专题07 解一元一次方程（六大类型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题07 解一元一次方程（六大类型） 重难点题型归纳 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【典例1】解下列方程： (1)； (2) 【变式1-1】解方程： (1)； (2)． 【变式1-2】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-3】解方程． (1)； (2)． 【变式1-4】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【典例2】解方程： (1)； (2)． 【变式2-1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 【变式2-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【变式2-4】解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【典例3】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【变式3-1】定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 【变式3-2】定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，c，d都有，应用新运算计算： (1)求的值； (2)如果，求x的值． 【变式3-3】定义一种新运算“”：．例如：，． (1)计算的值； (2)已知，求m的值． 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【典例4】下面是小严同学错题本上的一道题： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)以上解题过程中，小严从第______步开始出错误； (2)请计算出该方程的正确结果． 【变式4-1】下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； （2）第________步开始出现错误，这一步的错误的原因是________； 任务二：请直接写出该方程的正确解：________． 【变式4-2】以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【变式4-3】（1）解方程：． （2）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．…………………………………第一步 去括号，得．……………………………………………第二步 移项，得．………………………………………………第三步 合并同类项，得．……………………………………………………第四步 任务 ①第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，错误的原因是________； ③该方程的正确解为________． 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【典例5】阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程： 设①， 则②， 由得，即故． 根据上述提供的方法，把①，②化为分数． 【变式5-1】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【变式5-2】先阅读下面材料，再完成任务： 【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而 所以，化简得，解得．所以 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程 【变式5-3】方程思想，解决问题 【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【典例6】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【变式6-1】满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6-2】根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为： 或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或， (1)解方程：； (2)已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解一元一次方程（六大类型） 重难点题型归纳 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】 【典例1】解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式1-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解； （2）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解； 【详解】（1）移项、得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）移项，得 合并同类项，得 系数化成1，得． 【变式1-2】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先移项合并同类项，再将未知数系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 【变式1-3】解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程； （1）先去分母，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式1-4】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】 【典例2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为，得 ； （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 【变式2-1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （3）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （4）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 【变式2-2】解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．． 【详解】（1）解：， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据移项，合并同类项，化系数为1计算即可； （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （4）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解： 移项合并得：， 解得：； （2） 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1：； （3） 去分母得：， 移项合并得：， 解得： （4） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式2-4】解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．． 【详解】（1）解：， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型3 新定义运算-解一元一次方程】 【典例3】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)48； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，理解定义的新运算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【变式3-1】定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则，将和代入计算即可； （2）根据新定义的运算规则，将和x代入可得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式3-2】定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，c，d都有，应用新运算计算： (1)求的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新运算进行变形，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）先根据新运算进行变形，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． 【变式3-3】定义一种新运算“”：．例如：，． (1)计算的值； (2)已知，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义进行求解即可； （2）根据题目所给的新定义建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， ∴， 解得． 【题型4 判断解一元一次方程的过程】 【典例4】下面是小严同学错题本上的一道题： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)以上解题过程中，小严从第______步开始出错误； (2)请计算出该方程的正确结果． 【答案】(1)三； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）第三步开始出现错误，原因是移项时，没有变号； （2）按照解一元一次方程的步骤，进行求解即可． 熟练掌握等式的基本性质，解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【详解】（1）解：第三步移项时，没有变号，则开始出现错误， 故答案为：三； （2） 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化1，得： 【变式4-1】下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； （2）第________步开始出现错误，这一步的错误的原因是________； 任务二：请直接写出该方程的正确解：________． 【答案】任务一：（1）等式的性质2；乘法分配律；（2）三；移项没变号；任务二： 【分析】任务一：（1）根据等式的性质和乘法分配律判断即可； （2）根据等式的性质即可判断解方程的对错； 任务二：根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1）求解即可． 本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】解：（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；第二步是依据乘法的分配律进行变形的， 故答案为：等式的性质2，乘法的分配律； （2）第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号， 正确解法为： 解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 故答案为：三，移项没变号，． 【变式4-2】以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 【变式4-3】（1）解方程：． （2）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．…………………………………第一步 去括号，得．……………………………………………第二步 移项，得．………………………………………………第三步 合并同类项，得．……………………………………………………第四步 任务 ①第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，错误的原因是________； ③该方程的正确解为________． 【答案】（1）；（2）①等式的基本性质；②二，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③ 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可． 【详解】解：（1）去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程两边同除以4，得． （2）①第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号； 故答案为：二，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号； ③去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． 【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【典例5】阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程： 设①， 则②， 由得，即故． 根据上述提供的方法，把①，②化为分数． 【答案】①；② 【分析】此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，一元一次方程的解法．仿照题中给出的例子进行运算即可求解． 【详解】解：设①，则② 则由得：， 解得：， 故； 设①，则② 则由得：， 解得：， 故； 故． 【变式5-1】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 【变式5-2】先阅读下面材料，再完成任务： 【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而 所以，化简得，解得．所以 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键． （1）设①，则②，得出，再求出x即可； （2）设，则，则，再求出x即可． 【详解】（1）解：设①，则②， ，得， 解得：， 即， 故答案为：； （2）解：设，则 而 ∴ 解得 ∴． 【变式5-3】方程思想，解决问题 【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设①，则②，②-①得出9x=7，再求出x即可； （2）设①，则②，②-①得出99y=16，再求出y即可． 【详解】（1）设①，则②， ②-①，得9x=7， 解得：x=， 即， 故答案为：； （2）设①，则②， ②-①，得99y=16， 解得：y=， 即． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 【题型6 含绝对值的一元一次方程】 【典例6】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程 解：当时，方程可化为： ，符合题意 当<0时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为：或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【答案】或=-2 【分析】按照所给解法，结合绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：当时，方程可化为： 符合题意 当<1时，方程可化为： -2=4 =-2符合题意 所以原方程的解为：或=-2． 【点睛】本题考查了绝对值方程，解决可化为一元一次方程的绝对值方程，其最基本的套路是：将方程中的绝对值符号去掉，转化为括号即可，不过，括号里面的代数式，视原绝对值里面代数式的符号而定：如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数． 【变式6-1】满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案. 【详解】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1. 故选：C. 【点睛】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的值 【变式6-2】根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为： 或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或， (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$