第1章 集合与常用逻辑用语 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手圆高中数学必修第一册（上）/A(浙江专用) 单元复习归纳 口01知识网巧构建， 定 确定性 含义 元素的三大特征 无序性 互异性 -元素与集合的关系一∈或在 列举法 表示方法 描述法一《xx∈P,P是元素x所具有的性质 自然语言法 子集ACB(或B2A) 集合 包含关系 真子集A=B(或B星A) 相等集合A=B 特殊集合一空集☑ 交集-A∩B={xx∈A且x∈B 一集合的运算 并集一AUB=xx∈A或x∈B 一补集CA=(xlx∈U且x任A 集合与常用 充分条件：若>q,则p是q的充分条件 充分条件与必要条件 必要条件：若4p,则p是q的必要条件 充要条件：若一q,则p与4互为充要条件 语 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的否定，命题p:Vx∈M, 全称量词与存在量词 存在量词 存在量词命题 p(x).p:3x∈M,p(x) 含有一个量词命题的否定 存在量词命题的否定，命题p:3x∈M, p(.x),7p:x∈M,(x) 02微转题妙总结。 微专题1集合的运算 (2)不要忽略空集的存在.如A二B,A表 有关集合之间的关系及运算问题，往往要 示某方程的根或不等式的解集，这时不要忽略 转化为方程的根、不等式的解集来处理.对于 A=☑的情况. 含有参数的问题，要特别注意以下两点： 例1已知集合A={xx2-4x十3=0}， (1)不要忽略集合中元素的互异性，即求 B=xx2-a.x+a-1=0},C={xx2-m.x+ 出的参数应满足集合中的元素互异」 1=0},若AUB=A,A∩C=C,求a,m的值或 38 第-章集合与常用泛辑用语么 取值范围。 微专题2对充分条件和必要条件的理解、 解析由题意知A={1,3},B={x(x 判断及探求 1)[x-(a-1)]=0. 1.对充分条件和必要条件的理解 ,AUB=A,.B≤A, (1)“p是q的充分条件”，可理解为要使g .a-1=3或a-1=1, 成立，有条件p成立就足够了：“q是p的必要条 .a=4或a=2. 件”，可理解为g是p成立的必不可少的条件 又A∩C=C,.CA. (2)在数学中，定义中的条件都是充要条 若C=⑦，则△=m2一4<0. 件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定 理中的结论都是必要条件 ∴.一2<m<2; 若一个定理的逆定理也成立，则二者合在 若1∈C,则1'-m十1=0， 一起可以用充要条件来表示，即“当且仅当”， .m=2,此时C=1},A∩C=C: 其中“当”表示充分，“仅当”表示必要 若3∈C,则9-3m+1=0,m=10, 3 2.充分条件和必要条件的判断 此时方程为x2一1 注意分清条件和结论，以免混淆充分性与 3x+1=0, 必要性.从命题的角度判断充分条件、必要条 =3或x=3即C=3,号生A, 件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，并 指明条件是结论的哪种条件，否则会混淆二者 m联 的关系，造成错误 例3若a,b都是实数，试从①ab=0:②a十 综上可知，a=2或a=4,一2<m≤2. b=0:③a(a2+)=0:④ab>0中选出满足下 例2设全集U=R,集合A={x一5<x 列条件的式子，用序号填空： 4},集合B={x|x<-6或x>1,集合C (1)使a,b都为0的必要条件是 (xx一<0}，求实数m的取值范围，使其同 (2)使a,b都不为0的充分条件是 时满足下列两个条件： (3)使a,b至少有一个为0的充要条件是 ①A∩BEC:②(CA)∩(CB)CC [解析因为A={x|一5<x<4},B={x 解析①ab=0台a=0或b=0,即a,b至 x<-6或x>1}, 少有一个为0： 所以A∩B={x|1<x4. ②a十b=0=a,b互为相反数，则a,b可能 又CA={xx≤-5或x≥4}，CB=(x 均为0，也可能为一个正数一个负数； -6≤r≤1}， ③a(a2十)=0台a=0,b为任意实数； 所以(CA)∩(CB)={x-6≤x≤-5. a0,a0, 因为C={xxm}, ④ab>0 或 1b0b<0, 即a,b同为正 所以当A∩B二C时，m≥4： 数或同为负数 当(CA)∩(CuB)二C时，m>-5. 综上可知： 综上可得m≥4. (1)使a,b都为0的必要条件是①②③. 39 国避手册高中数学必修第一册（上）/A(浙江专用) (2)使4，b都不为0的充分条件是④. A生B为对任意x∈A,都有x任B,A车B矜 (3)使a,b至少有一个为0的充要条件是①. A∩B=☑，故①②是假命题. 答案(1)①②③.(2)④. (3)①. 例④设A,B为两个非空集合，则下列四 A∩B 个命题中真命题的序号是 图1-1 图1-2 ①A王B台对任意x∈A,都有x任B: 如图1-2所示，A生B本B生A, ②A车B=A∩B=0: 同理可得B生A为A生B,故③是假命题， ③A±B=BEA: ④显然成立，故④是真命题 ④A生B=存在x∈A,使得x任B. 综上可知，真命题的序号是④。 解析画出Venn图，如图1-1所示，则 [答案④. 40定为“任意”，“不等于”否定为“都等于”.命题“存在一 整除”，是假命题 个三角形，内角和不等于180”的否定为“任意三角形， (3)命题的否定是“任何一个梯形的对角线都不互相平 内角和都等于180°”，故选B. 分”，是真命题 4.C提示：方法一由题意知，3x∈R,.x+(a一1)x十 (4)命题的否定是“存在一个数能被8整除，但不能被4整 1<0.则4=(a-1)2-4>0, 除”，是假命题 ∴.(a-1)>4.解得a>3或a<-1. 9由3r一10得≤号，设集合A={x≤写 方法二由题意知.“3.x∈R,x2+(a-1)x+1<0”的 否定“Vx∈R,x2+(a一1)x十1≥0"为假命题. 由不等式x2+(a+1D.x十a0得(x十1)(x十a)0. 当Hx∈R,xr2+(a-1)x+1≥0为真命题时，△=(a 设集合B={zx(x+1)(x十a)≤0}， 1)2-40, 且由题意知B二A ,.(a-1)2≤4，解得-1≤a3, ①当a=1时，B={xx=-1},满足二A ∴.Vx∈R,x十(a一1)x十1>0为假命题时，a的取值范围 ②当a>1时，B={x一a≤xr≤-1，满足B二A 为a<-1或a>3. ③当a<1时，B={x-1≤x≤-a},要使B二A, 5.AB提示：：3.x∈M,.>3为假命题， ,Hx∈M,3为真命题， ∴.MCx≤3. 综上可得。>-子 又：lx>x,即x0 10.假设存在整数m,使得命题“Vx∈R,m一m<z2+ 且Vx∈M.z>x为真命题， x十1”是真命题 '.MG{xl<0. 对于VrER.r++1=(+)厂+≥， 综上可得M二{xx<O. 6.{aa≤-5).提示：，“3.x∈R,使得不等式x2一4r一a 所以m-m<是，解得一号<m<受 1<0”不成立，则不等式x2-4x-a一1≥0对Hx∈R恒 故存在整数m=0或1，使得命题“Vx∈R,m2一m< 成立 x十x十1"是真命题. 分离参数得a≤x2一4r一l,对Vx∈R恒成立. C拓展拔高练 .a≤(.2-4x-1)mn 1.(1)该命题是全称量词命题. 又，x2-4x-1=(x-2)-52-5. 当a=0,b≠0时方程无解，故该命题为假命题. .(x2-4x-10=-5,∴-5. (2)该命题是存在量词命题. 7.a>只。提示：原命题的香定为VxE1<<32 :x2-2x+3=(.x-1)2+2≥2， ax十1<0”，此命题为真命题 令y=r2-a.r+1, 故该命题是假命题。 当x=1时，y=1-a+1≤0，解得a≥2. 当=3时=9-十1<0，解得a≥号 单元学能测评 综上可得。>号 1.D 2.B 3D提示：集合A={0,1,2,B={mm=x十y,x∈ 8(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2十 Ay∈A={0,1,2,3,4,∴ACB x十m=0都有实数根”，其否定为“存在实数m,使得.x2十x 4.C提示：，集合U={1,2,3,4,5},A=1,3,5},B= 十m=0没有实数根”，注意到当4=1-6<0，即m>} 2.3,51. 时、一元二次方程没有实数根，因此其否定是真命题 A∩B={3,5),图中阴影部分表示的集合为 (2)命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5 C(A∩B)=(1,2,4}. 10 图中阴影部分表示的集合的真子集有2一1=8 △=m2-4(2n-3)≥0， 1=7个. 两个正数根，则有x十=>0， x1x=2n一3>0， (n-2)(n-6)≥0， n>0. 是<r2或n≥6 3 D立 x>2, x+y>4, 5.A提示：当 时可以推出 y>2 xy>4. 设A={a是<r≤2或n>6, 取 x+y>4, |x>2, 满足 但是不满足 2∈A,5年A,8∈A,12∈A,故选ACD y=5, xy>4, >2. 11.ABD |x>2,x+y>4, 12.-1.提示：A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a 所以 是 的充分不必要条件。 y>2ry>4 1,a2+1}.A∩B={-3},∴a-3=-3或2a-1= 6.D提示：若“ab>1”,当a=一2，b=一1时，不能得到 -3或a2+1=一3，解得a=0或a=一1. a>方”：若0>名”，当a=1,6=-1时，不能得到 将a=0代入，得A={0,1,一31，B={-3,-1,1},此 时A∩B={1,-31,不符合题意： 6>1几故ab>是。>的概不充分也不必要条件。 将a=-1代入，得A={1,0,-3,B={-4,-3,2}, 此时A∩B={一3}，符合题意.故a=一1. 7.A提示：由题设知y<一m十4在x∈{x1≤x≤3}上 恒成立等价于mx一x十n一50在x∈(x1≤x≤3} 1-号<m<分 提示：因为p是g的充分不必要条 上恒成立。 件，所以集合{xx<-1或x>3}是集合{xx<3m+ 由mx2-x十m一5<0分离参数得m(.2一x+1)<5, 3n+1>-1, 1或x>m十2}的真子集，故 5 m十23， 六m<r+在re{xl长r≤3上恒成立. 解得号<m<1. 又：x-+1=(x-)'+,13. 又因为3m+1长m+2,所以m≤号 ∴.(.2-x+1)m=32-3+1=7, ()=号，m<号 综上可知，号<m分 14.①③④. 提示：对于①，，2021=4×505十1，则 8.A提示：当△ABC是等边三角形时，a==c, 2021∈[1]，故①正确. =m8后}m号名}=1x1= 对于②，：一1=4×(-1)十3，则一1∈[3，故②不正确 .“1=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件 对于③，：任意整数除以4，余数可以且只可以是 0,1,2,3四类，则Z=[0]U[1]U[2U[3],故③正确. a<e,mxg,后}=台又：1=1. 对于④，若整数a,b属于同一“类”， 则整数a,b被4除的余数相同，可设a=4m1十k,b 4n+k,h,e∈Zk∈{0,1,2,3}， c或b=a,由此可知△ABC为等腰三角形，而不能推出 则a一b=4(m一m),故a-b∈[0]. △ABC为等边三角形， 若a一b长[0]，不妨令a=4m十k1,b=4h十(，m∈ .“=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件 Z,k,∈{0,1,2,3)，则a一b=4(h一)十(k一2)， 9.ACD提示：集合A中的元素是数，集合B中的元素 显然一∈Z,k1一|∈(0,1,2,3，于是得 是点的坐标，显然A≠B. k21=0, 10.ACD提示：设，是方程°一.x+2n-3=0的 k=,即整数a,b属于同一“类”.故④正确. -11 15.若Vx∈{x1≤x≤2}，x-a0,则a≤x2,所以a≤1. 又：-子<m≤1，m=-1或1或-之或2 若3x∈R,x2+2ax+4=0,则△=(2a)2-160, 当m=一1时，第一个方程可化为x十4x一4=0，其 解得a≤一2或a2 根不是整数： 因为命题p和命题q都是真命题， 当m=1时，两方程的根均为整数： a>1, 所以 a>1, 或 所以a≥2. a≤-21a≥2， 同理，经检验m=士号时，均并不满足方程的根为整数 16.(1)当a=0时，A={x-1<x<0), ,.两方程的根均为整数的充要条件是m=1 x2-2r-8<0=→B=(x-2<xr<4. 19.(1)因为4∈A,但是4十4=8任A,所以A不为闭集合. 任取a,b∈B,设a=3m,b=3n,m,n∈Z. (2)当AUB=B时，A二B,则有： 则a+b=3m+3n=3(m+n)且m十n∈Z, 当A=心，即2a≤a一1，即a≤-1时，符合题意： 所以a十b∈B. 当A≠必，即2a>a-1,即a>-1时， 同理，a一b∈B,故B为闭集合， 有/0-1公-2 解得-1<a≤2. (2)结论：不一定. 2a≤4， 令A=(xx=2k,k∈Z,B=(xx=3k,k∈Z1, 综上所述，a≤2. 则由(1)可知，A,B为闭集合，但2,3∈AUB,2+3= 17.(1)由命题"Vx∈{x一1≤x≤1}，都有不等式x2一x 5AUB, 一m<0成立”是真命题，得x2一x-m<0在-1≤ 因此AUB不为闭集合. ≤1时恒成立， (3)证明：（反证法）若AUB=R, .n>(x2-x)s,得m>2,即B={mm>2. 则因为AR,存在a∈R且a任A,故a∈B. 同理，因为BR,存在b∈R且b廷B,故b∈A, (2)不等式(.x-3a)(x-a-2)0. 因为a+b∈R=AUB,所以a十b∈A或a+b∈B. ①当3a>2十a,即a>1时，解集A={x2十a<x< 若a十b∈A,则A为闭集合，a=(a十b)一b∈A,与 3a),若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B aEA矛盾： 的真子集， 若a十b∈B,则B为闭集合，b=(a+)一a∈B,与bEB ∴.2+a≥2，此时a>1: 矛盾. ②当3a=2+a,即a=1时，解集A=0,满足题设条件： 综上，存在c∈R,使得CEAUB. ③当3a<a十2，即a<1时，解集A=(x3a<x<2+ ..AUBR. a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则有3a≥2， 第二章一元二次函数、方程和不等式 此时子<a<1. 2.1等式性质与不等式性质 综上可得a>号 变式训练答案 18.:mx2一4x十4=0是一元二次方程，∴m≠0. [变式】比提示：由日<名<0可得6a<0,显然 又另一方程为x2一4m.x十4m2一4m-5=0,且两方程 选项A不正确： 都要有实根， 因为b<a<0,所以ab>0,a十b<0所以ab>a十b,故 141=(-4)2-16m0, 选项B正确： 因为a<0,所以b>a,故选项C正确： △：=16r-4(4m-4m-5)≥0 解得一<m<1 因为a<0,所以0，a一>0，可得ab-?=b(a一b) ,两方程的根都是整数，∴其根的和与积也为整数， <0,即ab,故选项D不正确. 品ez. [变式2]方法一（作差法），x>0,.1十x>1, 母4m∈Z 六1+艺-+7=+中起 4m2-4m-5∈Z, =1+x-2++1 m为4的约数. 2 -12