第一章 特殊平行四边形(1)期末复习-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

高效课堂定典训练数学九年皴全册（北师大版） 11.解：，AD⊥OB,.∠ADO=90°，，∠AOB=45°，△AOD 90°.：AB=2AE=8,∴AC=√AB-BC=√8-4=45， 为等腰直角三角形，.OA=2√2×2=4，阴影部分面积 -5-专×2E×2反=2x4 Sm-号BC·AC-合X4X4厅=8Vg,△ABC的面 360 积为8 C组 7.D8.B 13.2m-3/5 .解：(1)AO=AE.理由如下：，四边形ABCD是矩形 .∠ADC=∠BAD=90°，AO=DO.DE平分∠ADG 第12课时《圆》热门考点整合应用 .∠CDE=∠ADE=45°，△ADE是等腰直角三角形，∴.AD A组 AE.又，∠ED)=15°，∴.∠AD0=60, 1.C2.B3251201÷x4(3,-1) .△OAD是等边三角形，.AD=AO=DO,.AO=AE B组 (2):△OAD是等边三角形.∴∠DAO=60, 5.解：(1)：ODLAB,AB是⊙O的一条弦： ∴.∠0AE=90°-∠DA0=30°，.AO=AE, ∴.OD垂直平分AB.∴AE=BE,AD=BD. .∠A0E=(180°-30)÷2=75. 又：∠AOD=54°，∠BOD=54, 10.D 11.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CDAB= ÷∠BAD=2∠B0D=27. CD.,CF=AE,,BE=DF,.四边形BFDE是平行四边形. (2):AB=25,AE=AB=5,∴在R△A0E中，0N DELAB,∠DEB=90..四边形BFDE是矩形： (2)四边形ABCD是平行四边形，.AB∥DC,∠DFA= OE+AE.OA=(OA-1)+5..OA=3. ∠FAB.在Rt△BCF中，由勾殷股定理，得BC=√FC+FB= 6.(1)证明：如答图，连接OB,OP 3+T=5,.AD=BC=DF=5,∠DAF=∠DFA. .OA=OB.OP=OP,AP=BP, ·∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB. .△AOP≌△BOP,.PB⊥COB,即PB 12.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，AB=CD, 是⊙O的切线： (2)解：∠PAB=∠PAC-∠CAB=60. AD=BC,∠BAD=∠C,AD∥BC.又：E,F分别为边AB 答图 :PA=PB.∠PBA=∠PAB=60△ABP为等边三角形， CD的中点，AE=是AB,CF=号CD.AE-CF. ∴.AB=PA=5.在Rt△ABC中，AC=2BC,AC=BC+ △ADE≌△CBF(SAS),.DE=BF: A5,.AC=2,.⊙O的半径为1. (2),AD//BC.AG∥DB,.四边形AGBD是平行四边形.四边 C组 形BDF是菱形.∴.BE=DE 7.(1)证明：如答图，连接OD.,AB=AC,OB=OD,,∠ABC E,F分别为边AB,CD的中点，AE-BE,BE-DE ∠ACB,∠ABC■∠ODB..∠ACB=∠ODB,.OD∥AC AE,∠ADE=∠EAD,∠EDB=∠EBD .∠AFD+∠ODF=180.DF是⊙O的切线， '∠EAD+∠EDA+∠EDB+∠EBD=18O, ,∴.∠ODF=90°.∴.∠AFD=90,即DF⊥AC. ∠EDA+∠EDB=90,∠ADB=90,.四边形AGBD是 (2)解：如答图，连接OE.由1)知∠DF℃=90 矩形 又∠CDF=22.5,.∠C=67.5,∠A= 课后作业 180°-2∠C=45.则∠A(0E=90°，Sm= 1.B2.A3.B4.A5.246.357./108.59.4.8 360 2 ×4×4=4x一8 10.证明：四边形ABCD是矩形，.∠C=90°，AD=BC,AD∥ BC,.∠ADF=∠DFC.'BC=DE,.DE=AD.FD=CE 期末抢分攻略答案 .△ADF2△DEC(SAS),∴.∠AFD=∠C=90',.AF⊥DE 11.(1)证明：”四边形ABCD是菱形， .AB∥CD,AB=CD.,DE=CD,∴.AB=DE, 九年级上册 ,四边形ABDE是平行四边形，AE=BD: 第一章特殊平行四边形(1) (2)解：由(1)可知，四边形ABDE是平行四边形， ∴.AE∥BD..∠ODC=∠E=50. 课堂练习 ,四边形ABD是菱形，.AC⊥BD,.∠D=90 1.C2.D3.(1)16(2)2420(3)35°55 .∠DC0=90°-∠0DC=90°-50°=40. 4.证明：：四边形ABCD是菱形，.AB=CD,AB∥CD, 12.(1)证明：：AD∥BC,MN是对角线BD的垂直平分线， ∴∠BAC=∠DCA.AE=CF,∴AE+EF=CF+EF.∴.AF= ∴∠DMO=∠BNO,OB=OD,MN⊥BD.∠DMO= CE.∴.△ABF2△CDE(SAS),∴.∠BFA=∠DEC.∴.ED∥BF ∠BNO,∠MOD=∠NOB,OD=OB,.△MOD≌△NOB 5.C (AAS),.OM=ON.又OB=OD,MN⊥BD,∴四边形 6.(1)证明：E为AB的中点，AB=2AE,,AB=2CD,.2AE= BNDM是菱形： 2CD,.AE=CD.,AB∥CD,,四边形AECD是平行四边形， (2)解：四边形BNDM是菱形，BD=24,MN=10,.(OB ∠DCA=∠BAC.'AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC, ∠DAC=∠DCA..DA=DC,∴四边形AECD为菱形： 是BD=12,OM=是MN=6,由勾股定理，得BM= (2)解：，AE=CE=DC=4,AE=BE=CE=4.:∠CEB /Of+OB=√5+12=13，.4BM=4×13=52, 60°，∴.△BCE是等边三角形，，∴.∠BCE=60°，BC=BE=4. .菱形BNDM的周长为52. :∠ACE=∠CAE.∴.∠CEB=∠ACE+∠CAE=2∠ACE= 13.(1)证明：AF∥BC,.∠AFE=∠DCE.:点E为AD的 60°，.∠ACE=30°，.∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+60°= 中点，AE=DE 50 ∠AFE=∠DCE, BE=EC=CF=BF,四边形BECF是菱形.：∠A 在△AEF和△DEC中，∠AEF=∠DEC, 45,∠ACB=90°.∴.∠EBC=45.:BE=EC.∴.∠ECB AE-DE, ∠EBC=45,.∠BEC=90°，∴.四边形BECF是正方形. .△AEF≌△DEC(AAS),.AF=CD.AF=BD,.CD= 第二章一元二次方程 BD..D是BC的中点： 课堂练习 (2)解：若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下： 1.B2.A3.20254.B5.-1 △AEF≌△DC,∴.AFCD.AF=BD,CD-BD.'AF∥ 6.(1)证明：△=k一4×1×(-6)=k+24 BD.AF=BD,∴.四边形AFBD是平行四边形.：AB=AC,BD= k≥0，∴.4=k+24>0: CD,∴∠ADB=90.∴.平行四边形AFBD是矩形. 故对于任意实数k,方程有两个不相等的实数根： 14.证明：(1)根据题意，得CD=41cm,AE=2tcm.∠B= (2)解：把x=2代人方程，得4+2k一6=0， 90,∠A=60,∠C=30,又：DF1BC.DF=CD .k=1,.x+x-6=0,.x=-3,x4=2, 21cm..AE=DFDF⊥BC,∠B=90'.∴AE∥DF,.四 ,方程的另一个根为一3. 7.C8.B 边形AEFD为平行四边形 9,解：(1)(2.x-1)(x-1)=0, 解：(2)①10②7.5 2x-1=0或x-1=0, 第一章特殊平行四边形(2) 课堂练习 解得=之=1 1.B2.C3.64.33-3 (2),x(x+3)=4.x+12, 5.(1)证明：AB∥DC,·∠OAB=∠DCA.AC平分∠DAB, .x(.x+3)-4(x+3)=0 ∴∠OAB=∠DAC.∴∠DCA=∠DAC,∴.CD=AD=AB. .(x-4)(x十3)=0， ,AB∥CD..四边形ABCD是平行四边形.，AB=AD,.四边 x-4=0或x十3=0. 形ABCD是菱形： 解得x=4,=一3. (2)解：，四边形ABCD是菱形，∴.OM=(OC,BD⊥AC 10.B11.6-212.3-113.A14.C 15.-6,-8或6.8 CELAB.OE-OA-OC.BD-2.0B-7BD-1. 16.解：(1)设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x 在R△AOB中，AB=5,OB=1,∴.OA=AB-OB= 根据题意，得1000(1十x)=1440, 解得=0.2，=一2.2（不合题意，舍去）. (5)-1=2,.0E=0A=2. 答：土豆平均亩产量的年增长率为20%： 6.A7.C8.C (2)设增加土豆种植面积▣亩.根据题意，得 9.证明：：四边形ABCD是正方形.∴∠B=∠DAB.AB=AD, (100+a)(1200-10a)=1200×100. 在△ABE和△DAF中，'BE=AF,∴.△ABE≌△DAF(SAS), 解得a1=0(不合题意，舍去)，a=20. .∠BAE=∠ADF. 答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆 10.B11.A 种植的总成本保持不变， 12.LD证明：AB=AC,AD平分∠BAC∠BAD=立∠BAC, 17.解：(1)5001一40001十10000 (2)令500r2-40001+10000=50. AD⊥BC.,AE是△ABC的外角平分线， 解得1=3,1：=5（舍去），则9+3=12 ∴∠BAE-7∠BAR'∠BAC+∠BAF-I8.∠BAD+ ,轮船开始受台风影响的时刻为12：00 ∠BAE=90°，即∠DAE=90°，，.AD⊥AE.,AD L BC, 课后作业 .AE∥BC,又BE∥AD,∠DAE=90,.四边形ADBE 1.D2.C3.D4.D5.66.≥0且k≠2 7.8100(1-x)°=76008.89.1 是矩形： (2)解：当∠BAC=90°时，四边形ADBE是正方形.理由如 10.解：(1)a=2,b=一3，c=-1, .△=i-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0, 下：AB=AC,AD平分∠BAC,∠BAC=90°，.∠AC= ∠C=∠BAD=∠CAD=45,∴.AD=BD.又：四边形ADBE 六方程有两个不相等的实数根，“r=3生☑ 是矩形，矩形ADBE为正方形。 课后作业 斯-3厘.=3+厘 1.B2.D3.C4.A5.C6.D7.60°8.129.22.5 (2)(2y-5)2-4(3y-1)-0, 10.211.25+2 .[(2y-5)+2(3y-1)][(2y-5)-2(3y-1)]=0, 12.解：AF=BF十EF,理由如下：，四边形ABCD是正方形， .(8y-7)(4y+3)=0,.8y-7=0或4y+3=0, AD=AB,∠BAD=90°.DE⊥AG,∠DG=∠AED 7 90..∠ADE+∠DAE=90.又∠BAF+∠DAE=∠BAD=90, ,∠ADE=∠BAF,,BF∥DE,.∠AFB=∠DEG=∠AED. 11.(1)解：把x=2代入x2-2mx+2m-2=0中，得2-4m+ ∠AFB=∠AED, 2m一2=0，解得m=1: 在△ABF和△DAE中，∠BAF=∠ADE, (2)证明：由题意，得A=(一2m)一4(2m一2)=4m一8m十 AB-AD. 8=4(m一1)≥0，∴无论m取什么值，该方程总有两个实 ·△ABF≌△DAE(AAS). 数根 .BF=AE..AF=AE+EF...AF=BF+EF. 12.解：设AB和AD减少的长度为x米，根据题意，得(120 13.证明：EF垂直平分BC,∴.BE=EC,BF=CF.CF=BE, x)(100-r)=6300, 51宝典训练」数学·九年级全册（北师大版） 九年级上册 第一章 特殊平行四边形(1) 。≥课堂练习 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AC平分 考点1菱形的性质 ∠DAB,AB=2CD,E为AB的中点，连接CE 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (1)求证：四边形AECD为 菱形： A,对角相等 B.对边相等 (2)若∠CEB=60°，DC=4,求△ABC的面积. C.对角线垂直 D.对角线互相平分 2.如图，在菱形ABCD中，∠C= 80°，则∠ABD的度数为() A.80° B.70 C.60° D.50° 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O (1)若AB=4,则菱形的周长是 (2)若AC=6,BD=8,则菱形的面积是 周长是； (3)若∠ABC=70°，则∠ABD ∠DAC= 4.如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC上 的两点，且AE=CF.求证：ED∥BF. 考点3矩形的性质 7.如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°， 两条对角线的长度的和为36cm,则这个矩形 的一条较短边的长度为( 考点2菱形的判定 A.18 cm B.15 cm 5.如图，在□ABCD中，对角线 C.5 cm D.9 cm AC.BD相交于点O,添加下 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 列条件不能判定□ABCD为 90°，AC=3,BC=4.点D是 菱形的是 ( AB边上的动点，过点D作 A.AC⊥BD B.AB=BC 边AC,BC垂线，垂足分别为E,F.连接EF, C.AC=BD D.∠1=∠2 则EF的最小值为 ( A.3 B.2.4 C.4 D.2.5 2 数学·期末复习 9.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC, 12.如图，已知在□ABCD中，点E,F分别为 ∠EDO=15. AB,CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交 (1)试比较线段AO与AE的 CB的延长线于点G 大小，并说明理由： (1)求证：DE=BF: (2)连接OE,求∠AOE的大小 (2)若四边形DEBF是菱形， 求证：四边形AGBD是矩形. 考点4矩形的判定 10.下列说法不正确的是 A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D.一个角是直角的四边形是矩形 11.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 DE⊥AB于点E,点F在边CD上，CF 课后作业 AE,连接AF,BF 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是() (1)求证：四边形BFDE是 A.对角相等 B.对角线相等 矩形： C.对边相等 D.对角线互相平分 (2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平 2.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 分∠DAB. 点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC-8,则四边 形CODE的周长为 A.16 B.8 C.12 D.10 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD= 8,AH⊥CD于点H,则AH的长为( A.4.5 B.4.8 C.5 D.6 3 宝典训练|数学·九年级全册（北师大版） 0 4.在平面直角坐标系中，菱形ABCO的位置如 10.如图，矩形ABCD中，点E,F分别在BC, 图所示，已知C(4,3),点P是对角线OB上的 DE上，DF=CE,BC=DE.求证：AF⊥DE. -个动点，D(0,)连接CD,DP,CP.当 △CPD周长最小时，点P的坐标为( A.(3,1) B3,引 c(停 D.(3,2) 5.如图，菱形ABCD的边长是5，对角线AC, BD相交于点O,若BD=6,则菱形ABCD的 面积是 (第5题) (第6题) 6.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于 点O,过点O作OE⊥BD,交CD于点E,连接 11.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,延 BE.若∠COE=20°，则∠ABD=度. 长CD至点E,使DE=CD,连接AE. 7.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)， (1)求证：AE=BD: 则CE的长是 (2)若∠E=50°，求∠DCO 的度数 (第7题) (第8题) 8.如图，在矩形ABCD中，AB-8,BC-4,分别以 点A,C为圆心，以大于2AC的长为半径画弧， 两弧相交于点E和F,作直线EF分别与CD, AC,AB交于点M,O.N,则CM的长是 9.如图，菱形纸片ABCD,AB 16,∠B=60°，将该菱形纸片 折叠，使点B恰好落在CD边官 的中点B'处，折痕与边BC,BA分别交于点 M,N,则CM的长为 数学·期末复习 ●●0 12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线 13.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是 BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于 AD的中点，过点A作BC的平行线交CE 点M,N. 的延长线于点F,且AF=BD,连接BF, (1)求证：四边形BNDM是 0 (1)求证：D是BC的中点： 菱形： (2)若AB-AC,试判断四边 (2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的 形AFBD的形状，并证明 周长 你的结论。 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm, ∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以 4cm's的速度向点A匀速运动，同时点E从 点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个 点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是 ts(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连 接DE,EF (1)求证：四边形AEFD为平 行四边形： (2)①当1=s时，四边形AEFD为菱形： ②当t= s时，四边形DEBF为矩形. 5