期末复习(八)第二十八章 锐角三角函数-【宝典训练】2024-2025学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) ,∴.∠ODE=∠ABC=∠FBE=90,DF=BF, 又'∠ACD=∠E) 由(1)知，DF=CF. △ADC△EC, CF3..DF-BF-CF3. ∠ADC=∠EC=90° EF一7，由勾股定理，得 又，四边形ABCD为平行四边形。 BE-√EF-BF-√T-3F-210. ,四边形ABCD为矩形： :∠FBE=∠ODE=90°，∠E=∠E, (2)解：，四边形ABCD为矩形， △FBE∽△DE, ∴0A=号AC=6,AC=BD=12. 课-帶00+g, 又.∠A[DC=∠AOE=g90°， 7 ∠FAO=∠CAD(公共角)， 解得0D-3西 2 △MCn△M0F,小A0-e 在R△ABC中，AC=√AB+BC 2x3而 +(3+3) 2 设AD=∴后-片 12 =3√14. 整理，得r2+r-72=0, 36.解：设BE=ym,由题意可知。 解得x1=-9(舍)，rg=8, EF∥AB,GH∥AB, .AD=8, ∴.△ABD∽△FED,△ABC∽△HGC, .在R△ADC中.CD=12-8=45 器瓷鼎 40.解：(1)2t8-1 (2)在Rt△P(Q中，根据匀股定理，得CP+(CQ一PQ, EF-HG-2 .ED GC .(2)2+(8-1)2=(√6I)2, 解得1=0.2或t=3, 2 2中4+23+y ,当1为0.2或3秒时，PQ的长度等于√6I: 解得y=23(m), (3),以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相以，且∠C一∠C一 品需2品 2 90° 2 ①当△C0n△CB时是品 解得AB-25(m), 答：该古建筑AB的高度为25m. 37.证明：(1).AB=AC ∠ABC=∠ACB. ②当△cr0O△CBA时，需器 ∠PAB=∠PBC=∠PCA, ∴.∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCA. 小名-8位前得1-2 ,,∠ABP=∠BCP, .△ABP∽△BCP. 即当1为2或秒时，以点C,P.Q为顶点的三角形与△ABC相 ,PB:PC=PA:PB,即PB=PA·PC: 似 (2)由(1)知，△PAB△PBC, 41.【探究】1)证明：四边形ACD是矩形， 器-微 ∴∠A=∠B=90°..∠ADE+∠AED=90】 ,DE⊥EF,∠DEF-90,∴∠BEF+∠AED-90°， AB=4,BC=2, ∴，∠ADE=∠BEF -偿)-()- 又：∠A=∠B, ,'△AEDo△BFE 即S么B=4S区e (2)解：，点E为AB的中点， 38.(1)证明：：点D是劣弧AC的中点 ∴.AE=BE=5, .AD=DC,∴.∠ABD=∠DAC. 由(1)知，△AED△BFE, 又，∠ADB=∠EDM ∴.△ABD△EAD, 混部 混腮 脚号屏m-草 AD2=DE·DB: 【成用22成2 (2)解：由点D是劣弧AC的中点，得AD=DC,则DC=DE· 期末复习（八）一第二十八章锐角三角函数 DB. 1.A2.B3.A4.A5.C6.A7.A8.2 ,CB是直径 △BCD是直角三角形 9.10.7511.6012.A13.B14A15.B16.B 17.解：∠C=90°，AB=2√2，BC=6, ,∴，BD=/-(D AC=2, 由Dc2=DE·DB.得（受） =√5DE nB船提-B-, 解得DE- .∠A=90°-∠B=60 18.∠419.1±330°20.3080 39.(1)证明：，OE LAC, 21.解：在Rt△ABC中，∠C=90. ”,∠EC=∠E0A=90 :四边形ABCD为平行四边形，.2C=AC 咖B=号6- '(20C)2=CE·CD, 设AB=5k,AC=3k, ac·Ac-Rm畏 则BC=4k. 又△ABC的周长为24， 64 参考答案 ,∴.3k十4k十5k=24 :∠ACB=45°. 解得k=2,AC的长为6，BC的长为8 AB=BC=30米 点D为BC的中点 在R△AED中，DE=AE·1mn30=10√5米， ∴BD=之BC=4. CD=CE-DE=AB-DE=(30-103) 客：AC的长为6，BD的长为4 答：建筑物AB高30米，建筑物CD高(30一103)米 22.解：如答图所示，过点A作AD⊥B'于点D, 32.解：(1)过点C作CD⊥AB,交AB于点D,如答图. 设AD=, 在R△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=AC·sim30'=40X2 '∠ABC-a,∠AB-B. 20(千米)， D-品D品。 AD=AC·c05∠CAD=AC·c0s30°=40 ,BC的长为m米， ×专-05（千米 CD+D-=m,即品g十品。 CD 20 在R△BCD中，BD= 答图 r=m·tane·tang tan∠CBA-tan45 tan a+tan --千米. 即河的宽度是tano tan米。 tana+tanB ∴.AB=AD+BD=20w3+20=20(3+1)千米. 23.解：(1)过点P作PC⊥MN于点C,(图略) 则新铺设的光纤线路AB的长度为20(3十1)（千米）： 设PC=xm, (2)在R△BCD中，根据勾股定理，得BC=√CD+BD= 在R△PBC中，∠PBN=45 PC √20+20-202（千米）. ∴，BC= an45(m). 所以AC+C-AB=40+202-20(w3+1)=20(1+√2-√3)千米 AB=45m,..AC=AB+BC=(45+x)m. 则整改后从A地到B地的光纤线路比原米缩短了20(1十√2一3) 在R△APC中，∠PAC=31°， 千米 faa'0.. 3.解：)：AC=5,as∠A=, 解得x68, 经检验：x=68是原方程的根. wA-品-是 答：河的宽度约为68m ∴.AB=25. (2),70-68=2(m), :△ACB为直角三角形，点D是边AB的中点， ,本次测量结果的误差是2m, 减小误差的建议：多次测量求平均值. CD-空（或125： 24.解：(1)如答图1，作AC⊥(OD于点C, (2)BC=AB2-AC2=400, ,AB=20m,点O为AB的中点， 25 AD-BD=CD-2. 0A=(0B=2AB=10m O.B 设DE=x,EB=y, .∠AC0=90°.∠AOD=60, ,.∠01C=30. +r=(图)， 地面 0X=20A=5cm l(+)+y-40o@… 答图1 AC=√OA-OC=10-5=5g5×1 738.7(cm). 潮得一名 答：镜头A到支撑杆的距离约为8.7m: (2)如答图2，过点B作地面所在水平线的垂线，垂足为点E,作OF ,sin∠DBE ⊥BE于点F, .∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°， 34.(1)证明：连接AF,如答图1. ∴.四边形ODF是矩形， 'AB为⊙O的直径， ..EF/OD.EF=OD=68 cm. .∠AFB=90, 当镜头A旋转至最低点时， 地面 ∴∠BAF+∠ABF-90 ∠AOD=40°， DE .'∠ABC=90°， ∴，∠B=∠AOD=40 答图2 .∠ABF+∠EBC-90', ,∠OFB-90. ∴，∠BAF=∠EBC .∠BOF=90°-∠B=50. ,AB-AE,∠AFB=90, 8需-n∠0F=血0 ∠F=号∠BAC ∴，BF=10sin50(cm), 1 ∴，BF=F+BF68+10X07675.7(m. ·∠EBC=2∠BAC 答：点B到地面的距离约为75,7m. (2)解：过点E作G⊥BC于点G,如答图2， 25c26.D27.D28B29.53025 ,'∠AFB=∠BE=90 ,∠BAF=∠EBG 31解：过点A作AE LCD,交CD的延长线于点E, ∴，△BAFc∽△EBG 如答图， 则四边形ACE是矩形， 说既能 ∴.AE∥IBC,AE=C,AB=CE,∠ACB=∠CAE =45. :tan∠BAF-tan∠CBE- 2 答图2 在R△ABC中， .AF=2BF. 65 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) .AB=2A=10, :'∠a+∠MGH=90°，∠MGH+∠BGD=180°-90=90 .在R△ABF中，BF=25,AF=45. ·∠BGD+∠BLDG=90°，∠BLG+∠VDE=180°-90=90 AF⊥BE,AB=AE, ∠a=∠NDE. ∴，BE=2BF=4/5, 0-2645 在R△DEN中，m∠NDE-是-专 “45EG=BG 在△aM中，n么8器音 解得G=4.BG=8. GM=DF=0.5×4=2(米)， :'∠ABC=∠EGC=90',∠C=∠C 2 ∴.△ABCP△EGC, GGH-2.5. 需爱 即此时遮阳伞影子中GH的长度为2,5米， 品 一周一清答案 邻得cG-9 一周一清（一） E-V+丽-√()+-9 1.A2.A3.D4.B5.A6.x-9x+3=0 7.2-2 期末复习（九）一第二十九章投影与视图 8.x1=0,xg=1 1.B2.D3.C4.B5.A6.D7.C8.D9.A10.B 9.x1-3+2,x:=3-2 11.D12B13.914.515.A16.2317.A18.A 10.-1 19.解：如答图所示： 11.解：4(x-3)-25=0, 4x-3)=25,(r-3》=25 主视图 左祝图 偏视图 3, 答图 20解：(1)三棱柱 (2)由三视图可知，三棱柱的底面是高为3m的等边三角形，三棱柱的 12.解：.a=2,b=-4,c=-3, 高为2am. .△=16-4×2×(-3)=40>0. 3 AB=-n0-25 则x=4生2而_2士而 4 2 25X3x2×2=6原m). 13.解：x(x-2)=8 答：这个几何体的体积是63c。 x2-2x-8=0, 21.解：(1)这个几何体是三校柱： (x+2)(x-4)=0, (2)(3+4+5)×6+2×4×3×2 x十2=0或x-4=0, x1=-2,x2=4 =72+12 14.解：当x=0时，a2十a=0, =8(am). 解得a1=一1，d=0. 答：该几何体的表面积为84. 又，原方程为一元二次方程， 22解：(1)捌柱 .a=-l. (2)圆柱的体积为×()×20-0元 15.解：，m是关于x的一元二次方程x一x一1=0的根， 答：这个几何体的体积是500元 .m°一m一1=0，即m一m=1. 23.解：(1)5个： .3-2m2+2m (2)S表-a”×3×4+(2a)×2-20u. =3-2(一n) 答：这个几何体的表面积是20己. =3-2×1 24.B =3-2 25.(1)①②3④(2)好(3)3 =1. 如答图所示： 一周一清（二）】 1.B2.B3.D4.D5.D6.17 7.号8-39.361-xr=2510.8 11.解：(1)当x=5时，5-2×5十m-1=0, 从正面看 从上面看 解得m=一14. 答国 (2)设方程的另一个实数根为x1, 最多可以再添加3个小正方体 5十x=2, 26.解：如答图，过点G作GM⊥FH于点M,过点E作EN⊥AB于点 .x=一3. N AB=26米，BD=2米，.AD=0.6米 ,方程的另一个根为一3. ,AE=DE=O.5米，EN⊥AB. 12.解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染 DN=AN=ZAD=03米 中有x人被传染，第二轮传染中有x(1十x)人被传染， 根据题意得1十x+x(1十x)=49. 在R△DEN中，EN=√/DE-DV 解得x,=6x=一8（不符合题意，舍去）. 0.4(米. G 答：每轮传染中平均个人传染了6个人 答图 66数学·期末复习 期末复习（八） 第二十八章 锐角三角函数 一、考点过关 cosA的值为 考点1锐角三角函数的定义 1.如图，在△ABC中，若∠C=90°，则 A号 号 C.2 D.2 ( 考点2特殊角的三角函数 2 A.sin A=a 8.tan45°+2sin30的值等于 9.计算：cos245°-sin230°= B.sinA= 10.已知tan(a-30°)=1，则锐角∠a的度数 为 C.cos B= 11.若2cos∠A=1,则锐角∠A= 考点3由三角函数值求边、角 D.cos B= 12.如图.在Rt△ABC中， a ∠ACB=90°，如果AC=4, 2.在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,则 ( osB-号那么C等于 A.c=bsin B B.6=csin B ( ) C.a=btan B D.b=ctan B A.3 B.4 C.5 D.6 3.在Rt△ABC中，各边都扩大10倍，则 13.在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且 ∠A的三角函数值 ( A.不变 B.扩大10倍 A=osB= 2,则△ABC的形状 C第小到原来的。D不能确定 是 ( A.直角三角形 B.钝角三角形 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB= C.锐角三角形 D.不能确定 5,则sinA的值为 14.在△ABC中，∠A,∠B为锐角，且满足 A号 B号 tan B3 +(2sinA-2)2=0,则 3 c D.以上都不对 ∠C等于 ( ) 5.在Rt△ABC中，AC=4,BC=3,∠C为 A.105°B.75 C.60° D.45° 直角，则cosA的值等于 ( 考点4解直角三角形 A号 B牙 15.如图，在4×4的正方形网格 中，tana的值为 ( c D减 A号 B.2 6.在Rt△ABC中，∠B=90°，cosA= 则 n号 sin A= ( ) 16.在△ABC中，∠C=90°，AB=√6，BC= A品 R号 c号 n是 3,则∠A的度数为 ( A.30°B.45° C.60° D.75 7.在△ABC中，∠C=90°，tanA=2,则 41 宝典创练|数学·九年级全册(R) ●●·0 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 二、核心考题 22,BC=√6.解这个直角三角形 21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， △ABC的周长为24，simB=号，点D为 BC的中点，求AC,BD的长. 考点5解直角三角形的应用 22.如图，为了求某条河的宽度，聪聪同学设 18.如图，在点A处测得点B处的仰角是 计了如下方案： .(用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示) 在它的对岸岸边任意 北 取一点A,再在河的这边 铅垂线 东 ,没水平线 取两点B,C,使得∠ABC =a,∠ACB=3,量得BC 铅垂线 .4水平线 的长为m米.这样就可以 求出河的宽度（即求 第18题图 第20题图 △ABC中BC边上的高). 19.某人沿着山坡走到山顶共走了1000米， 请你再设计一种测量河的宽度的方案， 上升的高度为500米，则山坡的坡度为 并说明设计理由， ,坡角为 20.如图，一艘轮船位于灯塔O的南偏东45° 方向，距离灯塔40√2海里的点P处，轮 船沿正北方向航行一段时间后到达位于灯 塔O的北偏东30°方向上的点Q处，此时灯 塔O位于轮船Q的南偏西 方向上， 且距离点Q 海里。 42 数学·期末复习 ●● 23.某校数学社团利用自制 (1)当∠AOD=60°时，求镜头A到支撑 测角仪和皮尺测量河宽 31 杆的距离： (把河两岸看作平行线).如图，他们在河 (2)当镜头A旋转至最低点时，求点B 岸MN一侧的A处，观察到对岸P点处 到地面的距离。 有一棵树，测得∠PAN=31°，向前走45m (参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0. 到达B处，测得∠PBN=45°.（参考数 643,tan50°≈1.192，√3≈1.73.结果保 据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan319 留一位小数) ≈0.60,2≈1.41) (1)求河的宽度（精确到1m): (2)据河道建造碑文记载，该河实际宽70 地面 m.请计算本次测量结果的误差，并提 图1 图2 出一条减小误差的合理化建议. 24.随着科技发展，监控系统成为安防系统 中应用最多的系统之一.如图1是某小 区门口的门禁识别设备，摄像头机身可 以通过连接点进行上下旋转.图2是其 结构示意图，摄像头机身AB=20cm,点 O为旋转轴心，且点O为AB的中点， AB绕点O上下旋转过程中，∠AOD不 小于40°，支撑杆OD垂直于水平地面， OD=68 cm. 43 宝典创练|数学·九年级全册(R) ●●· 三、满分冲刺 31.如图，两座建筑物AB,DC的水平距离 25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A, BC为30米，从点A测得点D的俯角为 ∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列 30°，测得点C的俯角为45°，求这两座建 结论中不正确的是 筑物的高度.（结果保留根号） ( A.a2+b2=c2 B.sin B=cos A C.tan A=4 D.sinA+cos A=1 B 第25题图 第26题图 第27题图 26.如图，菱形ABCD的周长为20cm, Sm∠BAD=,DELAB-于点E下列 结论中：①S菱形AxD=15cm2;②BE= 1cm;③AC=3BD.正确的个数为 ( 32.如图，一条光纤线路从A地到B地需要 A.0个B.1个 C.2个D.3个 经过C地，图中AC=40千米，∠CAB= 27.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格 30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从 A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线 点，则cosC= 路.（结果保留根号） A 2 .2 (1)求新铺设的光纤线路AB的长度： 2 (2)问整改后从A地到B地的光纤线路 28.如图，把∠AOB放置在正方形网格中， 比原来缩短了多少千米 则cos∠AOB的值为 ( A B.2 c 3 ... B 第28题图 第29题图 第30题图 29.如图，每个方格均为正方形，线段AB与 CD相交于点P,则sin∠BPD的值为 30.如图，边长为1的小正方形构成的网格 中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上， 则∠AED的余弦值等于 44 数学·期末复习 0●● 33.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 34.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以 D是边AB的中点，BE⊥CD,垂足为点 直角边AB为直径的⊙O交AC于点D, E.已知AC=15,os∠A=号 在AC上截取AE=AB,连接BE交⊙O 于点F (1)求线段CD的长； (2)求sin∠DBE的值. a)求证：∠EBC-∠BAC, (2)若⊙O的半径长r=5,tan∠CBE= 2求CE的长。 45