第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手细高中数学必修第一册（上）尺A(浙江专用) 单元复习归纳 口01知识网巧构建， 不等式的概念 -不等关系与不等式 不等式的基本性质 比较实数的大小（比较法） 一元二次不等式的概念 一元二次 三个“二次”（一元二次方程的根、二次函数的图象、一元二次不等式的解集） 不等式及 之间的关系 其解法 元二次不 利用三个“二次” 不含参数的一元二次不等式的解法 不等式 等式的解法 之间的关系 含参数的一元二次不等式的解法 基本不等式的变式与拓展 若a十b=S(定值)，则当4=b时， 基本不等式：√b≤ 最值与定值 山取得最大值tS 求最值的 a+b(a≥0.b≥0) 常用方法 2 (a≥0.b≥0) 若ab=G(定值)，则当a=b时. a十b取得最小值2G 求实际应用问题的最值 一基本不等式的应用 比较实数的大小 证明不等式 口02一微转题妙总结 微专题1求解含参一元二次不等式 点拨本题考查分式不等式和含参数的不 对于可化为一元二次不等式的其他不等 等式的解法.可先将其转化为整式不等式，再 式，常包括以下几种类型和解法： 利用解一元二次不等式的知识求解，注意分类 (1)解高次不等式常用数轴标根法， 讨论。 (2)分式不等式是利用不等式同解原理将 解折原不等式可化为4r)-1>0. x-2 其转化为整式不等式（组）求解的. (3)指数、对数不等式是利用指数函数和 即a-1Da-8引x-2>0 () 对数函数的单调性，将指数、对数不等式转化为等 1)当a>1时，(*)式即为(x-g二)： 价的代数不等式（组）求解的（会在第四章学到）. (x-2)>0, 例n解不等式a二D1(a≠1. x一2 66 第二章一元二次函数、方程和不等式么 此时>2或日导 1)x十a一1的图象开口向上，不合题意； 当a=0时，不等式为x十1>0，也不合题意. (②)当a<1时，(*)式即为(-日二昌)： a<0, 所以必有 (x-2)<0, △=(a-1)2-4a(a-1)<0, 而2-a-2-a 多 a<0, a-1a-1 3a2-2a-10. 解得aK一子 ①若0a<1.则2子2. 所以a的取值范国为ala<一： 光时21名号 点评对于恒成立问题，一般借助草图进 ②若a=0,则(x-2)2<0,此时无解 行分析，解题时应注意对各种情况的讨论，避 ③若a<0,则<2，此时子2 免遗漏。 方法二变换主元 综上所述， 例3(2023·鄂州二中高一期中)已知 当>1时，不等式的解集为女<日胃 长m<3,不等式x+mx十4>2m十女恒成 或x>2: 立，求x的取值范围 当0<a<1时，不等式的解集为x2< 蜜析因为当<m<3时，不等式十 r<4-2 m.x十4>2m十4x恒成立，即m(.x-2)十(x-2)2 a-1/; >0恒成立 当a=0时，不等式的解集为⑦： 当x=2时，不等式不成立，所以x≠2.令 当小0时：不等式的解集为侣子， y=m(x-2)十(-2)P(其中m为自变量)，2≤ 点评1.在将分式不等式化为整式不等式 的过程中，应注意分母的符号，不能将其乘到 m<3,问题转化为)<m≤3时，y恒大于0，则 另一边，正确的方法是移项、通分. 2-2)+-2)>0. 2.本题中，化为含参数的一元二次不等式 解得x>2或x<一1， 后，应先讨论二次项系数的符号，再讨论两个根 3(.x-2)+(.x-2)2>0, 的大小关系，解题过程需有条不紊，顺理成章。 所以x的取值范围为{x<一1或x>2. 微专题2不等式恒成立问题的解决方法 方法三分离参数 方法一分类讨论 例④(2023·湖北团风中学高一期中)已 例2若关于x的不等式a.x2+(a-1)x+ 知函数y=ax2十x,如果0≤≤1时，|y≤1，求实 a一1<0对于x∈R恒成立，求a的取值范围。 数a的取值范围。 点拨]解题时应先对最高次项系数进行讨 解析当0≤x≤1时，|y≤1台一1≤y≤ 论，然后根据不等式的解的情况进行分析讨论 1,即-1≤ax2+x≤1. 解析当a>0时，二次函数y=a.x2十(a 当x=0时，a∈R: 67 重雅点手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) a.x≥-x-1, 当0x≤1时，问题转化为 a.2≤-x+1 2+2B·号=4，当且仅当台-号即a=b Na b 恒成立. 时，等号成立 由a≥-一恒成立，即求--的 原不等式成立 (2),a>0,b>0,且a+b=1, 最大值授乙是士-（但+》+号 “a++、≤2台(a++ 因为0<r≤1，所以>1， b+2)≤4台2+2√(a+2)(b+)≤4 令1=，则2-（+》+骨，所以当1= (a+2)b+号<1→ab+2(a+b)+}≤1曰 1,即x=1时，Z取得最大值-2，可得a≥-2. 由≤号恒成立，即求号的最小位 ab+号×1+大1=abK .a>0,b>0, 设F=21-(侵2》-0 1=a+b>2ad(当且仅当a=b=时 同理可得，当x=1时，F取得最小值0，可 得a≤0.故-2≤a≤0. 取等号，a成立， 综上所述，当x=0时，a∈R;当0<x≤1 原不等式成立。 时，一2≤a≤0. 点评本题的证明方法称为基本不等式 微专题3基本不等式及其应用 法，基本不等式法是证明含有对称式的条件不 基本不等式为v@<“艺，其变式为ab≤ 等式的一种特殊方法.它一般用于不等式的证 明，也常用来求具有相同结构特征的函数的最 《,(<少等基本不等式可用 值.依据所证式子的结构凑出常数因子是解决 来比较代数式的大小，证明不等式、求函数的 此类问题的关键， 最值或值域、求参数的取值范围、解实际应用 例⑥(2024·浙江学军中学高一月考)已 题等 知a>1,b>0,a+b=2,则。马十元的最小值 例5已知a>0,b>0,且a十b=1.求证： 为( ). a日+6>4. A+2 B+号 2a+2+b什2<2 C.3+2√2 n+号 点拨构造基本不等式的条件·利用基本 解析由题意知a>1,b>0,a十b=2,所以 不等式证明→考查等号成立的条件」 证明(1)，a>0,b>0,且a十b=1, (a-l+b=1,a-1>0,则。马十元=[a- +-a+0(日+)-2+合+8≥D+(+品-1++云+。≥ a 68 第二章一元二次函教、方程和不等式营组 多+2分吾-是+区.当且仅当“分 ∴.4(a2+a2+8+1)=4(a2+1-2ab+1) =4[(ab-1)2+1]. b 户a+b=2,即a=3-2,b=2-1时，等号 :1=a+b>2va函（当且仅当a=b=2时 成立，则。马十元的最小值为2+2 取等号)， [答案A 0<a≤ 例☑(2023·长治二中月考)已知x,y为 正实数，则千，十2士的最小值为 4a-1+1>≥4[(}-1°+1]-25 综上可得(a+日)b叶2)≥草 第扬原式=，12十+2，令1=>0， 1+2y r 方法二 设M=(a+b+),则 则原式可变为中十1+2=中2十号+2 M=abtI+b+a ab a b ≥2221+20+-号+，当且 :1=a+b>2va6(当且仅当a=b=2时 仅当十21+20，即1=2时等号成 取等号) 2 立，故千2，十2士的最小值为是+2 ≥2， ① ab 香离是+厄. ② 例8已知a>0,b>0,a+b=1,求证： ①+@，得 -/ab>3 (a+a6+6)>≥翠 点拨]这道题有一定的难度，主要难在解 题方向的寻找上.我们知道，要证明一个不等 又总+号>2（当且仅当a=b=合时取等 式，主要是对其进行恰当的恒等变形与放缩变 号)，故M≥7+2= 形.这里的“恰当”二字十分关键，是确定解题 4 方向与解题策略的核心. 微专题4高阶拓展—柯西不等式 [证明方法-：1=a十b>2ab, 1.柯西不等式 ∴.1≥4ab. (1)柯西不等式的一般形式 于是(a+a)b什b)≥4ab(a+a)b+方 (ab1十a2b2+…十a,bn)2≤(a+a+…十 a)(b所十b候十…十b2) =4(a2+1)(+1)=4(a2+a2++1) :a+b=1,∴a2+=1-2ab, 当组仅当会-发…一2时等号成立。 b 69 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) (2)二维柯西不等式 (3)分式型 (a1b1十a2b2)2≤(a十a5)(b+). 例11已知a,b,c∈R,求证： 当且仅当会一爱时等号成立. a+b+c、3 b+c'c+aa+b-2 (3)三维柯西不等式 国国周为e十。+a千3 (a1b+2b2+a3b)≤(af++ai)(所+ 房十房). =(64+1)+(车。+)+（千6+ 当且仅当公一发一发时等号成立 -() 2.柯西不等式的应用 (1)根式型 =2[(b+c)+(c+a)+(a+b)]· 例9求y=√x一4+√15一3z的最大值. ,1+1十1 b+cc+ 解析要使函数有意义，则 x-4≥0， ≥21+1+1 解得4≤x≤5. 15-3x≥0， .函数的定义域为[4,5]，且y>0. 当且仅当a=b=c时等号成立. 由柯西不等式得 y=√x-4+V15-3.x 即a十 b干cTc+aa+b>. =Wx-4十√3·√5-x 微专题5高阶拓展—权方和不等式 ≤√12+(W3)2·√(x-4)2+(/5-x) 1.权方和不等式 =2. 若a,bx,y>0,则g+(a+b y x+y -,当且 当且仅当3X√x一4=√5一x时等号成 立，即当=时画数取最大值2。 仅当兰一=时取等号。 大家注意到没有，权方和不等式可以看成 (2)幂式型 是柯西不等式的变形.由柯西不等式可知 例10已知a,b,c均为正数，且a2++ 4c2=3,证明：a+b+2c≤3. 任+5)x+0≥a+,因为a.6>0 证明根据柯西不等式得 所以两边同时除以x十，可得+仁≥ (12+12+12)[a2++(2c)2]≥(a+b+ y 2c)2, a+),当且仅当g时等号成立。 x十y y 则a十b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时 2.权方和不等式的应用 等号成立， 所以a十b+2c≤3. 例四已知a>0.b>0,且2，十1 a+2a+2b=1, 70 第二章一元二次函救、方程和不等式酱组 则a十b的最小值是 ÷6x+5y≥1+？B》=13+43,故当 2 解折1=2。 1(W2+1)2 u+2a+2b2a+b+2'① 12√3 时，6.x+5y取得最小 当且仅当② 1 且仅当2x+y4(x+》 2a十25时，即a=②.b= 值13+43 2 时，①式等号成立 即1>物2a+6>生- 例4已知a+b=1,a>0,b>0,则1+ 4 1=2+2 合十。千示的最小值是 4 故a+b的最小值是2+号 a干方十干二大6上4 ab a2+b 例国已知>020且zy,2 =品+=品+。4≥+器 (a+b)2 则6.x+5y的最小值是 (w2+2)2=6+42. 解机2= 1 +3 1 2x+y 当且仅当温示子时等号成立 12(1+23)2 4(x+y)6.x+5y 故+6十元的最小值为6十42 71由图可知，原不等式的解集为<x≤或4< 当m>0时，m≥(2k)mx=2: 当<0时，m≤(2k)=一2： 当m=0时，0≥2k·0,对所有一1≤k≤1恒成立. ≤9 从而实数m的取值范围为m≤一2或m=0或≥2. 11.(1)设利润为y万元， C拓展拔高练 5r-r-0.5-025r0≤≤. 1.a一8≤≤4.提示：以a为主元，即a2一加十 得y= (8一入)≥0，要使不等式对任意的实数a恒成立，只需 5×5-号×-0.5-0.25rr>5. (b)-4(8一)6≤0，即(a2+4λ-32)≤0，从而只需 即y= 2r+4,75x-0.5(0≤r≤5. 2+4以一32≤0，解得-8≤1≤4. 12-0.25x(x>5). 2{a-昌<a<-音或分<a≤受引 提示：不等式 (2)显然当0≤≤5时，企业会获得最大利润， (a.x-1)'<x可化为[(a+1).x-1[(a-1)x-1]<0. ①当a=1时，原不等式等价于2x一1>0，其解集为 此时y=-号一475)产+10.78125 {>2},不满足题意： ∴x=4.75,即年产量为475台时，企业所得利润最大 ②当a=一1时，原不等式等价于2x十1<0，其解集为 (3)要使企业不亏本，则y≥0. 0≤r≤5， x>5, {xx<一号}不满足题意： 即 或〈 -2r+475x-0.5≥0112-0.25x≥0. ③当>1时原不等式等价于()()<0， 得0.11≤xr≤5或5<x≤48，即0.11≤x≤48. 即年产量在1】台到4800台之间时，企业不亏本。 其解集为十<<马}： 1 12.(1)当a=1.c=2时y=广++号，二次函数图象 :其解集中恰有2个整数，∴2<。≤3， 与x轴有两个不同交点，其中一点为（号，0）。 解得子<a<受 设另一个交点为，0，则宁。=号即=1， ④当-1<a<1时，原不等式等价于-)： 故产+bx十号<0的解集为：}<<1。 (x)>0,其解巢为<或>}。 (2)已知二次函数的图象与x轴有两个交点，故一元二 不满足题意： 次方程有两个根，其中一个根=，设另一个根为， 则=台即=日 ⑤当a<-1时，原不等式等价于(x)(x 又当0<x<c时，恒有ar+bx+c>0.则>c, 。点)<0其解集为女a十<<。} ,其解集中恰有2个整数， 故ar2+b+c<0的解集为c<x<合}： -3<<-2解得-<a<-青 (3)由(2)可知，二次函数的图象与坐标轴的交点分 别为c,0.(日，0），(0，，以这三个交点为顶点的 综上可得ae{a-是<a≤-号或号<a<号}： 三角形的面积为S=是（合-加=8， 单元学能测评 1.C2.B3.B4.A /a-2<0, 5.A提示：由已知得 (4),当x=c时，y=0,.a2+x+c=0. △=[2(a-2)F-4(a-2)×(-4)<0. 又c>0,,.a+b+1=0. a<2, 即 解得-2<a<2. 要使m2一2km≥0对所有一1≤k≤1恒成立，则 -2<a<2. -21 又当a=2时，原不等式可化为一4<0，显然恒成立. x<a或x>l},故l,a是方程x2-6r十f=0的两个根， 故a的取值范围是a一2<a≤2. 1+a=6 6B提示：不等式(x十)（任+号）≥9对任意正实数 由根与系数的关系可得 a=t y恒成立.则1+a++号>a+2,6+19, a=2, 解得 -3<0.÷a-3 =2或=-a. 1t=-3. ∴.a≥2或va≤-4（舍去）， ∴正实数a的最小值为4. 1B.zx>1或x<-4.提示：正数a,b满足。+ 7.A提示：当a>0,b>0时，a十b≥2√ah,则当a十l4 号=2.2a+6=2+b(日+号) 时，有2√a≤a十≤4，解得a≤4，充分性成立： 当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a十b=5>4,必要 号(4+光+)>≥号(4+2快·)=4，当且仅 性不成立 当b=2a时等号成立. 综上所述，“a十≤”是“a≤4”的充分不必要条件. :不等式2a+b<2+3.xr有解， 8.D提示：因为1里=300步，则由题图知EB=1200步= ∴r2+3x>4,解得x>1或x<-4, 4里，GA=750步=2.5里.由题意得GA=EF,GF, .实数x的取值范围为{xx>1或x<一4， EB 则EF·GF=EB·GA=4×2.5=10,所以该小城的周 14{✉-<r<晋}.提示：十平 ① 长为4(EF+GF)≥8EF·GF=8IO,当且仅当EF <a-K-子， =GF=√I0时等号成立. 9.BC提示：-1<b<3,.-3<-b<1..-4< 由①×2得受<7a+2. ③ a-b<4. 由@×受得-<号a-号K受 ④ 1aGD提示：<0.六函数y=x十是+1 ⑧④两式相加得2a-长{z-<晋}： -[-+]+1-2W-0…+1 15.(1)由题意可知，02一2(a一1)×0十a(a一2)<0，解得 -1,当且仅当x=一1时取等号， 0a<2, .该函数有最大值一1， 故实数a的取值范围为{a0<a<2). 1lABC提示：a,b∈R+,a+b=l, (2)由2x-3x-2>0,解得≤-号或≥2. ≤（安）= 由x3-2(a-1).x十u(a-2)<0,解得a-2<r<a, 1=a+b>2ab, 放p:≤-或>2：g:u-2<r<a 流品>2-瓜>则 5-ad≥2， 从而g:.x≤a一2或x≥a. 因为p是一？的充分不必要条件， (高v而)≥号即叶>兴 所以{xr≤-号或r≥2}x≤a-2或>a, .(Va+/B)*=a+b+2Vab<a+b+a+b=2, ∴a+不≤2.故APC正确. 从而 0-22-'解得号<a<2, a≤2， a 26 故实数a的取值范围为a多<a≤2小 2√臣·元=号+E(当且仅当。=2w时等号 16.(pr+gy)2-(pr2+gy2)=p(p-1)x2+g(q-1Dy+ 成立)， 2pqry. D不正确 因为p+g=1,所以p一1=一g,g一1=一p. 12.-3:一3.提示：不等式一6r十f<0的解集为{x 所以(r十9w)2-(2+)=-g(.x十y-2xy) 22 一pq(x-y) 或<一1 因为p,g都为正数，所以一pg(x一y)≤0， 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 因此(x十q)≤px2十qgy,当且仅当x=y时等号成立. 即(k2一2k-3).x2+(k+1)x+1=0(k∈R)有两个不 17.(10已知x>0>0.登+言-=2， 相等的负根， (k+1)2-4(k-2k-3)>0, 则号+芳≥2√，解得<6， k十1 即+=一2k-3<0, 即受=音=1时，等号成立，解得=2y=3 1 nn=P-2k-3>0, 则xy的最大值为6. 解得3<k<号 （2)令2x=, 1 综上可知的取值范围是3<<号。 则片+号-十务=7 (3)根据题意可，得出解集M={x.x>t,一1≤1<1， 去分母化简得y一5x一y=7,所以(x一1)(y-5)=12, 当-2k一3=0时，解得k=3或k=-1, 所以2十=3x+y=3-1D+(y-5)+ 当=一1时，1>0恒成立，不满足条件， 8≥23(x-10(y-5)+8=20. 当=3时，不等式的解集是>一寻}清足条件： 当组仅当。=号青时，等号成立，放其最小值为如 当2一2k一3>0时，此时一元二次不等式的解集形 式不是{xx>}的形式，不满足条件： 18.(1)由题意可知，当m=0时，x=1,所以1=3一k,所 当k2一2k-3<0时.此时一元二次不等式的解集形 以=2所以3品 式不是{xx>t}的形式，不满足条件。 综上，满足条件的的值为3 每件产品的销售价格为1,5,8士6一万元， 第三章函数的概念与性质 所以年利润y=r·1,5.8士16r-8-16x一m=4+ 3.1函数的概念及其表示 8=8m片 3.1.1函数的概念 所以y28-5-m,其中m≥0 变式训练答案 [变式1]A提示：A选项中，f(x)可化为f(x)=x (2)因为当m≥0时，15 'm+十m+18,即16 十十m7, x∈R与g(x)=x是同一函数. B选项中，g(x)=√F=|x与f(x)=x对应法则不 所以<28-7=21，当且仅当，片=m+1.即m 一样 3万元时，y=21万元. C选项中，g(x)=x=1(x≠0)与f(x)=1的定义域不 所以当厂家年促销费用投人3万元时，厂家的利润最大， 一样。 19.(1)当-2k一3=0时，k=一1或k=3,当k=一1 D选项中，gr)=号=x(x≠0)与f《x)=x的定义城 时，1>0恒成立， 不一样 当k=3时，4x十1>0=>x> 不满足M=R,舍去， 1 /2-2k-3>0, [变式2】由于fa)千（） 当2-2k-3≠0时， 1+() 1(k+1)2-4(k2-2k-3)<0, 解得>号或<-1 1十a,所以fa)+f()=1 综上可知k的取值范围是{k≤一1或>号}。 (2)由1)知fa)+f(2)=l, (2)根据不等式解集的形式可知2-2k-3>0→>3 从而f(2)+f(号）=f(3)+f(3)=f(4)+ 23