G:后+芳=1(。>6>0)的参数 C的左支、右支各有一个交点，求直线！的斜率 k的取值范围： 方程 x-acos 0, Ly=bsin 0 0为参数)和双曲线C:号 (2)若点P为双曲线C上一点，求PF· 芳-1(a>0,b>0的参数方程 x=asec 0, PF2的最小值. (0 y=btan 0 解析(1)由题意可知直线l的方程为y 181 更难食手册高中数学选择性必修第一册U口 k(x十1)，将直线方程与双曲线方程联立，消去 则△AFB的面积Sae=FFally y,得(}-k)x2-2k2x-k2-1=0. 而y≤b,所以当x1=0时，y取得最 要使直线【与双曲线C的左支、右支各有 大值b. 一个交点， 所以△AFF的最大面积为号·2c· b=bc, 只需 4=(-2y-4(}-)(-R-1>0。 即(S△FAB)mx=bc=bVa2-7. --1<0, 答案bva-. 微专题3圆锥曲线中的存在性问题 首先假设所探究的问题结论成立或存在 解得一<<司 符合题意的点、直线，在这个假设下进行推理 所以斜率k的取值范国为（一号》： 论证，如果得到了一个合理的推理结果，就肯 定假设，对问题作出正面回答：如果得到一个 (2)由题意可知F1(一√5,0)，Fz(5,0). 矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回 设P(x,y),则x≥2，PE·PE=(-5 答.利用这个解题思想解决探索性问题与解决 x,0-y)·(W5-x,0-y)=x2-5+y2=x2 具有明确结论的问题就没有什么差别了， 5+f-1=5千-6. 例四已知圆C:红一1)+-}，一动 因为x≥2，所以x≥4， 圆与直线x=一2相切且与圆C外切. 所以P·P丽-平-6≥-1， (1)求动圆圆心P的轨迹T的方程. 故PF·PF2的最小值为-1. (2)若经过定点Q(6,0)的直线1与曲线T (6)利用变量的取值范围求最值 交于A,B两点，M是AB的中点，过点M作x 根据相关变量所满足的方程和实际意义 轴的平行线与曲线T相交于点N,试问是否存 求出它的取值范围，再利用不等式的性质对它 在直线l,使得NA⊥NB?若存在，求出直线l 进行变形，从而求出目标变量的取值范围，达 的方程；若不存在，请说明理由。 到求其最值的目的。 解析(1)设P(xo,y%),由题意可知，动圆 例日(2024·合肥一六八中学月考)设 圆心不能在y轴左侧，故≥0 AB为过椭圆b2x2十ay2=a2b中心的弦，F 因为动圆与直线x=一)相切且与圆C: 为焦点，则△FAB的最大面积为 解析]如图，设椭圆的 (红-1)2+y2=寻外切， 另一焦，点为F2,因O是 AB,FF2的中点，故四边形 所以PC-(+号)=2 F1AFB为平行四边形， B .V(0一1)+听=0十1，化简得=4， 所以△F1AB与△AF1F2的面积相等. 所以动圆圆心P的轨迹T的方程为y=4x 设点A的坐标为(1，y), (2)设A(x1y),B(x22), 182 第三章圆锥曲线的方程么型 由题意，设直线l的方程为x=my十6， 例1①(2022·全国乙卷)已知椭圆E的 [x=my+6, 中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 联立 y2=4.x, A0.-2),B(号，-1)两点. 消去x得y2-4my-24=0, (1)求E的方程： 所以y1十y2=4m,y13y2=一24，① (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N 所以x1十x2=4m2+12,x1x2=36.② 两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交 假设存在N(x,%)使得NA⊥NB,则由 于点T,点H满足MT=TH,求证：直线HN 题意可得为=y十业=2m. 2 ③ 过定点， 因为点N在抛物线上， 解析(1)，椭圆E的中心为坐标原点，对 所以一”即=m① 称轴为x轴、y轴，且过A(0,一2)， NA.NB=0,NA=(xI-xo,y1-yo), 小了设指圆E的方程为后+号1， NB=(2一0为一%)， 又椭圆E过B(,-), 所以x2一x0(十2)十6十yy2 品十1，将=3 %(y1十y2)十y听=0， 将①②③④代入此式并化简，可得(m十 E的方程为写+普-1 6)(3m2-2)=0, (2)当直线MN的斜率不存在时，直线 所以m=土 MN的方程为x=1, x=1, 即直线1的方程为x=士 3y+6, +- 由 得y= 3 4 所以存在直线I,使得NA⊥NB,且直线I 的方程为3.x+√6y-18=0或3.x一√6y-18=0. y=±22 微专题4圆锥曲线中的定值、定点问题 (1)定点问题 结合短意可知M1一2得.N1,得。 3 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一 ∴.过点M且平行于x轴的直线的方程为 个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解 22 决这个难点没有常规的方法，但基本思想是明 3 确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的 易知点T的横坐标x∈[0，]， 不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直 直线AB的方程为y一（一2）= 线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方 程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个 -1220×-0.即y-号-2 -0 点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关 键就是引进变化的参数表示直线方程、数量 y=-22 √3 积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等 由 寻找不受参数影响的量. y= 3x2, 183 重难点手册高中数学选择性必修第一册R/ 解得x=3-6,∴T3-6,-22 =一（x业十2y)十3yy十6坐 -(x十x2)+6+3y 一(x1y2十x2y)+3y12+6y2 :Mi-Ti,H(5-26,-2) =-(十x2)+6+3(01+为)一3g ,'3y2=(kx1十m)(kx2+m)=kx1x2十 4w2 直线HN的方程为y- 22 mk(+x)十m2=-12k2+4m2 3k2+4 3 2V6-4 y十y=(k.x1十m)+(k.x2十m)=k(x1十 (x-10,即y=2(3+ 3 2x-2. x2)+2m= 8m 3k2+4' 所以直线过点(0，一2). x1y2十r2y1=x1(k.x2+m)十x(k.十n) 当直线MN的斜率存 -24k 在时，如图，设M(x1,y), =2kx十m(m十22)=3k2干4 N(xz.y),lMv:y=kx+m .-(x1y2十xy)+3yM2 (k十m=-2). B 24-36k十12m 3k2十4T 3k2+4 [y=kx+m, =-36k2+12m2+24k 3k2+4 得(3k2十4)x2+6km.x+3m2-12=0, =-24(k2-3k-2) 3k2+4 △0， -(x1十x2)十6十3(y十2) .x十x2= 6km 3k2+4' 34+6+24 24m x1x2= 3m2-12 =6kmm十18k2+24+24m 3k2+4 3k2+4 过，点M且平行于x轴的直线的方程为 =12(k2-3k-2) 3k2+4 y=y1, y=y1, -24(k2-3k=2)+6 与直线AB的方程联立，得 .y= 3k2+4 12(-3k-2）-34 =-2, 3k2+4 得=3y,+2,T3,+2,. ∴.直线HV过定点(0，一2) 2 2 综上，直线HN过定点(0，一2). MT-Ti,.H(3M+6-), (2)定值问题 .直线HN的方程为y一地 圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题 y1二2 3yM1+6-x1一x2 (x-x2）, 中的另一个难点，解决这个难点的基本思想是 函数思想，可以用变量表示问题中的直线方 y一2 即)厂36西 二2 3yM十6一T1一x2 程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量 2十2. 积，比例关系中不受变量影响的某个值，就是 （y-2)x2 要求的定值.具体地说，就是将要证明或要求 令x=0,得y=业一3y+6一x1一x 解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 184 第三章圆锥曲线的方程么型 变量即得定值 得(0一2)(x-2)十(M-1)(-M-1)=0. 例12(2020·新高考全国I卷)已知椭 又哥+号=1，可得3-8+4=0. 圆C导+若=1a>b>0)的离心率为号.且 解得=2合去)=导 过点A(2,1). (1)求C的方程： 此时直线MN过点P(号，一》： (2)点M,N在C上，且AM⊥AN,AD⊥ MN,D为垂足，求证：存在定点Q,使得DQ 令Q为AP的中点，即Q(学) 为定值 若D与P不重合，则由题设知AP是 解析(1)由题意知￡= 2即a=2,所 Rt△ADP的斜边， 以=c,a=2a又+-1，即形+》-1，所 故DQ=号1AP1=2Y2 31 以仔=3，心2=6，故椭圆C的方程为6+兰-) 若D与P重合，则1DQ=2AP1. (2)设M(1,y),N(x2y2). 综上，存在点Q号，)使得DQ为定值， 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN 微专题5求轨迹方程的常用方法 的方程为y=k十m,代入看十。=1得(1卡 1.利用直接法求轨迹方程 3 (1)利用直接法求轨迹方程的关键是根据 2k2)x2+4km.x+2m2-6=0. 条件准确列出方程，然后进行化简。 则x1十x2= Akm 1十2k202= 2m2-6 1+2k2· (2)运用直接法求轨迹方程应注意的 由AMLAN知AM·AV=0, 问题： 故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(2-1)=0, ①在化简的过程中，有时破坏了方程的同 可得(k2+1)x1x2+(km一k一2)·(x十 解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的 x2)+(m-1)2+4=0, 点，这是不能忽视的； 即+1DT2-m-友-27e十 ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后 1+2k2 的验证可以省略。 (m-1)2+4=0, 例13在平面直角坐标系Oxy中，直线 整理得(2k十3m+1)(2k十m-1)=0. l:x=一2交x轴于点A.设P是l上一点，M 因为A(2,1)不在直线MN上， 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足 所以2k十m一1≠0， ∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时，求点 故2k十3m十1=0，k≠1. M的轨迹方程. 于是MN的方程为)-红一)-}1) 解析设MQ为线段OP的垂直平分线， 所以直线MN过点P(号，-)： 交OP于点Q. 分两种情况求，点M的轨迹方程 若直线MN与x轴垂直，可得N(,一y) ①，点M和点A位于直线OP的两侧，如 由AM.AN=0, 图1. 185 更滩食手细高中数学选择性必修第一册RUA :∠MPO=∠AOP, 线.如果不是完整的曲线，那么应对其变量x ,.MP⊥l,且MO=MP. 或y进行限制， 设M(x,y),则√x2+y2=|x十2， 例14已知两个定圆O和O2,它们的半 即y2=4(x+1),x>-1. 径分别是1和2，且OO2|=4,动圆A与圆O 内切，且与圆O2外切，建立适当的坐标系，求 动圆圆心A的轨迹方程，并说明轨迹是何种 曲线 -2 解析如图，以OO2的中点O为原点， 图1 图2 OO2所在直线为x轴建立平面直角坐标系. ②点M和点A位于直线OP的同侧，如 图2. .MQ为线段OP的垂直平分线， '.∠MPQ=∠MOQ. 由OO2=4得点O(-2,0),O(2,0). 又∠MPQ=∠AOP, 设动圆A的半径为r,则由动圆A与圆O .∠MOQ=∠AOP. 内切，有AO|=r-1: 因此，点M在x轴上.记点M的坐标为(x,0). 由动圆A与圆O2外切，有AO2|=r+2. 为分析M(x,0)中x的变化范围，设P(一2， .|AO2|-AO=3<OO21=4. a)(a∈R). .点A的轨迹是以O1,O为焦点，实轴长 由|MOI=MP, 为3的双曲线的左支， 即|x=√(x+2)2+a, 2c=2, 得x=-1-≤-1 =c2-a2= 故点M(x,0)的轨迹方程为y=0,x≤ 4 -1. ∴点A的轨造方程为号一兰=1长》】 97 综上所述，点M的轨迹方程为y2= 4 4 4(x+1),x>-1, 3.相关点法（代入法》 0,x≤-1， 相关点法（代人法）求轨迹方程的基本步 2.定义法 骤如下 (1)求轨迹方程时，若动点与定点、定直线 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点 间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的 坐标为(x0,o): 定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再 (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的 求出其方程。 [xo=f(x,y), 关系式 (2)理解解析几何中有关曲线的定义是解 %=g(x,y); 题关键 (3)代换：将上述关系式代入主动点满足 (3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所 的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹 求轨迹是否为完整的圆、椭圆、双曲线、抛物方程. 186重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 当且仅当r=,即p=V2/2+2时，等号成立。 7.A提示：依题意不妨设F(0,c),F:(0,一c),则过点 F且与渐近线y=号x平行的直线的方程为y 所以S的最小值为22+3. 6x十c,如图. d 单元学能测评 ax+c 1.B 2.C 3.B 4.A提示：设点P的横坐标为x,F,(一C,0). ,线段PF的中点在y轴上， -c十x=0,r=c =x+c. x=一2a .P与F:的横坐标相等，PF⊥x轴。 联立 解得 即M-会)： ∠PF,F=30,∴Pp,=号Ppl. y=-分x… y=2 因为M在以线段FF为直径的圆x+y=2内， :PE+PE=2a,PF=号a 所以（会）+（受）‘<， m∠PF,R--喜- 化简得<3a,即2-a<3a2,故5<2 4=5. 又双曲线的离心率e=名>1. 5.B提示：由题意得a2=10,=8,∴2=a2一？=2. 所以双曲线离心率的取值范围是(1,2). 设椭圆的上顶点为B,由c<b得∠FPF≤∠FBF 8B提示：由题意得直线AB的方程为)一+1a>》. <90O,因此PF⊥FF或PF⊥FF. 当△PAB的面积取得最大值时，设过点P且与AB平 当PF⊥FF时，PF=在=8」 a 10 .S△m,= 行的切线方程为y= x十m(m≠1). 是ER11PE,1=号x22x是-85 /10 5 +y=1 a 联立方程，得 同理，当PF⊥FR时，Sa5=85 y= 5 axtm, 6.A提示：：F驴=3下，点Q在点P,F之间.如 消去y,可得2x+2am.x十d2m-a2=0, 图，过点Q作QM⊥1，垂足为点M,由抛物线的定义知 令△=4amr一8(am-a)=0,得mr=2, QF=QM.设抛物线的准线1与x轴的交点为N, 易知m=一②（正值含去），所以切线方程为y=。x 则1FN|=4,又易知△PQMc∽△PFN,则 ENI /2,易得(0，一2)为切线上的点. 品即4-号 设此时切线到直线AB的距离为d, 4 即(0，一2)到直线AB的距离为d, QM=g,即1QF= 则d= 12+1 =a(w2+1) √日)+- a+1 又AB=+,所以21AB·d-2+1,解得a=2, 则M(一3,0)，N(√3,0)分别为椭圆的左，右焦点， 所以QM1+1QN1=2a=4,所以QN十QM 50 参考答案与提示收超 Q+a)·(QM+1QN)=1+ 联立 +8别≥号，当且仅当1QM=21QvN时取 =2p.x 得y-2pny-护=0， 等号，故QN+OM的最小值为是 则1十业=2m,3为=一扩 9BD提示：当mm>0时，原方程整理得 子+=， 设过点A的切线为y一y=(x一x), 1 y-为=k(x一). n y=2px. 若m,m同负，或=上，则方程不表示椭圆，A错误： 整理可得y-一弟+2兴-听=0， 当m<0时，品或异号，方程表示双曲线，B正确： 由△=(-半)-4(2坐-)=0，可得k= 当m=0时，方程是y2=1,当≤0时，方程无解，故C 错误：无论m,n为何值，方程都不可能表示抛物线，D 同理可得过点B的切线斜率为上 正确. 10.ABD提示：设双曲线的半焦距为c,则c=√云十1， e=c 2 :QA·Q亦=0，故A错误： a5-1 可得A,B处的切线方程分别为yy=p(x十西)， 由题意知五-51，得=5.1 2 2 x+且Q-台”吉) 2 ∴=6+1 2 k如=-当达=一m,当m=0时，ae=-”2 2p 2p a2e=ac=1,A正确： 0,直线AB斜率不存在，两直线垂直，即AB⊥QF, A2(a,0),B(0,1),F(-c,0), ∴.AQ12=IAFIAB, .AB=(-4,1),Fi=(c,1), .AQ.AB=IAQI=IAFIIABI AB.Fi=1-ac=0,B正确： 当m一0时，又直线AB的斜率为品 :双角线后-y=1的渐近线方程为士ay=0, .AB⊥QF,∴.AQI2=|AFIAB|, .A0·AB=AQ12=AF1AB,故B正确： ∴顶点到渐近线的距离d=口一 设AB的中点为H,则m=当兰， 2 C错误： AB.F克=0，∴AB⊥FB. QH∥x轴， QA+QB-2QH. ,△AFB为直角三角形，且∠ABF=90°，A:F= 向量Qi+Q与向量a=(一1,0)共线，故C正确： a+c, 设淮线1与x轴的交点为M, ∴△AFB的外接圆半径为士， :ABLQF,∴△ABQ的面积S=号ABIIQF, 故△4FB外接圆面积S=x·(安)-吾（公十 则当AB最短时（最短为2p),QF也最短，最短为 c+2ae=245D正晚 MF1=p,故△ABQ面积的最小值为p2,故D正确. 12.5.提示：设圆(x-3)2+y2-1的圆心为A(3,0), 1L.BCD提示：由题意可作图如图所示 由题意可知PMLAM,∴.PM2=AP1'-AM, 设A(n),B(n), 1AM=1, 直线AB的方程为x=w十专， ∴AP越小，PM越小，而A为椭圆的右焦点， 51 重滩点手册高中数学选择性必修第一册UA .AP1最小为5-3=2， 故C的方程为号一-普=1 .PM的最小值是√4-I=. 选择条件②.若m>0.则a2=m,6=2m,c2=3m,所 13.3:2.提示：由题意得2=厄， 以a=m,c=√3m,所以C的焦距2c=2√3m=6, 则b=2a,2=a2+}=3a2,所以c=√3a, 解得m=3,故C的方程为号一苦-1： 所以双曲线的离心率e=二=3. a 若m<0,则a2=-2m,=-m,2=-3m,所以c= 在后一若-1中，令x=c得y=士公=士2， 、-3mm,所以C的焦距2c=2√一3m=6,解得m a 所以不妨设A(3a,2a),则AF=2a, -3,故C的方程为号-号-1. 由AF|-AFl=2a,得AF|=4a, 选择条件③.若m>0,则a2=m,所以a=m, 所以∠AFR=-2 因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4， 所以2a=2m=4,解得m=4, ab=23. a=2. 提示：由题意得a=2c, 解得 则C的方程为片一苦=1： b=3. a=序+c2. 若0.则a2=-2,所以a=/一2m, 所以椭圆C的标准方程是号+芳=士 因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4， 由题意知直线1的斜率不能为0，设直线/的方程为 所以2a=2√一2m=4,解得m=-2. x=my+l. 则C的方程为号一号=1， (x=my+1, 用2+芝=1.得(3m+4y+6一9=0. 16设直线1的方程为y=是十A),B。 设A(.n),B(), 1)由题意得F(子0），故AF1+BF=十m+ 6拉 9 所以十为=一3mn为=一3+4 号，由题意可得石十看=号 所以1n一=0+为)-4为=12m更 3 3m2+4· 可得9x2十12(t-1)x十42=0. y2=3x, 所以Sm=号×OPX-=6开 3m2+4, 则+n=-121-业 9 令=√m+1(≥D, 6t 6 从而-12)》=吾解得1=一冬 9 0m=-1,S6N8=3E+13+1 所以直线1的方程为y=号一寻。 因为y=3+在[1，+∞)上单调递增， (2)由AP-3PB可得y=-3. 所以当1=1，即m=0时，△OAB面积取得最大值， 3 y-2rtt. 可得-2y+2t=0. 最大值为受 y2=3x 15.选择条件①.因为m>0,所以a2=m,=2m,C2= 所以边十为=2，从而一3”十=2， 3m,所以a=m,c=√3m. 故为=-1=3.代入C的方程得x=3=子 因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值 为&十c,所以a十c=√m+V3m=3+3,解得m=3. 故AB别=4国 31 52 参考答案与提示么超 17.(1)由题意知，∠MAB=45,AC=4m, 3m 3m 干3状+3 则1CM=4m 直线l:y=kx十m(k>0,m>0)与x轴交于点Q,则 因为四边形ABFM是等腰梯形， 由对称性可知，AH1=HB1=号AB=2m, Q-是o: 当直线1与圆C:相切时，设O为坐标原点， ACI=BEI=4 m.CHI=AHI-ACI=18 m. 所以MF=2CH=36m 将直线ON:y=一方x与y=x十m联立， (2)由(1)知点M的横坐标为一18，N的横坐标为 一加 -(18-5)=-13. 解得 即N智) 设点M,N的纵坐标分别为y1,, 少一2十1' 由题图可知y一|=5.55一41=1.55. 则△Q5,N的面积S=立1Q5:l=2(1+)· 设抛物线MOF的方程为x”=-2py,p>0,x∈ [-18,18]. () (-18)2=-2m, 将点M,N的坐标代入抛物线方程，得 因为m=4k2+3, (-13)2=-2, m(k十n)(m一k) 两式相减得2p(女一1)=18-13=155，解得2p 所以(m一)S 2=2k+>≥ 3m 100,枚抛物线方程为x2=-100y,x∈[-18,18]. 4k2+3 因此当x=-18时y100×(-18)=-3.24, 2V2k·景=25. 故y=3.24m, 所以桥梁的拱高OH=3.24十4=7.24m 当且仅当2=录，即女-时取等号。 18.(1)因为点B(05)在椭圆C上，所以b=√3. 所以m)S的最小值为2。 S 因为E(一0，所以直线郎的方程为二十后1， 19.(1)不妨设点M的坐标为(x,y): 由题意可知，lx一4=2√(x-1)+(y一0)序， 即V3.x-cy+3c=0. 化简可得号+苦-1， 因为当直线B旺，与圆C相切时一受。 故曲线C的方程为矿+号-1 所以BL=9,解得2=1. √3+e2 (2)不妨设直线1的方程为y=号x+m,A(), 则心=公十=4，所以能圆的方程为号十苦-1 B(): (2)设M(x,y),N(x2), 因为直线1不过点P(1,号），易知m≠1， 将y=红十m代入号+ 31, 1 y-2x+m. 得(4k2+3).x十8kx+4r2-12=0, 由 可得x2十m.x十m2一3=0， 由直线！与椭圆C1相切得△=0， 一4km 由△=㎡2-4(m2一3)>0且m≠1可得一2<m1或 =4k+3' 1<m<2.由根与系数的关系可知十=一m,x1x 即m2=4k2+3.且 3 为=4k+3 =m2-3.① y1-2 3 则△FFM的面积S,=号FRln=令·2· 因为kpH= 十， 53 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 为=+m… 6B提示：将直线方程)一十2代入椭调方程号+号 3 3 1,消去y,可得(2+3k).z2+12kx+6=0, 所以kA十km= -1中x-1 ∴.△=144k2-24(2+3)=72k2-48. =.十(m-2)(十)-2m十3 ,直线和椭圆有交点，.72k2一48≥≥0. xx:一(+)+1 将①代入上式得kpm十k阳=0， 故kA十km的值为O, 7,C提示：因为点D在直线OC上运动，所以可设点D (3)由椭圆方程号+芳=1可知，Q点的坐标为0尽. 的坐标为(a,a,2a),则DA=(1-a,2-a,3-2a),Di (2-a,1-a,2-2a),Di.Di=(1-a)(2-a)+(2 因为以EF为直径的圆恰好经过Q点，所以QE⊥QF a)(1-a)+(3-2a)(2-2a)=6a2-16a+10. 结合椭圆特征可知直线EF的斜率存在， 不妨设直线EF的方程为y=k.x+b,且b≠3，E(x, 所以a=专时D·D成跟最小值，最小值为一号，此时 3为)，F(4y. (y=kx+b. 点D的坐标为（号，子·）： +y=,可得(4k+3).x+8kx+4G一12=0 8.A提示：设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长 为aa(a1>d:),半焦距为c,则F1F2=2c. 由△=(8kb)2一4(4+3)(4-12)>0可得F< 设PF,=n,PF=,椭圆的离心率为，双曲线 4十3.由根与系数的关系可知， 的离心率为，不妨设n>n,在△FPF中，由余弦 ra十4= 青 ② 定理得4=片+片-2n方cos晋=斤+疗-nn: 因为QE=(x,为-3).QF=(x4,y-3),为 n+r=24, k+b,y=kx十b, 由椭圆和双曲线定义可得 n-r2=2a2 所以Q迹.亦=五十（一3）(y一3)=(+1)· n=a1十dg, x3x十(b-3)(+x)+(h-√3)2=0， 1+1-=4+@g=n c r=a1-a2. 将@代人上式并化简可得6=一写， 4斤 4 故直线EF的方程为y=k:一写， 则直线EF必过定点(0.-）。 从面直线EF经过定点，定点坐标为(0，一号）。 模块高考水平测试 )号（日+）= 9.ACD提示：由题意可知，直线1与直线4：2x一y+3=0 1.B2.D3.A4.A 的倾斜角互补，所以直线1的斜率为一2，故A正确： 5.D提示：由题意得△PFF是直角三角形，设P= 直线1过点P(-1,1),则直线1的方程为y一1= m,PF1=由勾股定理得(2c)2=m+=(m -2(x+1),即2.x+y十1=0，则直线41,1与x轴的交 n)8+2mu=4a+4ae,∴.c2-a-a2=0. ∴.e2-e-1=0. 点分别为(-号0），(（-20），两直线交点为(-1， “c>1,e=E+l 21 1D,所以所围成的等腰三角形的面积为号×（一号十 54