精品解析：陕西省 咸阳市秦都中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是一元二次方程的解，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 3. 一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 4. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 5. 某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________． 10. 如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件：______． 11. 矩形中，对角线、相交于点O，，，则________． 12. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足（即），则称点P是线段的黄金分割点，若，设，则x满足的方程是________．（化为一般形式） 13. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：，，，，其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 用配方法解方程： 15. 如图，在中，是上的点，是上一点，且，．求证：． 16. 已知关于x的一元二次方程．求证：对于任意实数m，该方程总有实数根． 17. 如图，在△中，点E，F分别在上，连接与交于点P，，求的值． 18. 如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 19. 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当A，C，E三点共线时，标杆与标杆的水平距离，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 21. 置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应，包括金属与金属盐的反应，金属与酸的反应等．某次化学实验课上，老师带来了四种金属．这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知，可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）若从四种金属中随机选择一种，选到的概率是 ； （2）甲同学从四种金属中随机选择一种金属进行实验，将四个容器的顺序打乱，然后乙同学从四种金属中再随机选择一种金属进行实验，请用画树状图法或列表法，求两人所选金属均能置换出氢气的概率． 22. 在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 某水果店商家购进了一批哈密瓜，每斤哈密瓜的进价是8元．商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元时，平均每天可售出20斤哈密瓜．据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元，平均每天可多售出5斤．商家在不考虑其他因素的情况下，想使销售哈密瓜平均每天的总获利为150元，同时也让顾客获得最大的优惠，每斤哈密瓜的售价为多少元？ 24. 小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿方向移动1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿方向继续移动米放在D处（即米），从点D处移动米到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M．已知小明眼睛到地面的距离米，点E、D、B、A、N在同一条直线上，．请根据题中提供的相关信息，求出这个塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 25. 如图，在中，，的中垂线交边于点E，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 26. 如图（1），已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点． （1）证明与推断： ①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为 ； （2）探究与证明： 将正方形绕点C顺时针方向旋转角（0°＜＜45°），如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 在（2）的条件下，正方形在旋转过程中，如图（3）所示，延长交于点．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是一元二次方程的解，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元二次方程的解，解一元一次方程是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得，， 故选：A． 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等． 故选：C． 3. 一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．设四边形最长边长为x，根据相似多边形的性质列得，从而求出x． 【详解】解：设四边形最长边长为x， ∵四边形相似四边形， ∴， 解得， 故选：D． 4. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， 他们恰好从同一出口走出的概率是， 故选：． 6. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 7. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为（单位：米），下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先计算停车位的长，宽，后计算即可，本题看出来一元二次方程的应用，正确表示车位的面积是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选D． 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设鱼塘养了x条草鱼，由题意易得，然后可得鱼塘总共鱼的条数，进而根据概率公式可求解． 【详解】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴捞到鲤鱼的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解数量的问题是解题的关键． 10. 如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件：______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法可增加角或边的条件即可． 【详解】解：可添加一个条件是：． ∵，， ∴ 故答案为：(答案不唯一)． 11. 矩形中，对角线、相交于点O，，，则________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；先画出示意图，由勾股定理计算出，再由矩形性质得即可求解． 【详解】解：如图，四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ． 故答案为：2.5． 12. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足（即），则称点P是线段的黄金分割点，若，设，则x满足的方程是________．（化为一般形式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是读懂题意，掌握黄金分割的定义． 根据黄金分割的定义列方程即可． 【详解】解：∵，设，则， 根据黄金分割的定义可得：， 化简得，， 故答案为：． 13. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：，，，，其中所有正确结论的序号是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，，，利用可证，所以可证，可证结论成立；根据平分，可证点是的中点，可得是的中位线，根据中位线的性质可证结论成立；根据正方形的性质可得，从而求出，，可证结论成立；根据三角形的中位线的性质可得且，从而可证，故结论不成立． 【详解】解：如下图所示， 四边形和四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， 在中， ， ， 故正确； 平分，， ， 又点是的中点， 是的中位线， ， ， 故正确； 由可得：是的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 故正确； 四边形是正方形， ， 由可知，且为的中位线， ，， ， ， ， 故错误． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理．解决本题的关键是熟练地掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 用配方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先将二次项系数化为1，然后根据配方法，可即答案. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 15. 如图，在中，是上的点，是上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是证得． 由已知条件可证得，由相似三角形的性质可得； 【详解】证明：，， ∴， ； 16. 已知关于x的一元二次方程．求证：对于任意实数m，该方程总有实数根． 【答案】 证明：， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由，证明作答即可． 【详解】略 17. 如图，在△中，点E，F分别在上，连接与交于点P，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是利用平行线证明两个三角形相似，再列出比例式求解； 根据平行线得出∽，∽，列出比例式即可． 【详解】解：∵， ∴∽，∽， ∴，， ∵ ∴， ∴． 18. 如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ； ∴的度数为． 19. 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当A，C，E三点共线时，标杆与标杆的水平距离，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度． 利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，所以． 【详解】解：过作于，交于， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ， ， 即， ， ， ． 答：旗杆的高度为． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 【解析】 【分析】此题考查菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．根据线段垂直平分线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和菱形的判定解答即可． 【详解】略 21. 置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应，包括金属与金属盐的反应，金属与酸的反应等．某次化学实验课上，老师带来了四种金属．这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知，可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）若从四种金属中随机选择一种，选到的概率是 ； （2）甲同学从四种金属中随机选择一种金属进行实验，将四个容器的顺序打乱，然后乙同学从四种金属中再随机选择一种金属进行实验，请用画树状图法或列表法，求两人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、不可能事件的定义、概率公式是解答本题的关键． （1）根据不可能事件的定义可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，从四种金属中随机选择一种，共有四种可能，选到有一种可能，选到的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，共4种， 两人所选金属均能置换出氢气的概率为． 22. 在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证明，则四边形是平行四边形，由，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 23. 某水果店商家购进了一批哈密瓜，每斤哈密瓜的进价是8元．商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元时，平均每天可售出20斤哈密瓜．据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元，平均每天可多售出5斤．商家在不考虑其他因素的情况下，想使销售哈密瓜平均每天的总获利为150元，同时也让顾客获得最大的优惠，每斤哈密瓜的售价为多少元？ 【答案】每斤哈密瓜的售价为11元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每斤哈密瓜的售价为元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每斤哈密瓜的售价为元，根据题意得： ， 整理得， 解得，， ∵让顾客获得最大的优惠， ∴， 答：每斤哈密瓜的售价为11元． 24. 小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿方向移动1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿方向继续移动米放在D处（即米），从点D处移动米到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M．已知小明眼睛到地面的距离米，点E、D、B、A、N在同一条直线上，．请根据题中提供的相关信息，求出这个塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，，则，，即，，由①②可求的值． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由①得，， 将代入②可得，， 解得，， ∴这个塔的高度为米． 25. 如图，在中，，的中垂线交边于点E，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵的中垂线交边于点E，, ∴，， ， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，中垂线的性质，对顶角的性质，勾股定理． （1）根据的中垂线交边于点E，得到，， ，结合，得到，证明即可． （2）根据，得到，根据，列出比例式，得，求得，勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图（1），已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点． （1）证明与推断： ①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为 ； （2）探究与证明： 将正方形绕点C顺时针方向旋转角（0°＜＜45°），如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 在（2）的条件下，正方形在旋转过程中，如图（3）所示，延长交于点．若，，求的值． 【答案】（1） ①四边形是正方形， ，， 、， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是正方形； ② （2），理由： 连接， ∵， ∴， ，， ， ， ， 线段与之间的数量关系为； （3） 【解析】 【分析】（1）①由、结合可得四边形是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接，只需证即可得； （3）证得，设，知，由得即可． 【小问1详解】 解：（1）①略 ②由①知四边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， ， ， ， 、、三点共线． ，点、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 则由得， ， ∴． 【点睛】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $