3.2 圆的对称性-【宝典训练】2024-2025学年九年级全册数学高效课堂(北师大版)

数学·期末复习 9.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC, 12.如图，已知在□ABCD中，点E,F分别为 ∠EDO=15. AB,CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交 (1)试比较线段AO与AE的 CB的延长线于点G 大小，并说明理由： (1)求证：DE=BF: (2)连接OE,求∠AOE的大小 (2)若四边形DEBF是菱形， 求证：四边形AGBD是矩形. 考点4矩形的判定 10.下列说法不正确的是 A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D.一个角是直角的四边形是矩形 11.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 DE⊥AB于点E,点F在边CD上，CF 课后作业 AE,连接AF,BF 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是() (1)求证：四边形BFDE是 A.对角相等 B.对角线相等 矩形： C.对边相等 D.对角线互相平分 (2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平 2.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 分∠DAB. 点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC-8,则四边 形CODE的周长为 A.16 B.8 C.12 D.10 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD= 8,AH⊥CD于点H,则AH的长为( A.4.5 B.4.8 C.5 D.6 3 宝典训练|数学·九年级全册（北师大版） 0 4.在平面直角坐标系中，菱形ABCO的位置如 10.如图，矩形ABCD中，点E,F分别在BC, 图所示，已知C(4,3),点P是对角线OB上的 DE上，DF=CE,BC=DE.求证：AF⊥DE. -个动点，D(0,)连接CD,DP,CP.当 △CPD周长最小时，点P的坐标为( A.(3,1) B3,引 c(停 D.(3,2) 5.如图，菱形ABCD的边长是5，对角线AC, BD相交于点O,若BD=6,则菱形ABCD的 面积是 (第5题) (第6题) 6.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于 点O,过点O作OE⊥BD,交CD于点E,连接 11.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,延 BE.若∠COE=20°，则∠ABD=度. 长CD至点E,使DE=CD,连接AE. 7.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)， (1)求证：AE=BD: 则CE的长是 (2)若∠E=50°，求∠DCO 的度数 (第7题) (第8题) 8.如图，在矩形ABCD中，AB-8,BC-4,分别以 点A,C为圆心，以大于2AC的长为半径画弧， 两弧相交于点E和F,作直线EF分别与CD, AC,AB交于点M,O.N,则CM的长是 9.如图，菱形纸片ABCD,AB 16,∠B=60°，将该菱形纸片 折叠，使点B恰好落在CD边官 的中点B'处，折痕与边BC,BA分别交于点 M,N,则CM的长为 数学·期末复习 ●●0 12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线 13.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是 BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于 AD的中点，过点A作BC的平行线交CE 点M,N. 的延长线于点F,且AF=BD,连接BF, (1)求证：四边形BNDM是 0 (1)求证：D是BC的中点： 菱形： (2)若AB-AC,试判断四边 (2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的 形AFBD的形状，并证明 周长 你的结论。 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm, ∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以 4cm's的速度向点A匀速运动，同时点E从 点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个 点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是 ts(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连 接DE,EF (1)求证：四边形AEFD为平 行四边形： (2)①当1=s时，四边形AEFD为菱形： ②当t= s时，四边形DEBF为矩形. 5 宝典训练|数学·九年级全册(北师大版) 第一章特殊平行四边形(2) 课堂练习 考点6 正方形的性质 6.矩形、菱形、正方形都具有的性质是() 考点5 直角三角形斜边上的中线性质 A.对角线互相平分 1.如图，在 △ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 点D是AB B.对角线相等 的中点， CD=2， ，则AB的长是 () A.2 B.4 C.8 D.10 C.每一条对角线平分一组对角 C D.对角线互相垂直 $$B _ { 1 }$$ 7.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 D A D B C A OABC 的顶点A的坐标为 \left(1，-2\right)， ，则点C的 (第1题) (第2题) 坐标为 2.如图，在 Rt△ABC 中， CD 是斜边AB上的中 A.(1，2) 线，若 $$\angle A = 2 5 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠BDC= () C B.(2，3) $$A . 6 0 ^ { \circ }$$ $$B . 5 5 ^ { \circ }$$ $$C . 5 0 ^ { \circ }$$ $$D . 4 5 ^ { \circ }$$ B C.(2，1) 3.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 D.(2，一1) 点O，H为AD边的中点，菱形 ABCD 的周长 8.如图，在正方形 ABCD 中，O是对角线 AC，BD 为48，则 OH 的长等于. 的交点，过点 O 作 OE⊥OF， 分别交 AB，BC 于点 4 H E，F，若 AE=4，CF=3， ，则EF的长为(g B A.3 A D B C (第3题) (第4题) B.4 E 4.如图，等边 △ABC 的边长为6，点 F 在 △ABC C.5 B C F 内运动，运动过程始终保持 $$\angle A F B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 D.6 线段CF的最小值为. 9.如图，在正方形 ABCD 中，点E，F分别在边 5.如图， 在四边形ABCD中， ，AB∥CD，AB=CD， BC，AB 上，且 AF=BE，AE，DF 相交于点 O. 对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分 ∠BAD， 过 求证： ∠BAE=∠ADF. 点C作 CE⊥AB 交AB的延长线于点 ，连 $$A _ { 1 }$$ C F 接 OE. (1) 求证：四边形ABCD是菱形； B E B E (2)若 $$A B = \sqrt 5 ， B D = 2 ，$$ ，求OE的长. 数学·期末复习 考点7正方形的判定 课后作业 10.下列命题为真命题的是 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( A.四边相等的四边形是正方形 A.对角线互相垂直 B.对角线相等 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相平分 D.邻边相等 C.对角线相等的四边形是正方形 2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 中点，若BD=2,则CD的长是 11.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上 A.3 的F处，折痕为BE,若沿EF剪下，则折叠部 B.1 分是一个正方形，其数学原理是 A.邻边相等的矩形是正方形 C.4 B.对角线相等的菱形是正方形 D.2 C.两个全等的直角三角形构 3.下列说法正确的是 成正方形 A.四边相等的四边形是正方形 D.轴对称图形是正方形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 12.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC的平 C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 分线交BC于点D,过点B作BE∥AD交 D.对角线相等的四边形是矩形 ∠BAF的平分线于点E 4.如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD边 (1)求证：四边形ADBE是矩形： AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法： (2)当∠BAC满足什么条件时，四 ①若AC=BD,则四边形EFGH 边形ADBE是正方形 为矩形： ②若AC⊥BD,则四边形EFGH 为菱形： ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与 BD互相平分： ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD 互相垂直且相等。 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，点P 是AB的中点，AB'表示竹竿AB端沿墙上下 滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过 程中，OP的变化趋势为 A.下滑时，OP增大 B.上升时，OP减小 C.无论怎样滑动，OP不变 B'B D.只要滑动，OP就变化 宝典训练|数学·九年级全册（北师大版） 6.如图，四边形ABCD是正方形，直线L,l2, 12.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC 分别过A,B,C三点，且L∥l∥1s,若4，与2 上的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE, 之间的距离为3,2与1之间的距离为5，则 交AG于点F,那么AF与BF十EF相等吗？ 正方形ABCD的面积为 请说明理由。 A.32 B.25 C.16 D.34 7.如图，直线m∥n,四边形ABCD是正方形，点 C在直线n上，点D在直线m上.若∠1 60°，则∠2的度数是 (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，AD是高，E,F分别是 AB,AC的中点，且AB=7,AC=5,则四边形 AEDF的周长为 13.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠ACB=90°， 9.如图，已知点P是正方形ABCD BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB 对角线BD上一点，且BP=BC 于点E,且CF=BE.求证：四边形BECF是 则∠ACP的度数为 正方形. 10.如图1，在正方形ABCD中，点P以每秒 2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路 径运动，到点C停止.过点P作PQ∥BD, PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长 度ycm与点P的 运动时间x(秒)的 函数图象如图2所 (秒) 2 示，当点P运动3.5 秒时，PQ的长是 cm. 11.如图，点A是y轴正半轴上的 动点，点B在x轴的正半轴上， AB=4,以AB为边在第-一象 0 限作正方形ABCD,连接OC,则OC的最大 值为 8 数学·期末复习 第二章 一元二次方程 ≥课堂练习 9.解一元二次方程： 考点1一元二次方程的有关概念 (1)2x2-3.x+1=0: 1.下列方程属于一元二次方程的是 A.x+y=2 B.x+1=0 C.x2+1=1 D.x(x+1)=x 2.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+x十a2 1=0的一个根是0，则a的值为 () (2)x(.x+3)-4x+12. A.-1B.1 C.1或-1D.0 3.若m是方程2x2一3.x一1=0的一个实数根， 则2m2一3m十2024的值为 考点2一元二次方程根的判别式：△=b一4ac 4.方程x2一x=一2的根的情况是 ( A.有两个不相等的实根B.无实根 C.有两个相等的实根 D.有实根 5.关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两 个相等的实根，则k的值是 考点4一元二次方程根与系数的关系 6.已知关于x的一元二次方程x十kx一6=0. (1)求证：对于任意实数，方程有两个不相等 10.若方程r2-3x一1=0的两根为2，则】十 的实根； 1的值为 ( (2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的 T 另一个根， A.3 B.-3 c D-司 11.如果x1x2是一元二次方程x2一6x一2=0的 两个实根，则十= I:= 12.已知x=一2是方程x2十m.x一6=0的一个根， 则方程的另一个根是，m的值为 考点5一元二次方程的实际应用 考点3一元二次方程的解法 13.据报道，2021年至2023年珠海市居民年人 7.方程x2一4=0的根是 ( 均可支配收入由6.14万元增长至6.50万 A.x=2 B.x=-2 元，设这两年人均可支配收入的年平均增长 C.x1=2,x2=-2 D.x=4 率为x,可列方程为 () 8.若把方程x2-6x-1=0的左边配成完全平 A.6.14(1+x)=6.50 方的形式，则下列变形正确的是 ( B.6.14(1+2x)=6.50 A.(x-3)2=9 B.(x-3)2=10 C.6.14(1+x2)=6.50 C.(x-3)2=5 D.(.x-3)=7 D.6.50(1-x)2=6.14 9 宝典训练|数学·九年级全册（北师大版） 14.如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间 17.如图，上午9：00，一轮船在点A处接到警报， 截去一个面积为60平方分米的小长方形，使 台风中心位于轮船正南方向100海里的点B 剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽 处，轮船以10海里时的速度由西向东航 度为x分米，那么所列出的方程是 行，台风中心以20海里时的速度由南向北 A.(10-x)(8-x)=10×8-60 移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆 B.(10-x)(8-x)=60 形区域都属于台风影响区， C.(10-2.x)(8-2.x)=60 (1)若轮船继续向东航行t小时至 北 D.2(10-x)(8-x)=60 A,此时台风中心位于B,用含 15.连续两个相邻的偶数的乘积为48，则这两个 t的代数式表示AB,?= 偶数为 16.某合作社2021年到2023年每年种植土豆 (2)若轮船不改变航行速度和方向，求轮船 100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千 开始受台风影响的时刻。 克，2022年到2023年引进先进的种植技术， 2023年土豆的平均亩产量达到1440千克. (1)若2022年和2023年土豆的平均亩产量的 年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增 长率： (2)2024年该合作社计划在保证土豆种植的 。○课后作业 总成本不变的情况下，增加土豆的种植 1.下列方程中，属于一元二次方程的是() 面积，经过统计调查发现，2023年每亩土 A.2x+y=1 B.ax2+bx+c=0 豆的种植成本为1200元，若土豆的种植 C.x+1=3 D.x2-1=0 面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成 2.方程(x十1)2=4的根是 ( 本将下降10元，求该合作社增加土豆种 植面积多少亩，才能保证土豆种植的总 A.1=3,x2=1 B.x1=-3,x2=2 成本不变 C.x1=1,xe=-3 D.x1=-1,x2=-3 3.若x=2是一元二次方程x2十mx十2=0的一 个解，则m的值为 ( ) A.0 B.3 C.2 D.-3 4.根据下列表格，判断出方程x2十x一1=0的 一个近似解（结果精确到0.1） ( ) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 r2+x-1 -0.61 -0.44 -0.25 -0.040.19 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 5.已知m,n是一元二次方程x2-2x-4=0的 两个根，则m十一mn的值为 6.若关于x的一元二次方程(k一2)x一2kx十k=0 有实数根，则k的取值范围为 10 数学·期末复习 ●●0 7.某楼盘2021年的房价为每平方米8100元，经过 12.新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首 两年连续降价后，2023年的房价为7600元.设 选，某停车场为了解决充电难的问题，现将长 该楼盘这两年房价平均降低率为每平方米x,根 为120米，宽为100米的矩形停车场进行改 据题意可列方程为 造.如图，将矩形停车场的AB边和AD边分 8.《九章算术》是中国传统数学 2尺 别减少相等的长度，减少的这部分区域用于 最重要的著作.书中有个关于 修建充电桩，剩余停车场的面积为6300m°， 门和竹竿的问题：今有户不知 求AB和AD减少的长度是多少？ 高、广，竿不知长短.横之不出 竹竿 充电桩 四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高几何？ 译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽 度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是 多少.横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹 竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角 线一样长，如图，则门的高度是尺 9.一元二次方程x2-2023x-2024=0的两根 13.某公司设计了一款工艺品，每件的成本为40 为x1x2,则x2一2024x1一x的值为· 元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市 10.解方程：(1)2x2-3.r-1=0: 场调查，销售单价是50元时，每天的销售量 是100件，而销售单价每提高1元，每天的销 售量就减少2件，但要求销售单价不得超过 65元. (1)若销售单价为每件60元，求每天的销售 利润： (2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元， (2)(2y-5)3=4(3y-1)2. 那么每件工艺品的售价应为多少元？ 11.已知关于x的一元二次方程x2一2.x十2m一 2=0. (1)若该方程有一个根是x=2,求m的值： (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个 实数根. 11 宝典训练」数学·九年级全册（北师大版） 第三章 概率的进一步认识 ○课堂练习 甲，乙各投放了一袋垃圾 考点1列表、画树状图求概率一摸球放回型 (1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率： 1.一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球， (2)求甲、乙投放的垃圾恰好是同类垃圾的概 把它们分别标号为1,2,3,4,5.随机摸取一个 率（要求画出树状图）. 小球然后放回，再随机摸出一个小球.两次取 出的小球标号之和为偶数的概率是( A号 B是 c号 n号 2.2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月21日 零时正式打响，本届世界杯吉祥物是“拉伊 卜”.如图，现共有3张印有世界杯会徽和吉 祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外， 其余均相同，其中两张正面印有会徽图案，一 张正面印有“拉伊卜”的图案，将三张卡片正 面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡 片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中 随机抽取一张卡片，则抽出的两张卡片图案 一张是会徽、一张是“拉伊卜”的概率是 考点2列表、画树状图求概率一摸球不放回型 6.一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是 () 0 0 验8 8 A B号 A号 1 .2 3 c D.无法确定 3.不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除 7.一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相 颜色外小球无其他差别.从中随机摸出一个 同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中 小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小 随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜 球，那么两次都摸到红球的概率是( 色相同的概率为 ( A B爱 C.o D是 A司 B号 c n号 4.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随 8.中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》 机出手一次，则两人平局的概率为 《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等是我国 古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数 5.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按 学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程 A、B、C三类分别装袋投放，其中A类指废电 学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算 池、过期药品等有毒垃圾，B类指剽余食品等 厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾， 经》的概率是 12全典训练 数学·九年级·全册（北师大版） 第2课时 圆的对称性 新课孕司 圆的对称性 1.圆是轴对称图形， 是它对称轴. 2.圆是中心对称图形，对称中心为 3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等。 几何语言：如图， 等弧→等弦，等圆 等圆心角→等弧、 等弦→等圆心角、 等孤◆等弦 心角 等弦 等弧 AB-A'B', :∠1=∠2 .AB=A'B'. 等国心角 ∴.AB=A'B', ∠1=∠2 按进练 例1如图，在⊙O中，点A是BC的中点， 1.如图，AB是⊙O的直径， (1)若AB=3,则AC AD=CD,∠COB=40, 则∠A的度数是 (2)若∠B=30°，则∠C ,∠A 例2如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，AB=2.如图，AB,CD为⊙O的两条弦，AB=CD.求 CD,求证：AC=BD 证：∠AOC=∠BOD ●》160 第三章圆 例3如图，在⊙O中，AB=AC,∠ABC=60°.求 3.如图，AB,DE是⊙O的直径，C是⊙O上的 证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 点，且AD=CE.BE与CE的大小有什么关 系？为什么？ 课堂检列 基础训练 1.下列说法正确的是 )2.如图，AB,CD是⊙O的直径，AE=BD,若 A.等弧所对的弦相等 ∠AOE=32°，则∠COE的度数是 B.相等的弦所对的弧相等 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等 3.如图，C,D是以AB为直径的⊙0上的两点，4.如图，在⊙O中，AC=BC,AD=BE.求证： 且OD∥BC.求证：AD=DC. CD=CE. 退能力提升 5.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点.求证：四边形AOBC是菱形 0》161