第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元学能测评-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

单元学能测评 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 A.2 B.4 C.6 D.8 分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是 7.(2019·浙江卷)若a>0,b>0,则“a+b≤4” 符合题目要求的， 是“ab≤4”的( 1.已知集合M={x|-4<x<2},N={xx2-x A.充分不必要条件 -6<0,则M∩N=(). B.必要不充分条件 A.{x-4<x<3}B.{x|-4<x<-2 C.充分必要条件 C.{x-2<x<2}D.{x2<x<3} D.既不充分也不必要条件 2.已知a=√2，b=7-√3，c=√6-√2，则a,b,c 8.《九章算术》是中国传统数学史书中最重要的 的大小关系为( ). 著作，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九 A.a>b>c B.a>c>b 里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门 C.c>a>b D.c>b>a 几何步而见木？”其算法为东门南到城角的步 3.已知关于x的不等式a.x2+bx十c>0的解集 数乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以 为{x|-2<x<4},则不等式cx2一bx+ 树距离东门的步数作除数，被除数除以除数 a<0的解集是( 得结果，即出南门x里见到树，则x= A{<2或x> (9x)×(7×2】 15 若一小城，如图所示，出 B{-<号 东门1200步有树，出南门750步能见到此树， 则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步） C{xr<-或>号 D.{z-<r<} x-1>a2 4.若不等式组 的解集非空，则实数a 东门 x-4<2a 的取值范围是( . 南门 A.-1<a<3 B.a<-1或a>3 C.-3<a<1 D.a<-3或a>1 A.210里 B.4W10里 5.(2024·黑龙江大庆中学周测)对任意实数x, 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立， C.6√10里 D.8√10里 则a的取值范围是( ) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 A.-2<a≤2 B.-2≤a≤2 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 C.a<-2或a≥2 D.a≤-2或a≥2 6.已知不等式x+(+号)29对任意正实数 分，有选错的得0分. 9.若-1<a<3,一1<b<3,则a-b的值可能是 x,y恒成立，则正实数a的最小值为( 24 A.-4B.-2 C.2 D.4 16.(15分)当p,g都为正数且p+十q=1时，试比 10.已知函数y=x十1+1(x<0),则该函数的 较代数式(px十qy)2与px2十qy2的大小 (). A.最小值为3 B.最大值为3 C.没有最小值 D.最大值为一1 11.已知a,b∈R+且a十b=1,那么下列不等式 中恒成立的有( ). A.al B.ab+1>17 ab4 C.a+b≤2 n+六>22 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若关于x的不等式1x”一6.x十<0的解集 为{xlx<a或x>1},则a= 17.(15分)1)已知x>0,y>0,号+号=2，求 ,1= ·(本题第一空2分，第二空3分) xy的最大值，并求取到最大值时x,y的值 18,已知正数a,6清足+号=2，若存在a6满 (2)(2023·上海中学高三期中)已知a>, 足不等式2a+b<x2+3.x有解，则实数x的 6>3日+号=1求十动的最 取值范围为 小值. 14.已知x<e十K环，-x<a-B<-子，则 2a一3的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知p:2x2-3x-2≥0，q:x2 2(a-1)x十a(a-2)<0. (1)当0∈q时，求实数a的取值范围。 (2)若p是一q的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 25 18.(17分)(2023·泰安四中高一期中)某厂家 19.(17分)(2024·上海宝山区高一月考)已知 拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年 关于x的不等式(k2-2k一3)x2+(k+1)x 销售量（即该厂的年产量）.x万件与年促销费 +1>0(k∈R)的解集为M. 用m万元(m≥0)满足x=3-m冬 m十k为常 (1)若M=R,求k的取值范围. (2)若存在两个不相等的负实数a,b,使得 数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销 M={xx>b或x<a},求实数k的取值 售量只能是1万件.已知每年生产该产品的 范围。 固定投入为8万元，每生产1万件该产品需 (3)是否存在实数k,满足：“对于任意n∈ 要再投入16万元，厂家将每件产品的销售 N”,都有n∈M,对于任意m∈Z,都有 价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产 m任”，若存在，求出k的值：若不存在， 品成本包括固定投入和再投入两部分资金) 请说明理由 (1)将该产品的年利润y万元表示为年促销 费用m万元的函数 (2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂 家的利润最大？ 26由图可知，原不等式的解集为<x≤或4< 当m>0时，m≥(2k)mx=2: 当<0时，m≤(2k)=一2： 当m=0时，0≥2k·0,对所有一1≤k≤1恒成立. ≤9 从而实数m的取值范围为m≤一2或m=0或≥2. 11.(1)设利润为y万元， C拓展拔高练 5r-r-0.5-025r0≤≤. 1.a一8≤≤4.提示：以a为主元，即a2一加十 得y= (8一入)≥0，要使不等式对任意的实数a恒成立，只需 5×5-号×-0.5-0.25rr>5. (b)-4(8一)6≤0，即(a2+4λ-32)≤0，从而只需 即y= 2r+4,75x-0.5(0≤r≤5. 2+4以一32≤0，解得-8≤1≤4. 12-0.25x(x>5). 2{a-昌<a<-音或分<a≤受引 提示：不等式 (2)显然当0≤≤5时，企业会获得最大利润， (a.x-1)'<x可化为[(a+1).x-1[(a-1)x-1]<0. ①当a=1时，原不等式等价于2x一1>0，其解集为 此时y=-号一475)产+10.78125 {>2},不满足题意： ∴x=4.75,即年产量为475台时，企业所得利润最大 ②当a=一1时，原不等式等价于2x十1<0，其解集为 (3)要使企业不亏本，则y≥0. 0≤r≤5， x>5, {xx<一号}不满足题意： 即 或〈 -2r+475x-0.5≥0112-0.25x≥0. ③当>1时原不等式等价于()()<0， 得0.11≤xr≤5或5<x≤48，即0.11≤x≤48. 即年产量在1】台到4800台之间时，企业不亏本。 其解集为十<<马}： 1 12.(1)当a=1.c=2时y=广++号，二次函数图象 :其解集中恰有2个整数，∴2<。≤3， 与x轴有两个不同交点，其中一点为（号，0）。 解得子<a<受 设另一个交点为，0，则宁。=号即=1， ④当-1<a<1时，原不等式等价于-)： 故产+bx十号<0的解集为：}<<1。 (x)>0,其解巢为<或>}。 (2)已知二次函数的图象与x轴有两个交点，故一元二 不满足题意： 次方程有两个根，其中一个根=，设另一个根为， 则=台即=日 ⑤当a<-1时，原不等式等价于(x)(x 又当0<x<c时，恒有ar+bx+c>0.则>c, 。点)<0其解集为女a十<<。} ,其解集中恰有2个整数， 故ar2+b+c<0的解集为c<x<合}： -3<<-2解得-<a<-青 (3)由(2)可知，二次函数的图象与坐标轴的交点分 别为c,0.(日，0），(0，，以这三个交点为顶点的 综上可得ae{a-是<a≤-号或号<a<号}： 三角形的面积为S=是（合-加=8， 单元学能测评 1.C2.B3.B4.A /a-2<0, 5.A提示：由已知得 (4),当x=c时，y=0,.a2+x+c=0. △=[2(a-2)F-4(a-2)×(-4)<0. 又c>0,,.a+b+1=0. a<2, 即 解得-2<a<2. 要使m2一2km≥0对所有一1≤k≤1恒成立，则 -2<a<2. -21 又当a=2时，原不等式可化为一4<0，显然恒成立. x<a或x>l},故l,a是方程x2-6r十f=0的两个根， 故a的取值范围是a一2<a≤2. 1+a=6 6B提示：不等式(x十)（任+号）≥9对任意正实数 由根与系数的关系可得 a=t y恒成立.则1+a++号>a+2,6+19, a=2, 解得 -3<0.÷a-3 =2或=-a. 1t=-3. ∴.a≥2或va≤-4（舍去）， ∴正实数a的最小值为4. 1B.zx>1或x<-4.提示：正数a,b满足。+ 7.A提示：当a>0,b>0时，a十b≥2√ah,则当a十l4 号=2.2a+6=2+b(日+号) 时，有2√a≤a十≤4，解得a≤4，充分性成立： 当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a十b=5>4,必要 号(4+光+)>≥号(4+2快·)=4，当且仅 性不成立 当b=2a时等号成立. 综上所述，“a十≤”是“a≤4”的充分不必要条件. :不等式2a+b<2+3.xr有解， 8.D提示：因为1里=300步，则由题图知EB=1200步= ∴r2+3x>4,解得x>1或x<-4, 4里，GA=750步=2.5里.由题意得GA=EF,GF, .实数x的取值范围为{xx>1或x<一4， EB 则EF·GF=EB·GA=4×2.5=10,所以该小城的周 14{✉-<r<晋}.提示：十平 ① 长为4(EF+GF)≥8EF·GF=8IO,当且仅当EF <a-K-子， =GF=√I0时等号成立. 9.BC提示：-1<b<3,.-3<-b<1..-4< 由①×2得受<7a+2. ③ a-b<4. 由@×受得-<号a-号K受 ④ 1aGD提示：<0.六函数y=x十是+1 ⑧④两式相加得2a-长{z-<晋}： -[-+]+1-2W-0…+1 15.(1)由题意可知，02一2(a一1)×0十a(a一2)<0，解得 -1,当且仅当x=一1时取等号， 0a<2, .该函数有最大值一1， 故实数a的取值范围为{a0<a<2). 1lABC提示：a,b∈R+,a+b=l, (2)由2x-3x-2>0,解得≤-号或≥2. ≤（安）= 由x3-2(a-1).x十u(a-2)<0,解得a-2<r<a, 1=a+b>2ab, 放p:≤-或>2：g:u-2<r<a 流品>2-瓜>则 5-ad≥2， 从而g:.x≤a一2或x≥a. 因为p是一？的充分不必要条件， (高v而)≥号即叶>兴 所以{xr≤-号或r≥2}x≤a-2或>a, .(Va+/B)*=a+b+2Vab<a+b+a+b=2, ∴a+不≤2.故APC正确. 从而 0-22-'解得号<a<2, a≤2， a 26 故实数a的取值范围为a多<a≤2小 2√臣·元=号+E(当且仅当。=2w时等号 16.(pr+gy)2-(pr2+gy2)=p(p-1)x2+g(q-1Dy+ 成立)， 2pqry. D不正确 因为p+g=1,所以p一1=一g,g一1=一p. 12.-3:一3.提示：不等式一6r十f<0的解集为{x 所以(r十9w)2-(2+)=-g(.x十y-2xy) 22 一pq(x-y) 或<一1 因为p,g都为正数，所以一pg(x一y)≤0， 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 因此(x十q)≤px2十qgy,当且仅当x=y时等号成立. 即(k2一2k-3).x2+(k+1)x+1=0(k∈R)有两个不 17.(10已知x>0>0.登+言-=2， 相等的负根， (k+1)2-4(k-2k-3)>0, 则号+芳≥2√，解得<6， k十1 即+=一2k-3<0, 即受=音=1时，等号成立，解得=2y=3 1 nn=P-2k-3>0, 则xy的最大值为6. 解得3<k<号 （2)令2x=, 1 综上可知的取值范围是3<<号。 则片+号-十务=7 (3)根据题意可，得出解集M={x.x>t,一1≤1<1， 去分母化简得y一5x一y=7,所以(x一1)(y-5)=12, 当-2k一3=0时，解得k=3或k=-1, 所以2十=3x+y=3-1D+(y-5)+ 当=一1时，1>0恒成立，不满足条件， 8≥23(x-10(y-5)+8=20. 当=3时，不等式的解集是>一寻}清足条件： 当组仅当。=号青时，等号成立，放其最小值为如 当2一2k一3>0时，此时一元二次不等式的解集形 式不是{xx>}的形式，不满足条件： 18.(1)由题意可知，当m=0时，x=1,所以1=3一k,所 当k2一2k-3<0时.此时一元二次不等式的解集形 以=2所以3品 式不是{xx>t}的形式，不满足条件。 综上，满足条件的的值为3 每件产品的销售价格为1,5,8士6一万元， 第三章函数的概念与性质 所以年利润y=r·1,5.8士16r-8-16x一m=4+ 3.1函数的概念及其表示 8=8m片 3.1.1函数的概念 所以y28-5-m,其中m≥0 变式训练答案 [变式1]A提示：A选项中，f(x)可化为f(x)=x (2)因为当m≥0时，15 'm+十m+18,即16 十十m7, x∈R与g(x)=x是同一函数. B选项中，g(x)=√F=|x与f(x)=x对应法则不 所以<28-7=21，当且仅当，片=m+1.即m 一样 3万元时，y=21万元. C选项中，g(x)=x=1(x≠0)与f(x)=1的定义域不 所以当厂家年促销费用投人3万元时，厂家的利润最大， 一样。 19.(1)当-2k一3=0时，k=一1或k=3,当k=一1 D选项中，gr)=号=x(x≠0)与f《x)=x的定义城 时，1>0恒成立， 不一样 当k=3时，4x十1>0=>x> 不满足M=R,舍去， 1 /2-2k-3>0, [变式2】由于fa)千（） 当2-2k-3≠0时， 1+() 1(k+1)2-4(k2-2k-3)<0, 解得>号或<-1 1十a,所以fa)+f()=1 综上可知k的取值范围是{k≤一1或>号}。 (2)由1)知fa)+f(2)=l, (2)根据不等式解集的形式可知2-2k-3>0→>3 从而f(2)+f(号）=f(3)+f(3)=f(4)+ 23