第28章 锐角三角函数 本章数学核心素养-【宝典训练】2024-2025学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

数学·九年级·全册() 本章数学核心素养 1.(数学文化)比萨 2.(跨学科)如图是一个小孩荡 斜塔是意大利的 秋千OB的示意图，秋千链子 著名建筑，其示意 的长度为2米，当秋千向两边 图如图所示，设塔垂直中心 摆动时，摆角∠BOD恰好为 B 顶中心点为点B, 塔身中心线 60°，且两边的摆动角度相同， 塔身中心线AB 则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的 与垂直中心线AC 高度之差AC是 ( 的夹角为∠A,过点B向垂直中心线AC引垂 A.(2-√3)米 线，垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD 的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角 C.(2-√2)米 函数值，进而可求∠A的大小.下列关系式正 米 确的是 ( AnA-阳 B.om A C.tan A= AD BD D.sin A-AB 3.(数学文化)图1是2002年世界数学大会4.（探究活动）如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪 (ICM)的会徽，其主体图案（如图2）是由四个 一个自动扶梯比较陡？ 全等的直角三角形组成的四边形.若∠ABC= 13m a,AB=1,则CD的长为 4 m 8m ICM 2002 图1 图2 A.sin a-cos a B. 1 sin a cos a D.1 1 C.cos a-sin a cos a sin a )218e 第二十八章锐角三角函数 5.(RJ九下P84改编)某型号飞机的机翼形状如6.（数学文化）如图，一段长为1500m的水渠， 图所示，根据图中数据计算AB的长为 其截面为等腰梯形ABCD,渠深AE=0.8m, 底AB=1.2m,坡角为45°，那么该水渠最多能 (结果保留根号). 蓄水多少立方米？ D 45 3.4m 灯30 5m 7.(材料阅读)阅读下面材料 8.(RJ九下P85改编)如图，在矩形ABCD中， 小敏遇到这样一个问题：已知：为锐角，且 AB=6,BC=8,点E是对角线BD上的一点， tana=2求an2a的值。小敏根据以往的学 把△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE,且 点F恰好落在AD边上，连接BF. 习经验想到了平时解过下列问题：在Rt△ABC (1)求△DEF的周长： 中，∠C-90°，∠ABC=30°，求tan15°的值.具 (2)求sin∠BFE的值. 体做法是如图1，延长CB到D,使得BD AB,连接AD.由做法可知∠D=15°.在 Rt△ABC中，设AC=x,由tan∠ABC am30-8C得BC=3,又由∠ABC=30。 得AB=2.x,所以DC=BC+BD=BC+AB (5+2).x.在Ri△ACD中，tan15°=tanD AC_ x一=2一3，小敏根据锐角三角函 CD(3+2)x 数及三角形有关的学习经验，先画出一个含锐 角a的直角三角形：如图2，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠B=a,她通过独立思考及与同学 进行交流、讨论后，形成了构造2α角的几种方 法，你是否可以通过上面问题的解决得到一些 启发，请聪明的你帮助小敏求tan2a的值. )219e参考答案 :AD为∠BAC的平分线，∠CAB=60, ·∠B=90-60°=30°.在Rt△ABC中， 2.8(m).则S.m=号(AB+CD)×AE=.6(平方米) :AC=6,an∠BAC=A BC AC 故该水渠最多能蓄水1.6×1500=2400（立方米）. =tn60°，co5∠BAC= AB 7.解：在∠BAC的内部作∠BAD=∠B=a,交BC于D,如答图 cos60°，.BC=63,AB=12. 所示， 9.解：在直角三角形ABC中，“提=是BC= 则AD=BD,∠ADC=∠B+∠BAD=2a.设AD=BD=a. 3 在Rt△ABD中，：∠ADB=26,6°，tan26,6=0.50, 在R△ABC中，：me-C-号B=2AC ÷部=0.5BD=2AB 设AC=b,则BC=2b,,∴.CD=2b一4， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC+CD BD-BC-=CD=200,∴2AB-亭AB=200. AD,即6+(2b-a)=a,解得b=5a, 4 解得AB=300米，∴.小山岗的高度为300米. AC 10.解：如答图，过D点作DE⊥AB. CD-号a∴an2a=m∠ADC-8S-言 则易得四边形BCDE为矩形， 8.解：(1)在矩形ABCD中，∠BAD=90°， .DE=BC=32.6 m.BE=CD. AD=BC. 在Rt△ADE中， AB=6,BC=8,∴.AD=8, :∠ADE=a=3512'. ,在Rt△ABD中，根据勾股定理， DE=32.6m, 得BD=10.根据折叠， ∴.AE=DE·tana≈23m: 可知AF=AB=6,BE=FE 答图 在R△ABC中， 答图 .DF=8-6=2, :∠ACB=B=4324,BC=32.6m, .△DEF的周长=EF+DF+DE=BD+DF=12. .AB=BC.tan3≈31m, (2)如答图，过点F作FH⊥BD于点H.△BFD的面积= DC=BE=AB-AE=31-23=8 m. DF·AB=BD·FH,FH=号.在R△ABF中， 即两座建筑物的高度分别为31m,8m ∠BAF=90°，AF=AB=6,∴根据勾股定理，得BF= 11.解：(1)如答图，作CD⊥AB, 则CD=AC·sin∠CAD=20(千米)， 6+6=62.BE=FE..∠BFE=∠FBE. AD=AC·cms∠CAD=20√3（千米）， FH an∠CBA=20(千米). CD 答图 '.sin∠BFE=sin∠FBE BD= BF 62101 ∴.AB=AD+DB=203+20=20(3+1)(千米)， 则新铺设的光纤线路AB的长度为20(W3+1)千米 第二十九章 投影与视图 (2),在Rt△BCD中，BC=√CD+BD=202千米，所 第85课时投影及分类 新课学习 以AC+CB-AB=20(1+√2一3)千米. 平行垂直 则整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了20(1+ 核心讲练 2一3)千米. 1.A2.B3.A4.A 12.解：如答图，过点C作CE⊥BA交BA延长线于点E,过点 5.解：正投影如客图所示. D作DF⊥BA交BA延长线于点F,由图可知，CE=DF=5 m,CD=EF=3.4m,∠ECA=45,∠BDF=30. 在R△CEA中，：∠BCA=45,O∠BCA-票， 5题答图6题答图 ..EA=CE=5 m.CA= c0s45≈7.07(m: 5 6.解：正投影如答图所示. 在Rt△BDF中， 7.解：①铁丝平行于投影面，正投影是线段，与原铁丝的长度相等： ia∠DF-器、 ②铁丝倾斜于投影面，正投影是线段，比原铁丝的长度短； 45 3.4m ③铁丝垂直于投影面，正投影是点。 .DB- cos30≈5,77(m), 8.解：①纸板平行于投影面，正投影是正方形，与原来的正方形 面积相等： BF=BD≈2.89m. ②纸板倾斜于投影面，正投影是长方形，比原来正方形的面 积小： AB+AE=EF+BF. ③纸板垂直于投影面，正投影是线段。 .AB=3.4+2.89-5=1.29(m). 答图 过关检测 答：AC,BD和AB的长度分别约为7.07米5.77米，1,29米 9.①©③④10.D11.D12.C13.7.2m 本章数学核心素养 第86课时三视图 1.A2.A3.A 核心讲练 4.解：由图形甲中数据可得，na=音-名：由图形乙中数据 1.解：三视图如答图所示 可得，另一直角边为：√13-5=12(m)an=2: 5 因为anB一2<tana之，故甲自动扶梯比较陡。 5 左视图 5(5-1.6)m 俯视围 6.解：由题意可得，∠AED=90°.∠EDA=45,则DE=AE 答图 0.8m. 2.解：三视图如答图所示. :四边形ABCD是等腰梯形，.CD=1,2十0.8+0.8= 39