3.2.1双曲线及其标准方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章圆维曲线的方程么型 3.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 重点和难点 课标要求 重点：双曲线的定义、标准方程 1.理解双曲线的定义. 难点：双曲线的形成及标准方程的推导。 2.理解双曲线的标准方程 01必备知识梳理。 基础梳理 卫划重点司 知识点1双曲线的定义 1.在双曲线定义中，若 MFl-|MF2|=2a(0< 平面内与两个定点F,F2的距离的差的绝对值等于非零常 2a<F1F2|),即“去掉绝对值 数（小于FF2)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫作双曲线 符号”，则动，点M的轨迹为双 曲线的一支（靠近点F2) 的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距， 2.2a的大小与点M的轨 (1)距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若F,F2 迹如下表所示 分别表示双曲线的左、右焦点，有两种情形： 条件 结论 动点M的轨 ①若点P满足|PF:|一|PF=2a(a>0),则点P在左支 0<2a<FF 迹是双曲线 上.如图1. 动点M的轨 迹是分别以 2a=F:F:l F1,F为璃 点，指向F F所在直线 两侧的射线 动点M不存 2dFFl 在，因而轨迹 图 图2 不存在 ②若点P满足|PF|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支 动点M的轨 2a=0 迹为线段 上.如图2. FF的垂直 平分线 (2)双曲线的定义可用集合语言表示为： P={MIMF|-|MF2|=2a,0<2a<|FF2|. 卫划重点7 (3)注意定义中的“小于FFz”这一限制条件，其根据是“三 (1)何谓双曲线的标准 方程？ 角形两边之差小于第三边” 双曲线的标准方程是指 ①若2a=2c,即1IPF|一|PF2|=FF21,根据平面几何 在“标准”条件下的方程，即焦 点在坐标轴上，且中心为原，点 知识知，当PF|一PF2=FF时，动点轨迹是以F2为端点 的双曲线方程。 (2)双曲线标准方程的类 向右延伸的一条射线：当PF2一PF|=|FF2|时，动点轨迹是 型如何判定？ 以F为端点向左延伸的一条射线 焦，点F,F:的位置是双 133 更滩食手细高中数学选择性必修第一册RU ②若2a>2c,即|IPF|-PF2|>|F1F21,根据平面几何 曲线的定位条件，它决定了双 曲线标准方程的类型，“焦点 知识知，动点轨迹不存在 跟着正项走”，若x项的系数 知识点2双曲线的标准方程 为正，则焦点在x轴上：若y 项的系数为正，那么焦点在y 位置 标准方程 图象 焦点 焦距 轴上. (3)双曲线标准方程中的 参数a,b,c的几何意义如何？ 焦点在 F(-c,0) x轴上 名 (a>0.b>0) F2(c,0) 焦点在 F(0,-c) 在标准方程中，因为a,b,d 2e 三个量满足2=口2十B,所以 y轴上 F2(0,c) a,b,c恰好构成一个直角三角 (a>0,b>0) /E1 形的三边且c为斜边（如图）， 重难拓展 重难点1双曲线的焦点三角形问题 如图，P是双曲线后一 =1(a>0,b>0)上任意一点.F.F 通记方法岁 分别是双曲线的左、右焦点，当点P,F,F2不在同一条直线上 焦点三角形问题的求解思路 时，它们构成一个三角形—焦点三角形 在解与焦点三角形 (△PFF:)有关的问题时，一 般地，可由双曲线的定义得焦 半径PF,|PF2|的关系式， 或利用正弦定理，余孩定理得 设∠FPF2=0,则由双曲线的定义及余弦定理得， PF,PF2|的关系式，从而 求出PFl,PF. PF-PF2=2 PF2+PF22-2PF PF2 但是，一般我们不直接求 =42,① 解出PF,|PF,,而是根据 PF2+PF22-2PFPF2 cos0=FF22=4c2.2 需要，把|PF+PFI, 由②-①得21PF11PF2(1-cos0)=4c2-4a2, PFI-IPFI,PFI· 2b8 则1 PFlIPF:=1-cosg PF:看作一个整体来处理. 又SAr,E=2 PFPF:lsin9: 从而S△PF,R=· sin0 b2 1-cos0 tan 2 例①(2024·西北师大附中检测)已知F1,F2分别是双曲线 C号-旷=1的左，右焦点，过点B的直线1与双商线C的有支 134 第三章圆维曲线的方程么型 交于A,B两点，则△AFB的周长的最小值为( A.4√2 B.5√② C.62 D.7、2 系折由双曲线C:号-少=1可知口=2， b=1, ∴.lAF1|-|AF2|=2a=2、2,IBF1| |BF2|=2a=22. ∴.(|AF|+|BF)-(AF+BF2|)=4w2, .|AF|+IBF|=|AF2|+|BF2|+42=AB+4√2 ,△AFB的周长为IAF|+|BF|+|AB|=2|AB|+ 42,当|AB最小时，△AFB的周长最小，.当AB⊥ x轴时，△AFB的周长最小，最小值为2引AB+4V2=2X2沙+ 42=2×2X1+42=6V2. √2 答寨C 重难点2椭圆方程与双曲线方程的统一形式 色记方法湿 父+少=1既可以表示椭圆又可以表示双曲线。 共焦点双曲线方程的设法 71 与描国导+芳- (1)当方程表示椭圆时，m,n应满足m>n>0或n>m>0. (a>b>0)有公共焦，点的双曲 (2)当方程表示双曲线时，m,n应满足m<0.当m>0,n<0 时，方程表示焦点在x轴上的双曲线：当m<0,>0时，方程表示 线方程为本十= (-2<入<一？)：与椭圆 焦点在y轴上的双曲线。 +若=1(a>6>0)有公共 y 若不确定焦点的位置，则可设双曲线的方程为二+上 焦点的双曲线方程为， -4 1(mm<0)或m.x2十y2=1(mn<0) a+ 例巴讨论二无十。产太1表示何种圆锥线？它们有何 a=1(-a2<<-r). 共同特征？ ②)与双商线导-若-1 (a0,b>0)有公共焦点的双 解析(1)当k<9时，25一k>0,9一k>0,所给方程表示椭 圆，此时，a2=25一k,b=9一k,a2一=16，这些椭圆有共同的焦 由线方程为布产引 (一a2<入<？)；与双曲线 点(-4,0)，(4,0) y r (2)当9k<25时，25一k>0,9一k<0,所给方程表示双曲 =1(a>0,b>0)有公 线，此时，a=25一k,b=k一9，c2=a2十？=16，这些双曲线也有 共樵点的双曲线方程为广 a'+A 共同的焦点（一4,0），(4,0). (3)当k≥25或k=9时，所给方程不表示任何圆锥曲线. -A1(-a<<F). 135 重难点手册高中数学选择性必修第一册R/ 02一关健能力提升。 惠型方法 答案 号-兰-=1(x>2) 题型1双曲线方程的探求方法 13 44 求双曲线的标准方程是一种常见的基本 2.待定系数法 题型，也是高考常考的一种题型.常用的求解 先根据题意确定焦点在x轴上还是在y轴 方法有： 上，以便确定方程的形式，然后根据条件求出 1.定义法 a,,即先定形，再定量.形即为两种方程的形 先利用双曲线的定义求出a,再由= 式，量即为a,的值. c2一a2求出仔，从而求得方程 在利用待定系数法时应注意以下几点： 在利用定义法时应注意以下几点： (1)当焦点在x轴上时，双曲线方程可设 (1)动点M是否满足双曲线的全部定义. (2)条件MF|-MF:|=2a与MF,| 为系-1(a>0,6>0),然后由条件求出 MF2|=一2a是否同时成立 a,b. (3)焦点所在的坐标轴是否明确. (2)当焦点在y轴上时，双曲线方程可设 例3在△ABC中，已知B(-1,0),C(1, 0),则满足simC-smB=号sinA时顶点A的 为 存=1(a>0,b>0),然后由条件求出 轨迹方程为 a,b. (3)如果已知双曲线的方程为标准式，但 解折在△ABC中，由正弦定理得AB sin C 不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为 =IBCI_ACI m.x2一y2=1(mn>0),然后由条件求出m,1. sin A sin B' 例④根据下列条件，求双曲线的标准 sin C-sin B-sin A. 方程。 IABI-IACI-IBCI=1<IBCI-2. 0a=4,经过点A1,-4: ∴顶点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲 线的右支且除去与x轴的交点 （2)与双线后。苦-1有相同的焦点，且 小设此双曲线的方程为二-兰 7a-加=1(a>0. 经过点(3、2,2)： b>0). (3)过点P(3,).Q(-6)且焦点在坐 由已知得2a=1c=1,∴a= 标轴上 2 解析(1)当焦点在x轴上时，设所求标准 6=-d=是 =1(b>0),把，点A的坐标代入， 顶点A的轨速方程为-=(>》 方程为后 13 44 得公=1×180<0，不特合题高： 136 第三章圆锥曲线的方程么型 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 1.确定有关几何量的值 16 存=1(b>0),把点A的坐标代入，得P=9.故 例日已知双曲线号一芳 =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交 所求双曲线的标准方程为亡=1 169 双曲线右支于A,B两点，若BF·BF=O,且 (2)方法一设所求双曲线的标准方程为 cos∠RAF,=号，则% r2y =1(a>0,b>0), 解析，BF1·BF2=0,∴BF1⊥BF2. 由题意可得c2=16+4=20, 设A5=m,由cos∠BAB=号， 即a2+b=20.① 双曲线经过点(32,2)， 得AB=青m,BF=m 9清-1@ 由双曲线的定义知BF2|=|BF1|一2a= 由①②得a2=12,b=8,故双曲线的标准 5m-2a 方粒为后-首-1 |AF2=|AF1-2a=m-2a, 由AF2|+IBF2=AB, 方法二设所求双曲线的方程为16—入 得m-2a十m-2a-青m, 解得m=5a, 4+λ =1(-4<<16). ∴.BF1l=3a,BF2|=a. ,双曲线过点(3√2,2)， |FF2I=2c,BF1⊥BF2, 0=1,解得=4 .由|BF1|2+|BF212=|FF22, 故双南线的标液方程为后营-1 得10a2=4c2.又c2=a2+2, (3)设双曲线的方程为Ax2十By=1(AB0). d=4,号-5 ,点P,Q在双曲线上， A+需B=1. A= 1 璃 16 2.有关动点轨迹方程问题 解得 2gA+25B=1. B-g. 例6(2024·宜昌一中月考)一动圆P过 定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+ 故双曲线的标准方程为兰一二 916=1. y=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是 (). 题型2双曲线定义的应用 像椭圆一样，若能灵活地运用双曲线的定 A-=1(≥2 412 义，就能使有关问题得到简便的解决.常见类 =1(x≤2) 型有： R军 137 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUA c 最小值为|PF=√[3-(-3)+1=√37. 故AP+AF的最小值为√37-2√5. 答案(1)5.(2)C 解析由题知|PN|-PM|=4,2a=4, 题型3双曲线与椭圆的综合问题 2c=8,所以b=2、3,所以动圆圆心P的轨迹 双曲线与椭圆的比较如表新示. 方程为-后1 曲线 椭圆 双曲线 PF+PF:|=2a PFI-|PF4=士2C 答案C 定义 (FF2=2c,2a>2c)(1FF2|=2e,2a<2c) 3.有关双曲线的最值问题 例7(1)(2024·荆州中学月考)P为双 标准 1影+ =1 曲线-苦-1右支上一点，M.N分别是圆 方程 (a>b>0) (d>0,b>0) (x+4)2+y2=4和(x一4)2+y2=1上的点，则 图形 分两支，不封闭，不 封闭的连续曲线 PM一PN|的最大值为 特征 连续 (2已知，分别为双商线号一-苦-】 根据标 以大小分a.6(如号 以正负分a,6(如听 的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在 准方程 =1中，9>4，则 双曲线的右支上，则|AP十|AF2的最小值为 确定d, 9 号=1中，4>0，-9< (). b的方法c=9,=4) 0,则a2=4.=9) A.37+4 B./37-4 a.b.c a2=b+2(a最大) c2=a十6(c最大》 C.√37-25 D.√37+25 的关系 解析(1)双曲线的两个焦点F1(一4,0)， 例8(2024·北京四中单元检测)如图， F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分 已知双曲线C和椭圆C:有相同的焦点 别为n=2,r2=1,易知PMx=|PF|十2， F(一c,0),F2(c,0)(c>0),两曲线在第一象限 PNmm=|PF2|-1,故|PM-PN|的最 内的交点为P,椭圆C2与y轴负半轴的交点为 大值为|PF+2-(|PF2|-1)=|PFI B,且P,F2,B三点共线，PF2:F2B=1:2, 1PF2|+3=2+3=5. 又直线PB与双曲线C,的另一交点为Q,若 (2)因为IAP|+ IF:QI-/ 5 ,求双曲线C和椭圆C2的方程. AF=API+AF P3,1) 一2√5，所以要求|AP| 十|AF2|的最小值，只需 求|AP|十|AF|的最小值 如图，连接FP交双曲线的右支于点A 面依随意，可孩G后 5=1(m>0, 当点A位于，点A。处时，|AP|十AF|最小， 138 第三章圆维曲线的方程么型 ≥0》.其中m+矿=，G导+若-1a>心 由两点间距离公式及下Q=停，符 0),其中a2-=2,显然B(0,-b),F2(c,0). 2=4 ,|PF2|:FB=1:2, “所求双由线C的方程为写-y=1,椭 由定比分点公式得P受)。 ,点P在椭圆C2上， 国G的方粒为后+首-1 器+1d=3,=2 易错些示 ◆易错题21（错误率26%）(2024·武 又，点P在双曲线C1上， 汉六中检测)已知F1(一5,0)，F2(5,0),动 92b2 六4）4r=l. 点P满足|PF|-PF2=2a,当a为3和5 ∴.4n+7c2n2-2c=0,即(4n2-c2)(n2十 时，P点的轨迹分别是( A.双曲线和一条直线 22)=0-m= B.双曲线和一条射线 直线PR的方程为)y(一c)=2x一， C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 将共代入双南线方粗装-号-1，有 2 ◆易错题22（错误率25%）(2024·珠 20.x2-48c.x+27c2=0, 海-中检别者方程千m十。1表示 y x= c或x=3 9 a品 双曲线，则实数m的取值范围为 口03-核心奏养聚焦。 考向分类 所以△PFF2是以P为直角顶点的直角 考向1双曲线的定义 三角形. 例g(2020·全国I卷)设F1,F2是双曲 于是得PF2+1PF2|2=FF212=16. 又由双曲线的定义得|PF|一PF:|= 线Cx-号-1的两个焦点，0为坐标原点， 2a=2, 点P在C上，且IOP|=2,则△PFF2的面积 两边平方得PF2十|PF2|2一2PF· 为(). PF2|=4. A号 B.3 c 所以PF1IPF2|=6. D.2 解析方法一由条件a=1,b=√3，得 故Sam,5=号PFPF=号×6=3， 方法二设F,F2分别为双曲线C的左、 c=√a2+?=2,则|FF2|=2c=4, 右焦点，则由题意可知F(一2,0)，F2(2,0), 又OP=2=2FFal, 又OP=2,所以|OP1=|OF11=|OF2. 139 更雕食手细高中数学选择性必修第-册RUa 所以△PFF2是直角三角形. 所以S△FE,= b 3 tan45=3(其中0 2-3+=8-10，故-< tan 2 答案A ∠FPF2). 命题意图：主要考查双曲线的标准方程，以 答秦B 命题规律及向量的有关基本运算 真题探源：根据教材有关知识命制 命题意图：主要考查双曲线的定义，以及 “设而不求”的基本思想方法 常考题型选填题难度系数0.55高考热度 ★★★ 命题规律 真题探源：根据教材P121[练习]第4题 核心素养 致学运算 素养水平 水平二 命制 頁题演练 常考题型 选填题难度系数 0.6 高考热度 ★★ L.(2020·浙江卷，考向1)已知点O(0, 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 0),A(一2,0)，B(2,0).设点P满足|PA 考向2双曲线的标准方程 |PB引=2，且P为函数y=3/4一x2图象上的 例10（经典·全国I卷）已知M(x0,%) 点，则OP=( 是双曲线C:号 y2=1上的一点，F,F2是C A②2 B4v10 2 5 的两个焦点，若MF·MF<0,则的取值范 C.7 D.10 围是( ) 2.(经典·全国Ⅲ卷，考向1、2)已知F是 A(-9 双曲线C苦-苦-1的一个焦点，点P在C 5 C(-22,22 上，O为坐标原点.若OP=|OF1,则△OPF 3,3 D.(-2B25 33 的面积为( 解析由双曲线的方程知F1(一√3,0)， A. c F2(W3,0),从而MF=(-3-,-w), MF=(W3-x0,-b),从而MF·MF= 3(2021·全国乙卷，考向1)双曲线号 3十垢.又点M%)在双曲线上，所以受 =1的右焦点到直线x+2y一8=0的距离 5 听=1，即6=2+26.所以MF·MF=2+ 为 04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：10分钟 2.[题型2]半径不等的两定圆O,O2无公共点 1.[题型1门(2024·武汉中学检测)已知双曲线 (O,O是两个不同的点)，动圆O与圆O1, =1的焦点在x轴上，若该双曲 O都内切，则圆心O的轨迹是( a-31-a A.双曲线的一支 线的焦距为4，则a等于( B.椭圆或圆 A.1 C.4 D.10 C.双曲线的一支或椭圆或圆 140 第三章圆锥曲线的方程么型 D.双曲线的一支或椭圆 综合提能练 测试时闻：20分钟 -义=1左支上 B[题型2]已知在双曲线0 6.[题型2](2024·武汉四中检测)已知双曲线 有一点M到右焦点F2的距离为18，N是 C后-苦-1的左，右焦点分别为R,F, 9 线段MF2的中点，O为坐标原点，则ON P为双曲线C上一点，直线I分别与以F,为 等于( 圆心、FP为半径的圆和以F2为圆心、F2P A.4 B.2 C.1 n号 为半径的圆相切于点A,B,则AB|= (). 4[题型3]已知椭圆 6 2 】和双确线号 A.2√7 B.6 C.8 D.10 y=1的公共焦点为F,F2,P是两曲线的 7.[题型2](2024·邯郸一 个交点，那么cos∠FPF2的值是( 中检测)如图，F,F2分别 A B号 c 是双曲线导- y =1(a> 5,[题型2如图，F,F2是双曲线号-若=1 0,b>0)的左、右焦点，过 的两个焦点， F,(一√7,0)的直线l与双曲线的左、右两支 ()若双曲线上一点M到它的一个焦点的距 分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角 离等于16，求点M到另一个焦点的 形，则双曲线的方程为( 距离； B若-y=1 (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF「· PF2|=32,试求△FPF2的面积 cx2--1 n器-y-1 7 8.[题型1](2024·成都七中月考)已知双曲线 的两个焦点F1(-10,0),F2(√10,0)，M 是此双曲线上的一点，且MF·MF=O, MF11MF|=2,则该双曲线的方程是 (). A6-r=1 B2-g=1 9 c号苦1 9.[题型1、2](2024·贵阳一中检测)（多选题） 已知A,B两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2 秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的 是(). A.爆炸点在以A,B为焦点的椭圆上 141 更难食手册高中数学选择性必修第一册U口 B.爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一 13.[题型2](2024·本溪高中检测)如图，已知 支上 双尚线2一首=1的左，右焦点分别为下 C.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声 强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B F2,第一象限内的点P在双曲线上，点M 监测点的距离为米 是线段PF的中点，O为坐标原点。 (1)若点M在y轴上，求点P的坐标； D.若B监测点的声强是A监测点的4倍 (2)若OM与PF垂直，求直线PF的方程. (声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到 B监测点的距离为680米 10.[题型2](2024·西北工业大学附中检测) (多选题已知P是双曲线E:后一苦-1的 右支上一点，F,F2分别是双曲线E的左、 右焦点，△PFF2的面积为20，则下列说法 正确的有( A点P的横坐标为9 B△PE,F的周长为婴 培优突破练 湖试时间：20分钟 14.[题型2](2022·上海交大强基计划测试) C.∠FPF大于 双曲线C:千-1的左、右焦点分别为 D.△PF,R的内切圆半径为号 A,B,点C在双曲线上，c0s∠ACB=号，求 11.[题型2、3]已知点A(1,0),B(-1,0),动点 △ABC的周长. M满足：直线AM与直线BM的斜率之积 为定值m(m≠0). (1)若点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆 (除去点A,B),则m的取值范围是 (2)若点M的轨迹是焦距为4的双曲线（除 去点A,B),则m 12.[题型2]已知F是双曲线C:x-=1的 右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6√6). 当△APF周长最小时，该三角形的面积 为 142参考答案与提示收型 15.(1)设B(x,y,则P(y-√5.-5-x), 2.D提示：两定圆O,O无公共点，则它们的位置关系 代入椭圆C的方程得动点B的轨迹方程为9一5 是外离或内含.设两定圆O,O的半径分别为n, n(n>n),圆O的半径为R.又圆O与圆O,O都内 +5y=1. 切.则当两圆O,O外离时，OO|=R-n,IO)|= 4 R-n,.10)|-OO|=n-n<OO|,此时圆 (2)连接QF,易知PQ1+|PF≥QF1=√18+65 心O的轨迹是双曲线的一支：当两圆O,O内含时， =√3(W5+1)2=√/15+V3. 1O0=n-R,1OO|=R-n,.10O|+O01 记右焦点F(5,0),如图，连接PF,QF, n一n>OO,此时圆心O的轨迹是椭圆. 则1PQI+1PF1=6+|PQ1-|PF|≤6+|QF1=6+ 3.A提示：如图，设双曲线的左焦 点为F,连接MF. M √18-65=6+√15-√. :O,N分别是线段F1F2,MF 故PQ+PF列的取值范围为[15+3,6+√5一们. 的中点，·ON=21MEl 又MF:-MF1=2a=10,.∴.|MF=MF,|- 10=18-10=8,.10N1=4. 4.A提示：不妨设点P在第一象限，F,F分别为左、 3.2双曲线 右焦点.因为P在椭圆上，所以PF|十PF=26. 3.2.1双曲线及其标准方程 又P在双曲线上，所以PF|一|PF=23.两式联 真题演练 立，得|PF1=√6+3，PF2|=6-3.又FF|= 1.D提示：因为PA一PB=2A,所以点P在以A, 4,所以根据余弦定理可以求得cos∠FPF,=寻 B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上， 由c=2,a=1可得=2-a2=4-1=3, 5.(1)由双曲线的定义得|MF,|一|MF|=2a=6, 双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 即双曲线的右支方程为一号 =1(x≥1)， 3 假设点M到另一个焦点的距离等于x,则16一x=6, 面点P还在函数y=3√A一x的图象上， 解得x=10或x=22. 由于c-a=5-3=2,10>2,22>2, y=3w4-x, 2 所以由 解得 所以点M到另一个焦点的距离为10或22 22 32 3 =1(x≥1)， 小3g (2)由题意得2=9+16=25，∴c=5,F1F|=10. 2 将1IPF2|-PF,1=2a=6两边平方， 即op-V厚+牙=m PF+PF:-2PFPF:=36. 2.B提示：因为2=a2+=9,所以OP1=OF=3. .PF+PF=36+2PFPF:=36+2X 设点P的坐标为(x,y),则x2+y=9, 32=100. 把=9一y代入双曲线的方程，得=号， 在△FPF中，由余弦定理得 co/F PF:=IPE+IPE-EF 所以Sam=0F·y=号， 2PFPF: 100-100 3.5.提示：由已知得c=√+？=√/5+4=3.所以 21PF,IIPF:1-0. 双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线x十 .∠F1PF=90° 2y-8=0的距离为13+2X0二81-5=5. Sm,=7PE,1PE=号×32=16. 1+25 学业质量测评 6.B提示：依题意得a=4,b=3c=√a2+=5.设点 1.C P在双曲线的右支上，如图所示，过F:作FD⊥AF 37 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 于点D,易得四边形ABF:D 由△PF,F的面积为20，可得号FBn=cm=5n= 为矩形. AFI=PF,BF 20,即1=4，由%一9-1，可得m-号，放A正确： =PFI, .FDI=AFI-ADI= 由P(94,且r(-5,0,R60, AFI-IBEI=IPFI- 可得PE+PR,√i6+号+√i6+吾-智+ |PF|=2a=8. 又IFF=2=10,.在R△FDF中，|FD1= 号-翠 √F,F2-FD下=√/10-8=6. 则△PF,R的周长为9+10-婴，故B正确： ∴.AB=|FD1=6. 7.C提示：根据双曲线的定义， ∠乐PR=IPEPEE TPEEE-> 2PFPF: 有AF2|-AF=2a,① BF1-BF=2a.② 名-oms青：结合余弦函数的性质可得∠FPR< 由于△ABF为等边三角形， 吾，故C不正确， 因此AF=|AB=BF:. 设△PFFz的内切圆半径为r,可得 ①+②得|BF,1-AF,|=4a, 则|AB1=|AF:|=|BF|=4a,BF1|=6a. PE+PE,+F)=号F·4,可得 又∠F1BF2=60, 智一40，解得一子，放D正硫 所以02er=(6a》产+4a)-2×6a×4a×7 1L.(1D(-∞，-1).(2)3.提示：(1)设Mx,y),根据 即7a2=c2=7,解得a2=1,则=c2-a2=6, 条件可知M的轨迹方程为片·产一m 所以双曲线的方程为x一士=1. 即y=.x2一m(x≠士1)， 8A提示：M正.MF=0,M⊥M. 所以r-品=1x≠士，即r+号n=1x≠士1) ∴.|MF2+MF1=40. 又点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去点A,B), MF-MF:Il=24, 所以一m>1,所以<一1，即∈（一o∞，一1）： .Mf11MF=20-2a2=2,.a2=9.=1. (2)由(1D知点M的轨迹方程为x一兰=1(x≠士1). 故所求双尚线的方程为号--L 当点M的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点A,B) 9.BD提示：依题意知，A,B两监测点间的距离为800米， 时，可知1+m=(告)广，所以m=3 且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒， 设爆炸点为C,则|CA一1CB=340×2=680<800, 12.126. 提示：如图，由已知得a 所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上，所以 1,c=3,则F(3,0),AF=15.设 A选项错误，B选项正确：若B监测点的声强是A监测 F是双曲线的左焦点，连接 点的4信声强与距离的平方度反比).则=， PF,AF,根据双曲线的定义有 1PF一PFI=2,所以IPA+ 即1CA=21CB,结合|CA-|CB=680,可得CB1= 1PF=|PA|+PF+2>|AF|+2=17,当点 680,所以C选项错误，D选项正确. P是线段AF,与双曲线的交点时，上式取等号，即 PA+|PF1=PA+PF+2最小，即△APF的 10.ABD提示：易知双商线E:后一苦-1的a=4,6 周长最小，此时m∠OAF=吉，∠PAF=2∠OAF, 3,c=5. 不妨设P(m,n),m>0,n>0, 所以cas∠PAF=1-2sim∠OAF=完，进而求得 38 参考答案与提示么超 m∠PAF-由余孩定理得PFP=PAI+ y 9 =1, 联立 两式相减得友w一9 AF12-2IPA|AF|cOs∠PAF,即(17-1PA)F= 一9 =1 PA+15-2PA×15×器解得PA=10,于是 因为直线AB与双曲线的两支交于两点，双曲线的渐 Sm-号PAIIAFn∠PMF=号XI0XI5x 近线方程为y=士3x, 所以-3<km<3,所以-3<8<3， =12V6 13.1)出双曲线方程x-兰=1可知，a=1,b=5.所以 即出<-3或立>3，分析各选项知D选项符合题意. To 3 2.A提示：因为PF|=31PF|, c=2,故F,(一2,0)，F2(2,0).若点M在y轴上，且点 由双曲线的定义可得PF一|PF|=2PF=2a, M是线段PF,的中点，则点P的横坐标为2 所以IPF|=a,PFl=3a. 当x=2时4一苦-1，得y=9. 因为∠FPF2=60°， 由于点P在第一象限，所以=3， 由众弦定理可得42=9a2+a2-2×3a·a·cos60°， 故点P的坐标为(2,3). (2②设Pmm,m>0,>0,则m-号=1，① 整理可得松-证.所以产-导=子， 又0M与PF,垂直，FR(-2.0,M"2子，受 3B提示：因为双曲线号一若=1过点E), 所以km一n兰2Xmn十2-l,② 则是-是-1① 又离心率为2， 联立①②解得m-号m一是即P停，是》 所以=√1+ =2② 由①②可得a2=1,=3, 所以直线PF的方程为y= 2(x十2)， +2 2 所以双曲线的标准方程为？一苦-1 即3x-(W7+4)y+6=0. 提示：双曲线的渐近线方程为x士y=0, 14.依题意得1AB=8,1ICA一CB1=4, 圆x十y-4y十3=0的方程可化为x2+(y-2)=1, .CA*+CB:-2ICAICBI=16. 则圆心坐标为(0,2)，半径r=1. 在△ABC中，Os∠ACB=CA+CBAB2 2CACB ,双曲线的渐近线与圆相切， 16+2CACB-64=3 ∴圆心到渐近线的距离d=生2m=1. 2 CACB 5 1+m ..ICACBI=60,(ICAI+ICBI)=(ICAI- 1CB)2+4|CA1CB=256, 解得m=圆 3 ,.CA+CB=16, 5.1)将点A代人双曲线C的方程，得产。占1， ∴.△ABC的周长为CA+|CB+|AB=24. 化简得a一4a2+4=0,解得a2=2, 3.2.2双曲线的简单几何性质 真题演练 故双曲线C的方程为号-=1 1.D提示：要使选项中的点成为线段AB的中点，则必 由题意可知，直线的斜率存在，设直线1的方程为y= 须使A,B两点在双曲线的两支上 .x十m,P(x,),Q(x,2),联立直线1与双曲线C 设A(x当)，B(x22),AB的中点为(%)， 的方程，得(2k-1)x2+4kmx+2m+2=0, 39重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿UA 误区20不能确定焦点在哪条坐标轴上 误区22忽略双曲线的焦点位置 易错题20（错误率28%）若椭国千8十号-=1的离心 易错题22（错误率25%）(2024·珠海一中检测)若方 率e=号，求k的值 程，二十。。1表示双尚线，则实致加的取值范 围为 正解(1)若焦点在x轴上，即当k+8>9时，2=k+8, 2一m>0, (2-m<0. 公=又因为e=后=是，所以2= 正解依题意有 或 a a m-3<0 m-3>0, k-1=1 解得一3<<2或m>3. +8=,解得k=4 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十○). (2)若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a=9, 答案(-3,2)U(3,+0∞). 公=+8，又因为一之，所以-5=一_1与 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 9 是只考虑了双曲线的焦点在x轴上的情况，忽略了焦点 子，解得=一早。 4 在y轴上的情况，从而得到错误答案（一3,2）. 综上可知，6=4或=一 误区23忽略直线与双曲线有一个公共点的特 答案k=4或=一 殊情况 易错题23（错误率28%）(2024·厦门一中单元检测)已 易错探因本题易得到如下错解：由已知得：=k十8， 公=9.又因为e=台=克所以心== 知过点P1,1)的直线1与双曲线x一兰=1只有一个 4 a 公共点，试探究直线1的斜率k的取值 会品8-解得=4 正解设直线I的斜率为k,则：y=k(x一1)十1，代入双 错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分 曲线的方程得(4-)x2-(2k-2k).x一+2k-5=0. 焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论. 若4一=0，即k=士2，此时直线与双曲线的渐近 线平行，直线与双曲线只有一个公共点： 误区21忽略双曲线定义中的限制条件 若4一≠0，则△=(2k一2k)2-4(4一)（一+ 易错题21（错误率26%）(2024·武汉六中检测)已知 2k-5)=0,解得=是， F(-5,0),F2(5,0),动点P满足PF-|PF2| 2a,当a为3和5时.P点的轨迹分别是( 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2， A双曲线和一条直线 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 B双曲线和一条射线 情况： C,双曲线的一支和一条直线 (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x D.双曲线的一支和一条射线 (或y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线 正解依题意得FF=10,当a=3时，2a=6<F,F2|, 只有一个交点. 故P点的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|F,F:|, (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直 故P点的轨迹为一条射线.又PF一|PF|=2>0, 线与双曲线仅有一个交点 ∴P点的轨迹为双曲线的右支和一条射线，故选D. 第二种情况特别容易忽略掉，值得注意. 答案D 误区24忽略对焦点所在轴的讨论 易错探因本题易忽视双曲线定义中的限制条件“差的 绝对值”从而误选B或C 易错题24（错误率30%）(2024·正定中学检测)已知双