专题06 整式化简求值经典题型（九大题型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题06 整式求值经典题型（九大题型） 重难点题型归纳 【题型1 直接代入】 【题型2 整体代入-配系数】 【题型3整体代入-奇次项为相反数】 【题型4 整体构造代入】 【题型5不含无关】 【题型6 化简求值】 【题型7 绝对值化简求值】 【题型8 非负性求值】 【题型9 定义求值】 【题型1 直接代入】 【典例1】根据下列a，b的值，分别求代数式的值． (1)， (2)， 【变式1-1】当x=-1时，代数式x2+2x+1的值是（　　） A．-2 B．-1 C．0 D．4 【变式1-2】当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【变式1-3】已知，，且，则（ ） A．9 B．1 C．9或1 D．以上都不是 【题型2 整体代入-配系数】 【典例2】已知，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．9 D．12 【变式2-1】若，则的值为 ． 【变式2-2】已知，则= ． 【变式2-3】若，则代数式的值是 ． 【题型3整体代入-奇次项为相反数】 【典例3】当时，代数式的值为12，则当时，求代数式的值． 【变式3-1】当时，代数式的值是8，则当时，这个代数式的值是（   ） A． B．8 C．9 D． 【变式3-2】当时，代数式的值是，当时，代数式的值为 ． 【题型4 整体构造代入】 【典例4】【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【变式4-1】若，则的值为 ． 【变式4-2】已知，，则的值为 ． 【变式4-3】阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，求将合并的结果． （2）已知，求代数式的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【题型5不含无关】 【典例5】已知，是关于x，y的多项式，其中m，n为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与x的取值无关，求代数式的值． 【变式5-1】若代数式的值与字母的取值无关，试求、的值． 【变式5-2】已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【变式5-3】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【题型6 化简求值】 【典例6】化简求值：，其中． (1)求a，b的值 (2)化简并求出代数式的值． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【变式6-3】先化简，再求值，其中． 【题型7 绝对值化简求值】 【典例7】若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： (1)判断下列各式的符号： 0； 0； 0 (2)化简 【变式7-1】如图所示，有理数a，b在数轴上，完成下列问题． (1)（填，或） (2)化简： 【变式7-2】有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： _______0，_______0，_______0． (2)化简：． 【变式7-3】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求 ； (2)当时，求 ； (3)已知，是有理数，当时， ； (4)已知，是有理数，当时，试求的值． 【题型8 非负性求值】 【典例8】已知，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．3 【变式8-1】若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式8-2】已知则的值为（   ） A．6 B． C．5 D． 【变式8-3】若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2 【题型9 定义求值】 【典例9】对于任意式子，定义． (1)求的值； (2)先化简式子，再求当时，的值． 【变式9-1】定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【变式9-2】定义：对于任意相邻负整数a，b，规定：． (1)理解定义： 例：；练习：； (2)探究规律： 某数学兴趣小组发现：可将转换为减法．你发现了吗？是什么？（温馨提示：你可再举几个例子试试，然后用含a与b的代数式将转换为减法．） (3)应用规律：运用发现的规律求的值． 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【分析】此题主要考查了求代数式的值，首先由已知得，再将转化为，然后整体代入即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【题型3整体代入-奇次项为相反数】 【典例3】当时，代数式的值为12，则当时，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，掌握整体代入的方法是解决问题的关键． 将代入代数式值为12，列出关系式，将代入所求式子，把得出的代数式代入计算即可求出值． 【详解】解：将代入得： ，即， 当时， ． 【变式3-1】当时，代数式的值是8，则当时，这个代数式的值是（   ） A． B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的求值．熟练掌握整体代入方法是解题关键． 将代数式中得：，再将代入中得：，之后整体代入计算即可． 【详解】∵当时，代数式的值是8， ∴， ∴．     当时， ． 故选：A． 【变式3-2】当时，代数式的值是，当时，代数式的值为 ． 【答案】2018． 【分析】由已知得出，即，代入到时所得的代数式计算可得． 【详解】当时，代数式为，即， 则时，代数式为． 故答案为2018． 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型4 整体构造代入】 【典例4】【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用合并同类项计算即可． （2）变形，代入计算即可． （3）把已知左右分别相加，计算出，化简被求代数式，计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）∵， ∴ ． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式4-1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把所求式子去括号，然后合并同类项，再求出，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【变式4-2】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，去括号，将代数式化简为，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式4-3】阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，求将合并的结果． （2）已知，求代数式的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）8；（3）6 【分析】本题考查了整式的加减运算与化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键． （1）根据合并同类项法则合并即可． （2）将代数式变形，然后把已知条件的值代入计算即可． （3）把原式去括号整理后，变为，然后整体代入求值可． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ． （3）解：，，， ． 【题型5不含无关】 【典例5】已知，是关于x，y的多项式，其中m，n为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的加减，整式的化简求值，整式的无关型计算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）将，代入，后，化简，再合并同类项计算，即可解题． （2）先化简，再根据与x的值无关，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当，时，，， 所以． （2）解： ． 因为该结果与字母x的取值无关， 所以，， 解得，， 所以． 【变式5-1】若代数式的值与字母的取值无关，试求、的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先去括号，然后合并同类项求出的结果，再根据的值与字母的取值无关，得到，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， ∴． 【变式5-2】已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的加减，属于基础的代数计算题，难度不大．解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则即可求解； （2）把化为，根据值与x的取值无关得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴． 【变式5-3】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 【题型6 化简求值】 【典例6】化简求值：，其中． (1)求a，b的值 (2)化简并求出代数式的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练运用整式运算法则是解题关键． （1）根据绝对值的非负性即可求解； （2）先去括号，然后和合并同类项，得出最简式后，把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解： ， 当，时， 原式． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．原式去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将字母的值代入计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 当，时， 上式． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】此题主要考查了整式加减中的化简求值，正确合并同类项是解题关键．先去括号，再合并同类项，最后把已知的数值代入求解即可． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 【变式6-3】先化简，再求值，其中． 【答案】；16 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方数及绝对值的非负性．由平方数与绝对值的非负性可求得x与y的值，再化简多项式并代入求值即可． 【详解】解： ， ，且，， ，， ∴，； ∴原式 ． 【题型7 绝对值化简求值】 【典例7】若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： (1)判断下列各式的符号： 0； 0； 0 (2)化简 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查绝对值，有理数大小比较，去括号，合并同类项，解题关键在于结合数轴判断各数的大小． （1）数轴上的数，右边的数总比左边的数大，可得：，，，所以可知：，，． （2）根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其的相反数，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，， ∴，，； （2）解： ． 【变式7-1】如图所示，有理数a，b在数轴上，完成下列问题． (1)（填，或） (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，以及整式的加减运算，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）根据有理数a，b在数轴上的位置，结合有理数的加减法法则求解即可； （2）根据（1）中结果和绝对值的意义化简各绝对值，再进行加减运算． 【详解】（1）解：由数轴得，，且， ∴，，． 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式7-2】有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： _______0，_______0，_______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了由数轴判断式子的正负，化简绝对值，有理数的加减法，根据数轴得出相应字母的正负与大小是解题关键． （1）由数轴可知：，且，从而判断出结果； （2）由，，，化简绝对值求出结果即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，且， ，，， 故答案为：，，； （2），，， ． 【变式7-3】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求 ； (2)当时，求 ； (3)已知，是有理数，当时， ； (4)已知，是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的化简混合运算，代数式求值等．熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接将代入求出答案； （2）直接将代入求出答案； （3）分别根据，和，，分析得出答案； （4）分别利用当，，三个字母中有一个字母小于，其它两个字母大于和当，，都小于，分析得出答案． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：． （2）解：当时，； 故答案为：． （3）解：若，是有理数，当时，分两种情况： 当，时，， 当，时，； ∴当时，当时，的值为或． （4）解：若，是有理数，当时，分两种情况： ①当，，三个字母中有一个字母小于，其它两个字母大于时， ； ②当，，都小于时， ； 综上所述，的所有可能的值为或． 【题型8 非负性求值】 【典例8】已知，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据题意得，，将，代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， 则， 故选：A． 【变式8-1】若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据得，求得，后转化为求代数式的值解答即可． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，求代数式的值，有理数的乘方，有理数的加减法，熟练掌握绝对值的非负性，解方程，有理数的乘方，有理数的加减法是解题的关键． 【变式8-2】已知则的值为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，求出、的值，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 【变式8-3】若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，代数值求值等知识，根据绝对值的非负性质得出，，进而求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【题型9 定义求值】 【典例9】对于任意式子，定义． (1)求的值； (2)先化简式子，再求当时，的值． 【答案】(1) (2)，13 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算求解即可； （2）首先根据新定义运算进行运算化简，然后将代求值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当时， 原式 ． 【变式9-1】定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据所给的新定义结合整式的加减计算法则进行求解即可； （2）根据化简的结果与y的取值无关，得出，求出x的值，然后代入（1）中所求的式子中求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：原式 ， 化简的结果与无关 ， ， 当时，原式． 【变式9-2】定义：对于任意相邻负整数a，b，规定：． (1)理解定义： 例：；练习：； (2)探究规律： 某数学兴趣小组发现：可将转换为减法．你发现了吗？是什么？（温馨提示：你可再举几个例子试试，然后用含a与b的代数式将转换为减法．） (3)应用规律：运用发现的规律求的值． 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，数字类的规律探索： （1）根据新定义求解即可； （2）根据题意可得，（n为正整数）； （3）根据（2）的规律把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，（n为正整数）； （3）解：∵（n为正整数）， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$