精品解析：河北省唐山市滦州市2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试八年级 数学试卷 本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁； 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是最简分式，则中可以是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 如图，已知，且，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 4. 计算的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 下列正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 1的立方根是 C. D. 0.3049精确到0.01的结果是0.30 6. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间T（单位：s）称为一个周期，其计算公式为，l表示摆长（单位：m）．若一台座钟的摆长为，当取3时，该摆针摆动的周期为（ ）． A. B. C. D. 7. 我们把原命题是真命题，但它的逆命题是假命题的命题称为“半真命题”．例如：命题“如果，那么．”就是一个“半真命题”．关于①、②两个命题，下列判断正确的是（ ） ①两个全等三角形的周长相等；②两直线平行，内错角相等 A. 只有①是“半真命题” B. 只有②是“半真命题” C. ①②都是“半真命题” D. ①②都不是“半真命题” 8. 对命题“全等三角形对应角的平分线相等”的证明过程如图所示，则①，②分别是（ ） 已知：如图，，线段，分别为和的平分线． 求证：． 证明：，，， ① ，分别为和的平分线，， ，（②），． A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 有一块长为米、宽为米的长方形空地，现在中间挖一个长方形游泳池，若游泳池四周与空地边缘的距离相等，且游泳池宽与长的比是，求游泳池四周与空地边缘的距离是多少？设游泳池四周与空地边缘的距离是米，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 11. 对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 甲、乙的答案合在一起才完整 B. 乙、丙的答案合在一起才完整 C. 只有乙的答案正确 D. 三人的答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是__________． 14. 若点在数轴上的位置如图所示，则点在数轴上表示的无理数可能是__________（只填一个）． 15. 如图，在锐角三角形中，，点在线段上，且．若，，，则__________． 16. 有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵） 17. 按要求完成下列各小题． （1）计算：； （2）求的值：． 18. 如图，已知，在用尺规作图得到时，先作，再作，，然后连接EF． （1）其中判定三角形全等的方法是__________； （2）延长交于点，若，． ①求的度数； ②若，，求的长． 19. 计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． （1）以上解法中正确的是__________（填序号即可）； （2）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程；并从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求分式的值． 20. 已知满足以下条件： ①正数的两个不相等的平方根分别是和； ②． （1）分别求的值； （2）若，其中为整数，，求的值． 21. 如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． （1）求证：平分； （2）若，求四边形的面积； （3）猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 22. 用如图所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． （1）求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； （2）把图中的正方形放到数轴上，如图，点表示的数为，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上的点时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①点表示的数为多少； ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点中的某个点与数轴上的重合？ 23. 甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达乙地，设前一小时行驶的速度为． （1）提速后走完剩余路程的时间为________（用含x的式子表示）； （2）求汽车前一小时的行驶速度； （3）当汽车以的速度原路返回时，同时有一辆货车以（）的速度从甲地开往乙地，两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米？（结果用含a的式子表示） 24. 如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． （1）当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； （2）若，，求的长； （3）当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试八年级 数学试卷 本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁； 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是最简分式，则中可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义逐项判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、若是，则，是整式，不是分式，不合题意； 、若是，则，分子分母含有公因式，不是最简分式，不合题意； 、若是，则，是最简分式，符合题意； 、若是，则，分子分母含有公因式，不是最简分式，不合题意； 故选：． 2. 的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根、相反数等知识，正确将化简是解题关键．首先根据立方根的性质可得，根据相反数的定义即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵的相反数为3， ∴的相反数为3． 故选：B． 3. 如图，已知，且，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解答关键． 根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差来求解． 【详解】解：， ，， ． ，， ． 故选：A． 4. 计算的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选：B． 5. 下列正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 1的立方根是 C. D. 0.3049精确到0.01的结果是0.30 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根以及近似数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平方根、立方根、算术平方根以及近似数的相关定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 4的平方根是，故本选项错误，不符合题意； B. 1的立方根是1，故本选项错误，不符合题意； C. ，故本选项错误，不符合题意； D. 0.3049精确到0.01的结果是0.30，本选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间T（单位：s）称为一个周期，其计算公式为，l表示摆长（单位：m）．若一台座钟的摆长为，当取3时，该摆针摆动的周期为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，正确计算是解题的关键．把代入中即可求解 【详解】解：把代入，得 ， 故选：D． 7. 我们把原命题是真命题，但它的逆命题是假命题的命题称为“半真命题”．例如：命题“如果，那么．”就是一个“半真命题”．关于①、②两个命题，下列判断正确的是（ ） ①两个全等三角形的周长相等；②两直线平行，内错角相等 A. 只有①是“半真命题” B. 只有②是“半真命题” C. ①②都是“半真命题” D. ①②都不是“半真命题” 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题及逆命题，真假命题，根据真命题写成它的逆命题，再判断它们的真假即可求解，正确写成命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：①两个全等三角形的周长相等，是真命题，它的逆命题是周长相等的两个三角形全等，是假命题，所以①是“半真命题”； ②两直线平行，内错角相等，是真命题，它的逆命题是内错角相等，两直线平行，是是真命题，所以②不是“半真命题”； ∴只有①是“半真命题”， 故选：． 8. 对命题“全等三角形对应角的平分线相等”的证明过程如图所示，则①，②分别是（ ） 已知：如图，，线段，分别为和的平分线． 求证：． 证明：，，， ① ，分别为和的平分线，， ，（②），． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 按照步骤作答即可． 【详解】解：证明：， ，，， ，分别为和的平分线， ， ，， ， 故选：C． 9. 有一块长为米、宽为米的长方形空地，现在中间挖一个长方形游泳池，若游泳池四周与空地边缘的距离相等，且游泳池宽与长的比是，求游泳池四周与空地边缘的距离是多少？设游泳池四周与空地边缘的距离是米，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设游泳池四周与空地边缘的距离是米，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设游泳池四周与空地边缘的距离是米， 由题意可得，， 故选：． 10. 下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，不符合三角形全等判定方法，不能作出唯一三角形； 、，不符合三角形全等判定方法，不能作出唯一三角形； 、，，，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形； 、，，，符合三角形全等判定方法，能作出唯一三角形； 故选：． 11. 对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．理解题意，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 由题意知，当时，，即，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 综上所述，或， 故选：C． 12. 题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 甲、乙的答案合在一起才完整 B. 乙、丙的答案合在一起才完整 C. 只有乙的答案正确 D. 三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是__________． 【答案】##边边边 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握证明全等三角形的判定定理．根据已知条件结合公共边，即可根据“”证明两三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 14. 若点在数轴上的位置如图所示，则点在数轴上表示的无理数可能是__________（只填一个）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，确定点表示的数的取值范围是解题关键．设点在数轴上表示的数为，根据数轴可以得到的取值范围，从而可以获得答案． 【详解】解：设点在数轴上表示的数为， 由数轴可得， ∵， ∴， ∴点在数轴上表示的无理数可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在锐角三角形中，，点在线段上，且．若，，，则__________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键．首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：21． 16. 有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵） 17. 按要求完成下列各小题． （1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据算术平方根的定义化简再合并即可； （）把移到右边，再利用立方根的定义解答即可； 本题考查了算术平方根，立方根，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，已知，在用尺规作图得到时，先作，再作，，然后连接EF． （1）其中判定三角形全等的方法是__________； （2）延长交于点，若，． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）根据已知直接证明()，即可求解； （2）①根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质，得出，进而根据邻补角的定义，即可求解； ②根据全等三角形的性质可得，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴()， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵，． ∴， ∵， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴． 19. 计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． （1）以上解法中正确的是__________（填序号即可）； （2）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程；并从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求分式的值． 【答案】（1）① （2） 原式 ， ∵， ∴当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． （1）根据两种解法的解题过程判断即可； （2）选出正确的解法化简，然后选一个使原分式有意义的数代入正确的计算结果计算即可． 【小问1详解】 解：因除法没有分配律，故①正确，②错误． 故答案为：①． 【小问2详解】 略 20. 已知满足以下条件： ①正数的两个不相等的平方根分别是和； ②． （1）分别求的值； （2）若，其中为整数，，求的值． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（）根据平方根的性质可求出的值，进而求出，再根据立方根的定义可求出的值； （）由（）可得，再根据夹逼法和已知条件即可求解； 本题考查了平方根，立方根及无理数的估算，掌握平方根的性质、立方根的定义及无理数的估算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，为整数，， ∴， ∴． 21. 如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． （1）求证：平分； （2）若，求四边形的面积； （3）猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）48 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 22. 用如图所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． （1）求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； （2）把图中的正方形放到数轴上，如图，点表示的数为，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上的点时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①点表示的数为多少； ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点中的某个点与数轴上的重合？ 【答案】（1）正方形的边长为，的长在和之间 （2）①；②不存在． 【解析】 【分析】（）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到点表示的数；②设存在正整数，则，由进行判断即可求解； 本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴的长在和之间； 【小问2详解】 解：①∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴点表示的数为； ②不存在，理由如下： 设存在正整数，则， ∴， ∵为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数． 23. 甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达乙地，设前一小时行驶的速度为． （1）提速后走完剩余路程的时间为________（用含x的式子表示）； （2）求汽车前一小时的行驶速度； （3）当汽车以的速度原路返回时，同时有一辆货车以（）的速度从甲地开往乙地，两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米？（结果用含a的式子表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用： （1）用剩余的路程除以提速后的速度，即可求解； （2）根据原计划的时间减去实际的时间等于，列出方程，即可求解； （3）先求出两车相遇的时间为，然后用汽车行驶的路程减去货车的路程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：提速后走完剩余路程的时间为； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：汽车前一小时的行驶速度为； 【小问3详解】 解：根据题意得：两车相遇的时间为， ， 答：两车相遇时汽车比货车多行驶． 24. 如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． （1）当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； （2）若，，求的长； （3）当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）1或7 （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； （3）首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，进而可得，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； 【小问3详解】 ，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $