精品解析：福建省厦门市五缘中学（翔安火炬实验学校）2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试题

厦门市翔安火炬实验学校2024-2025学年第一学期七年级 数学月考试卷 （满分：150分 完成时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）． A. 3和 B. 3和 C. 和3 D. 和 2. 下列图形中是数轴的是（　　） A. B. C. D. 3. 在标准大气压下，液态氧、液态氮、酒精、水四中液体的沸点如下表： 液体 液态氧 液态氮 酒精 水 沸点 其中沸点最低的液体为（ ） A. 液态氧 B. 液态氮 C. 酒精 D. 水 4. 的到来不仅仅是上网速度的提升，它与医疗、交通、家居等领域的融合，将推动远程医疗、自动驾驶、智能家居等应用的飞速发展，深刻改变人们的生活方式数据显示，截至年月日，某省新建基站个，基站总数累计达到个，实现了县城以上城区网络全覆盖用科学记数法表示为（ ）． A B. C. D. 5. 某面粉厂加工的面粉袋上，标有标准质量为的字样，从中产品中任意拿出一袋称重，质量不符合标准重量的要求的是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（ ） A. 11 B. C. 13 D. 9. 如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ） A. B. C. 1 D. 3 10. 一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_________（填“”或“”或“”）． 12. 用四舍五入法取近似值：________．（精确到十分位） 13. 在数轴上与-3相距7个单位长度的点表示的数是_________. 14. 有一列数，，，，…，那么第个数________． 15. 对一个正整数n进行如下操作：若n为奇数，则将它乘以3，再加1，得到一个新数；若n为偶数，则取它的一半，若结果仍为偶数，则再取这个结果的一半，…，直到得到一个新的奇数．对n进行1次上述操作所得的结果记为，再将进行一次上述操作，所得的结果记为，…，例如：数9经过1次操作得到28，即，经过2次操作得到7，即，经过3次操作得到22，即．则______. 16. 对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 递等式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 把下列各数分别填在它所在的集合里：，，，，，，，，，． （1）正有理数集合：______； （2）负有理数集合：______； （3）分数集合：______； （4）非负整数集合：______． 19. 数轴上点A，B，C的位置如图所示．请回答下列问题： （1）表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点,则点表示的有理数是_______； （2）在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； （3）将，，，这四个数用“＜”号连接的结果是_________． 20. 科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（千克） （1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ （3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 21. 若是最大的负整数，是最小的正整数，的相反数是它本身，求的值． 22. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 23. 算筹是我国古代计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右横列，各位数的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式．例如614用算筹表示出来是；数字有空位时，如86021用算筹表示出来是，百位是空位就不放算筹． 6728表示为 6708表示为 （1）8335用算筹可表示为（ ） A． B． C． D． （2）算式“”可用如图①中的算筹表示，如图②中算筹表示两个三位数的运算，其结果为________； （3）“”表示的最小的数是______________． 24. 观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． （1）观察下列等式： ①，②，③，… 根据发现的规律，写出第五个等式是________，________； （2）迁移应用，填空： ①________； ②________； （3）拓展研究，计算： ． 25. 【定义】：在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A．B的距离具有2倍关系，则我们就称点C是其余两点的强点（或弱点），具体地： ①当点C在线段上时，若，则称点C是的强点；若，则称点C是的强点： ②当点C在线段的延长线上时，若，则称点C是的弱点 【例如】如图，数轴上点A、B、C、D分别表示数，2，1，0，则点C是的强点，又是的弱点；点D是的强点，又是的弱点； 【应用】I．如图，M．N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）的强点表示的数为__________． 的弱点表示的数为__________． II．如图，数轴上，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． （2）①求当t为何值时？P是的弱点． ②求当t为何值时？P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点强点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门市翔安火炬实验学校2024-2025学年第一学期七年级 数学月考试卷 （满分：150分 完成时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）． A. 3和 B. 3和 C. 和3 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键； 根据题意，一一判断即可求解； 【详解】解：根据互为相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数， A、互为倒数，不符合题意； B、互为相反数，符合题意； C、不是相反数，不符合题意； D、互为倒数，不符合题意； 故选：B 2. 下列图形中是数轴的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴的三要素，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据数轴三要素一一判断即可． 【详解】解：A、缺少了正方向，故错误； B、缺少了原点，故错误； C、单位长度不统一，故错误； D、符合数轴三要素，故正确． 故选：D． 3. 在标准大气压下，液态氧、液态氮、酒精、水四中液体的沸点如下表： 液体 液态氧 液态氮 酒精 水 沸点 其中沸点最低的液体为（ ） A. 液态氧 B. 液态氮 C. 酒精 D. 水 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义进行比较大小即可．解题的关键是掌握有理数的大小比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴沸点最低的液体为液态氮． 故选：B． 4. 的到来不仅仅是上网速度的提升，它与医疗、交通、家居等领域的融合，将推动远程医疗、自动驾驶、智能家居等应用的飞速发展，深刻改变人们的生活方式数据显示，截至年月日，某省新建基站个，基站总数累计达到个，实现了县城以上城区网络全覆盖用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键； 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值即可求解； 【详解】解：， 故选：A 5. 某面粉厂加工的面粉袋上，标有标准质量为的字样，从中产品中任意拿出一袋称重，质量不符合标准重量的要求的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减的应用， 熟练掌握相关计算是解题的关键； 根据题意得到标准重量的范围，选项进行比较即可求解； 【详解】解：根据题意，可以得到标准重量到， A、B、C、选项都符合标准重量要求， D选项质量不符合标准重量的要求， 故选：D 6. 下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】将四个选项中的各数都计算出来，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、，， ，不符合题意； D、，， ，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、相反数和绝对值，将四个选项中的各数计算出来是解题的关键． 7. 有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴可知，，再利用绝对值不相等的异号的两数相加取绝对值较大的加数的符号可判断的符号，较小的数减去较大的数差为负数，可判断的符号，从而可得答案. 【详解】解：由数轴可知，， ∴， 所以A，C，D错误，不符合题意，B符合题意， 故选：B 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数加法运算中和的符号的确定，有理数的差的运算中差的符号的确定，熟悉加减法的运算法则是解题的关键. 8. 如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（ ） A. 11 B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，理解程序的要求是解题的关键． 利用程序图进行运算即可解答． 【详解】解：当时，， ∴当时，，符合要求， ∴最后输出的结果是：13． 故选：C． 9. 如果三个连续整数n、、和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 10. 一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由2022÷4=505……2，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为+1，表示的数为+3，表示的数为0，表示的数为，表示的数为+1，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵2022÷4=505……2， ∴， ∴在数轴上表示的数为2023， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出点表示的数的循环规律是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 12. 用四舍五入法取近似值：________．（精确到十分位） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查近似数，熟知四舍五入的方法是解题的关键． 根据百分位四舍五入即可求解． 【详解】解：∵精确到十分位，百分位为6， ∴． 故答案为：． 13. 在数轴上与-3相距7个单位长度的点表示的数是_________. 【答案】4或-10 【解析】 【分析】此题注意考虑两种情况：可以向左移或向右移． 【详解】以表示−3的点为起点，向左移7个单位，即−3−7=−10； 向右移7个单位，即−3+7=4. 故填4或-10. 【点睛】本题考查数轴，在本题中需注意在数轴上距离某点一定距离的点有两个，一个在这个点的左侧，一个在这个点的右侧. 14. 有一列数，，，，…，那么第个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字类变化规律，熟练掌握平方的运算是解题的关键； 根据题意可以得到数字类变化规律为； 【详解】解：通过观察规律得到第五个数为； 第六个数为； 第七个数为：； 故答案为： 15. 对一个正整数n进行如下操作：若n为奇数，则将它乘以3，再加1，得到一个新数；若n为偶数，则取它的一半，若结果仍为偶数，则再取这个结果的一半，…，直到得到一个新的奇数．对n进行1次上述操作所得的结果记为，再将进行一次上述操作，所得的结果记为，…，例如：数9经过1次操作得到28，即，经过2次操作得到7，即，经过3次操作得到22，即．则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题中的操作进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，，，，……， ∴从第8次操作开始，进行偶数次操作，结果为1，进行奇数次操作，结果为4， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查数字类规律探索，根据题意找到规律是解题的关键． 16. 对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据绝对距离的定义分析可得：点C在点P和点Q之间，用含a的式子表示出和，列式求解即可． 【详解】解：设点P表示的数为a，则点Q表示的数为 当点C在线段左侧或者右侧时， ， ∴点C在点P和点Q之间， 当点C在点P和点Q之间时，如图所示： ，， ∴， ， 解得：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，根据题意得出点C在点P和点Q之间，并用数形结合思想表示出和的值是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 递等式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可求解； （2）运用乘法分配律即可求解； （3）先乘除，后加减，计算即可求解； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后算加减，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 把下列各数分别填在它所在的集合里：，，，，，，，，，． （1）正有理数集合：______； （2）负有理数集合：______； （3）分数集合：______； （4）非负整数集合：______． 【答案】（1），，， （2），，， （3），，6.2 （4），， 【解析】 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解答本题的关键． （1）直接利用正有理数的定义分析得出答案； （2）直接利用负有理数的定义分析得出答案； （3）直接利用非分数的定义分析得出答案； （4）直接利用非负整数的定义分析得出答案． 【小问1详解】 正有理数集合，，，； 故答案为：2004，，，6.2； 【小问2详解】 负有理数集合，，，； 故答案为：，，，； 【小问3详解】 分数集合，，； 故答案为：，，6.2； 【小问4详解】 非负整数集合：，，； 故答案为：，，； 19. 数轴上点A，B，C的位置如图所示．请回答下列问题： （1）表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点,则点表示的有理数是_______； （2）在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； （3）将，，，这四个数用“＜”号连接的结果是_________． 【答案】（1）A， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，数轴上平移计算，数轴比较数的大小． (1)根据数轴的意义，确定点；根据左减右加计算即可． (2)根据数的大小和符号两个方面去解答即可． (3)根据数轴上越靠近右边的数越大比较解答即可． 【小问1详解】 根据题意，得表示有理数的点是点A， 故答案为：A； ∵点C表示的数是2， ∴向左移动4个单位长度得到点表示的数为， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，数轴表示如下： ． 【小问3详解】 根据数轴表示，不等号连接结果如下： ， 故答案为：． 20. 科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（千克） （1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ （3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）小王第一周实际销售柚子的总量是718千克； （3）小王第一周销售柚子一共收入3590元． 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题关键． （1）用销售量最多的一天与销售量最少的饿一天相减，即可得到答案； （2）根据第一周实际销售的柚子数量相加，即可得到答案； （3）用（2）所得实际销售量乘以每千克利润，即可得到答案． 【小问1详解】 解：（千克）， 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； 【小问2详解】 解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克； 【小问3详解】 解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入3590元． 21. 若是最大的负整数，是最小的正整数，的相反数是它本身，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，负整数，正整数，相反数的定义，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； 直接利用负整数、正整数、相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：因为是最大的负整数，是最小的正整数，的相反数是它本身， 所以，，， 所以． 22. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查绝对值的意义，求代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； （1）根据绝对值的意义，即或，再根据，即可求解； （2）根据绝对值的意义，即或，再根据，即可求解； 【小问1详解】 解：， 或， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ∴或， ，， ， ； 23. 算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右横列，各位数的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式．例如614用算筹表示出来是；数字有空位时，如86021用算筹表示出来是，百位是空位就不放算筹． 6728表示为 6708表示为 （1）8335用算筹可表示为（ ） A． B． C． D． （2）算式“”可用如图①中的算筹表示，如图②中算筹表示两个三位数的运算，其结果为________； （3）“”表示的最小的数是______________． 【答案】（1）B；（2）-426；（3）10340 【解析】 【分析】（1）根据题意可得8335用算筹的表示方法； （2）由算筹表示方法的到算式，再计算； （3）根据算筹记数的规定可知，“”表示的最小的数是5位数，依此即可得到“”表示的最小的数． 【详解】解：（1）8335用算筹可表示为： ， 故选B； （2）由题意得：图②中算式为： 103-529=-426， 故答案为：-426； （3）由已知可得： 表示的最小的数是5位数，且最高位是1，个位是0， 则最小的数是：10340． 【点睛】本题考查了应用类问题，关键是对我国古代用算筹记数的规定的理解和掌握，再根据有理数的大小比较可知“”表示的最小的数是5位数． 24. 观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． （1）观察下列等式： ①，②，③，… 根据发现的规律，写出第五个等式是________，________； （2）迁移应用，填空： ①________； ②________； （3）拓展研究，计算： ． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了规律型−数字的变化类，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）观察发现，等式的左边都是一个分数，分子都是，分母是两个连续正整数之积，等式的右边是两个分数的差，分子都是，分母是两个连续正整数，根据规律写出第个等式和第个等式即可； （2）利用发现的规律进行计算即可； （3）先提出，然后根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【小问1详解】 解：①根据发现的规律，第5个等式是：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①； ②； 故答案为：；； 【小问3详解】 解： 25. 【定义】：在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A．B的距离具有2倍关系，则我们就称点C是其余两点的强点（或弱点），具体地： ①当点C在线段上时，若，则称点C是的强点；若，则称点C是的强点： ②当点C在线段的延长线上时，若，则称点C是的弱点 【例如】如图，数轴上点A、B、C、D分别表示数，2，1，0，则点C是的强点，又是的弱点；点D是的强点，又是的弱点； 【应用】I．如图，M．N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）的强点表示的数为__________． 的弱点表示的数为__________． II．如图，数轴上，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． （2）①求当t为何值时？P是的弱点． ②求当t为何值时？P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 【答案】（1）2；；（2）①30；②或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）先根据两点距离公式得到，设强点为T，根据强点的定义得到，则点T表示的数为，据此可得答案；设的弱点为S，则，可得，进而求出点S表示的数为； （2）①由题意得，运动t秒后点P表示的数为，由弱点的定义可得方程，解方程即可得到答案； ②分其中一点是另外两点的强点，根据强点的定义分情况列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点M所表示的数为，点N所表示的数为4， ∴， ∴设的强点为T， 由题意得，， ∴， ∴点T表示的数为， ∴的强点表示的数为2； 设的弱点为S，则， ∴， ∴点S表示的数为， ∴的弱点表示的数为； （2）①由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∵P是的弱点， ∴且点P在延长线上， ∴， 解得； ②当P是的强点时，则， ∴， 解得； 当P是的强点时，则， ∴， 解得； 当A是的强点时，则， ∴， 解得； 当A是的强点时，则， ∴， 解得； ∵B一直会在线段的外面， ∴点B不可能是A、B两点的强点， 综上所述，当或或或时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$