精品解析：山东省日照地区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度上学期八年级阶段素养测试 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列交通标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，掌握轴对称的定义是关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的计算，解题的关键是掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方及完全平方公式． 分别根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方及完全平方公式计算可得． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项错误； C、，此选项正确； D、，此选项错误； 故选：C． 3. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 即 故选：D． 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键． 7. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4 故选：D． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 8. 如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 5cm2 C. 6cm2 D. 8cm2 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得到的面积． 【详解】解：延长交于， 垂直的平分线于，， 又知，， ， ，， 和等底同高 ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形全等判定，三角形面积的知识点．证明出三角形的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 9. 如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（    ） ①≌；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌，所以正确； ， ， ，所以正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ，所以错误； ≌， ， ， ， ， ，所以正确． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 10. 发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 若的结果中不含的一次项，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 13. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的知识，难度适中．根据线段垂直平分线的性质得，则，由，设，则，求出，根据，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，设，则， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 已知实数，满足，，则的值为_____． 【答案】497 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是熟练运用完全平方公式进行计算； 把两边同时平方，再减去即可． 【详解】解：实数，满足，， 则，， ， ， 故答案为：497． 15. 在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长作，连接，由点到直线的距离可知当时有最小值，根据30度角的直角三角形性质作答即可． 【详解】解：延长作，连接， 此时， ∵最小， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了求最短距离，含30度角的直角三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 16. 如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，依题意可设，则，则，再根据得当与全等时，有以下两种情况：①当，时，则，再由求出的值，进而可得的长；②当，时，则，再由求出的值，进而可得的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：点，运动的速度之比为， 设，则， ， ， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，则， 由，得：， 解得：， ； ②当，时，则， 由，得：， 解得：， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，共72分，解答时要写出必要的文字说明、证明过程．） 17. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可． 本题主要考查了多项式除以单项式，平方差公式和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的混合运算的法则化简得到，再将，代入原式解答即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的法则，已知字母的值求代数式的值，掌握整式的混合运算的法则是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的，并直接写出点的坐标_____； （2）在轴上画出点，使的值最小； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，关于轴对称的， （2） 如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握对称作图，学会利用对称的性质，解决最短问题，属于中考常考题型． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1即可． （2）连接交轴于点，即为所求的点P． （3）利用分割法计算即可． 【小问1详解】 解：即为所求图形．． 【小问2详解】 解：点关于轴的对称点为， 连接交轴于点， ， ， 点，，三点共线， 此时的值最小， 【小问3详解】 解：， 故答案为：． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． （1）若，求的周长． （2）试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）12 （2） 解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； 【小问2详解】 略 21. 如图所示，和中，，，并且，连接，，相交于点．求证： （1）； （2）平分； 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴平分 【解析】 【分析】（1）由得，证明，即可得证； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的判定即可得证； 掌握全等三角形的判定和性质及角平分线的判定是解题的关键 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当_____时，代数式有最小值；最小值是________________； 又如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式，因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是-22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式的最小值是多少，并写出对应的的取值． （3）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值． 【答案】（1）3，1；（2）当时，原多项式的最小值是15（3）时，原多项式的最大值是4 【解析】 【分析】本题考查配方法、非负数的性质，能够类比题中的例子运用配方法将多项式变形，同时利用平方的非负性确定最大值或最小值，是解题的关键． （1）用配方法把多项式变形成，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （2）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （3）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最大值及对应的取值． 【详解】解：（1）， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1， 故答案为：3，1； （2）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是15； （3）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最大值是，所以当时，原多项式的最大值是4． 23. 探究题： （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为 （直接写出结论，不用证明）． ②线段之间的数量关系是 （直接写出结论，不用证明）． （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：在（2）问的条件下，若，试求的面积（用，表示）． 【答案】（1）①．②；（2），，理由如下（3） 【解析】 【分析】（1）①由和均为等边三角形知，，．据此得，再证得，结合为等边三角形知，根据点，，在同一直线上，知，最后由可得答案； ②由知； （2）证得，，由为等腰直角三角形知．由点，，在同一直线上知，，由，知，根据可得，继而得出答案； （3）由（2）知，，，根据可得答案． 本题是三角形综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形与等腰三角形的性质等知识点． 【详解】解：（1）和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ， ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ， ， ； ②， ． 故答案为：①．②． （2）猜想：，．理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ， ， ， ，， ． ， ， ． （3）由（2）知，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期八年级阶段素养测试 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列交通标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 12 7. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 8. 如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 5cm2 C. 6cm2 D. 8cm2 9. 如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（    ） ①≌；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 若的结果中不含的一次项，则的值为______． 12. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 13. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为_____． 14. 已知实数，满足，，则的值为_____． 15. 在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为______． 16. 如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为_____． 三、解答题（本大题共7题，共72分，解答时要写出必要的文字说明、证明过程．） 17. （1）计算：． （2）计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的，并直接写出点的坐标_____； （2）在轴上画出点，使的值最小； （3）求的面积． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． （1）若，求的周长． （2）试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 21. 如图所示，和中，，，并且，连接，，相交于点．求证： （1）； （2）平分； 22. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当_____时，代数式有最小值；最小值是________________； 又如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式，因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是-22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式的最小值是多少，并写出对应的的取值． （3）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值． 23. 探究题： （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为 （直接写出结论，不用证明）． ②线段之间的数量关系是 （直接写出结论，不用证明）． （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：在（2）问的条件下，若，试求的面积（用，表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $