第21讲 特殊的平行四边形(精练本)-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学（牡丹江专版）

中春123 第21讲 特殊的平行四边形 基础集训 [答案P29] ⊙命题点1矩形的判定与性质 1.(2023·哈尔滨)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上，连接OF.若 ∠ADB=38°，∠BOF=30°，则∠AOF= 2.(2024·牡丹江模拟)如图，矩形ABCD中，AD=2AB,点E在BC边上，且AE=AD,DF⊥AE于点F, 连接DE,BF.BF的延长线交DE于点O,交CD于点G.以下结论：①AF=DC:②OF:BF=CE:CG: ③S△cc=22SAc;④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 2题图 3.(2023·大庆)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC,AE,延长AE,BC交于点 F,连接DF,∠ACF=90° (1)求证：四边形ACFD是矩形： (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积 3题图 -103- ⊙命题点2菱形的判定与性质 4.(2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线 y=子上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为 () A.(-1,6) B.(-2.6) C.(-3,6) D.(-4,6) D B B 4题图 5题图 6题图 7题图 5.(2023·大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=a,∠CBE=B,则B= A45°+2 3 B.45°+ C.90-a 90-20 6.(2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件： 使四边形ABCD成为菱形. 7.（2024·哈尔滨模拟)如图.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上，连接AE,点F为 CD的中点，连接OF,若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为 ⊙命题点3正方形的判定与性质 8.(2024·抚顺模拟)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点，连接 DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为 A.45 B.60° C.67.5 D.77.5° E 8题图 9题图 10题图 11题图 9.(2024·龙东地区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使 得菱形ABCD为正方形， 10.(2024·吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，点F是OD上一 点，连接ER若∠FE0=45,则C的值为 BC 11.(2023·哈尔滨)如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE,BE,F为BE的中点，连接CF,若 cP=罗瓷-多则的长为 ⊙命题点4。中点四边形 12.(2024·开东模拟)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的 两条对角线AC,BD一定是 () A.互相平分 B.互相垂直 C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等 一104 见业图顺合抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无机、 第五章四边形 中考集训 [答案P29] 满分：100分 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.(2023·荆门)如图，菱形ABCD中，E,F分别是AD,BD的中点.若EF=5,则菱形ABCD的周长为 ( A.20 B.30 C.40 D.50 1题图 2题图 2.(2023·河北)如图，在Rt△ABC中，AB=4,点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF若 SE方形AWEr=16,则SABc= () A.43 B.83 C.12 D.16 3.(2024·潍坊)如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(-2,0)，∠AOC=60°，将菱形 OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O'A'B'C',其中点 B'的坐标为 (】 A.（-2,3-1) B.(-2,1) C.(-5.1) D.(-3,5-1) B 60 A(-2.0) 01 C 3题图 4题图 5题图 4.(2024·德阳)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边的中点，则下列结论一 定正确的是 () A.四边形EFGH是矩形 B.四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和 C.四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和 D.四边形EFG的面积等于四边形ABCD的面积的号 5.(2023·绍兴)如图.在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°.动点E在线段OB上，动 点F在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点B,D运动，且始终保持OE=OF,点E关于 AD,AB的对称点分别为E,E2;点F关于BC,CD的对称点分别为F,F·在整个过程中，四边形 E,E,F,F2形状的变化依次是 () A.菱形→平行四边形一→矩形◆平行四边形→菱形 B.菱形→正方形+平行四边形→菱形→平行四边形 C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 -105 数学·精练本1 见此图师合抖音/微信由码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 6.(2023·兰州)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长 为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG= () A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 FB 6题图 7题图 8题图 7.(2023·安徽)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并延长，交边BC 于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG= () A.25 号 C.5+1 D.10 8.(2024·重庆A卷)如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转 90,得到FB,连接CP并延长，与AB的延长线交于点C,则的值为 () A.2 B.3 c.32 D.33 2 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.(2023·陕西)点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE,则∠BAE的度数为 10.新考法(2023·河南)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当以 点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 11.(2024·绍兴)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC,以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直 线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 11题图 12题图 13题图 14题图 12.(2024·怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到 直线AB的距离为 13.(2024·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5, CG=4,则△AEF的面积为 14.(2023·天津)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE,BA=ED=3 (1)△ADE的面积为 (2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G,则AG的长为 -106 三、解答题（共44分） 15.(10分)(2024·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，AD∥BC,∠ABC=90°，有 下列条件： ①AB∥CD:②AD=BC (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形： (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积. B 15题图 16.(10分)(2023·北京)如图，在□ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，BE=DF,AC=EF. (1)求证：四边形AECF是矩形： (2)若AE=BE,AB=2,tanLACB=,求BC的长 16题图 -107- 17.(12分)(2024·南充)已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点 G,过点B作BM⊥CE,垂足为M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H. (1)如图①，求证：CE=BH: (2)如图②，若AE=AB,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形 (△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等. H B 17题图①D 17题图② 18.(12分)(2023·云南)如图，平行四边形ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线，且点E, F分别在边BC,AD上，AE=AF (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4√3，求平行线AB与DC间的距离. B 18题图 -108-见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 ∵四边形AFCD是平行四边形，∴CF=AD=2, ∴CB=√CF2+BF2=√13. 又∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE是矩形， ∴ AB=CE,∴ CE=DE.) 17.(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， (2)由C=3,,可设CB=2x,AC=3x, ∴. AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC. 则 BD=2x,CD=4x ∵点E,F,G,H分别是口ABCD各边的中点， .AE=2AB=2CD=CG,AE//CG, ∴四边形 AECG为平行四边形. 在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD2=CD2+AC2, 即(5√2)2=(4x)2+(3x)2,解得x=√2(负值已舍去), ∴AC=3x=3√2. 同理可得，四边形AFCH为平行四边形，∴AM//CN. ∵AN//CM,∴四边形 AMCN是平行四边形. 第21讲 特殊的平行四边形 基础集训 (2)解：如答图，连接EF,AC, 1.46°或106° 则SAmc=-saAcw=2. 2.①②③ 3.(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∵E,F分别是AB,BC的中点， ∴ AD//BC,∴∠ADE=∠FGE,∠DAE=∠CFE. ∵E为线段CD的中点，∴ DE=CE, ∴△ADE≌△FCE, 2 EF是△ABC的中位线，∴ EF/AC,C=2, ∴. △EMFM△CMA,.CM-EA=2, ∴SA=2sAwc=1, . AE=FE,∴四边形ACFD是平行四边形. ∵∠ACF=90°,∴四边形 ACFD是矩形. (2)解：∵CD=13,CF=5,∴BC=AD=CF=5, ∴AC=DF= √CD2-CF2=√132-52=12. ∵△ADE≌△FCE, ∴S△ABc=3,∴ S△ABc=6,∴ SaABcp=12 A H D N E M G S△cr=2s△cP=2×2×5×12=15,又∵ B F C S平行四边形AcD=BC·AC=5×12=60, ∴S四边形ABce=S平行四边形AcD-S△cgp=60-15=45. 17题答图 18.解：(1)选择小星. 证明：∵ AE//BD,DE//AB, 4.B 5.D ∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD 又∵BD=CB,∴. AE=BC, ∴四边形 ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90°, ∴四边形ACBE是矩形， ∴BE⊥CD.(或选择小红. 证明：连接BE ∵AE//BD,DE//AB, ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE=BD,AB=DE. 又∵BD=CB,∴. AE=BC, ∴四边形ACBE是平行四边形. 6.AD//BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等) 7.2√5 8.C 9.AC=BD(答案不唯一) 10.2 11.√34 12.D 中考集训 1.C 2.B 3.A [解析]如答图，过点B作 BM⊥x轴于点M.∵点 A(-2,0),∴.0A=2.又∵四边形 OABC是菱形，∴ AB =0A=2,AB//OC.∵∠A0C=60°,∴∠BAM=∠A0C =60°.在Rt△ABM中，BM=AB·sin 60°=2×3= √3,AM=AB·cos60°=2×1=1,:.0M=0A+AM= —29— 见此图标号抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 2+1=3.∵点B在第二象限，∴点B(-3,√3),∴由 6.C[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBC=∠BAG =90°.在Rt△CBE中，点F是斜边CE的中点，∴ BF= 平移可得点B'(-2,3-1),故选A. CE =5..由作图，得 BG = BF= 5,∴ AG = √BG2-AB2=√52-42=3. y B C B' C 7.B [解析]:EFIAB,LABC=90°,: EFBC,.M 60% A(-2,0) 0 x =p=2.∵:AD//BC,:△ADEN△CME,CM=aA' 0′ =2,∴BC=AD=2CM,即点M是BC的中点，∴CM=3题答图 BM.又∵∠DGM=∠GBM,∠DMC=∠GMB,∴△DCM4.C ≌△GBM,∴MG= DM.易知 CD=BC=AB=AF+BF 5.A [解析]由对称的性质可知∠E?DB=∠F?BF= 60°,∠F?DB=∠E?BD=120°,DF?= DF,DE?= DE, BE?=BE,BF?=BF,∴E?,D,F?共线，E?,B,F?共线， E?D//BF?.∵OE=OF,∴ BE=DF,DE=BF,∴ DF?= BE?,DE?=BF?,∴DE?+DF?=BF?+BE?,即E?F?= =2+1=3,:CM=2,:MG=DM=√CD2+CM2= √32+(2)”-325 8.A [解析]如答图，过点F作FH⊥DC交DC的延长 E?F,∴四边形E?E?F?F?是平行四边形.当点E,F与 点0重合时，如答图①,连接E?F?,E?F?,根据对称可 知此时 E?F?⊥E?F?,∴四边形 E?E?F?F?是菱形(依 据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形).当点E是 OB的中点时，如答图②,连接AC,易知△A0B是等边 BE=2oB= AB,∴ BE?=2AB,三角形， 结合 ∠ABE?= 60°,可知∠AE?B=90°,∴此时四边形 E?E?F?F?是矩形(依据：有一个内角是90°的平行四 边形是矩形).当点E与点B重合时，如答图③,则点 线于点H,则∠H=90°??四边形 ABCD是正方形， ∴∠D=∠DCB=90°,DA= DC= BC,DC//AB,∴∠D =∠H,∠DEA+∠DAE =90°.由旋转，得 EA = EF, ∠AEF=90°,.∠DEA+∠HEF=90°,.∠HEF= ∠DAE,∴△ADE≌△EHF,∴ AD=EH,DE=HF.设DA =DC=BC=EH=1,DE=HF=x,则CE=DC-DE= 1-x,∴. CH=EH-EC=1-(1-x)=x,∴ HF=CH = x,∴ ∠HCF=45°,CF =√2 HF=√2x.∵ DC//AB, ∴∠CBG=∠DCB=90°,∠G=∠HCF=45°,∴ CG= √2BC=√2,∴ FG=CG-CF=√2-√2x=√2(1-x),F,F?与点D重合，点E?与点B重合，易知∠E?= ∠E?E?D=60°,∴△E?E?F?是等边三角形，∴E?F?= E?E?,∴四边形 E?E?F?F?是菱形(依据：有一组邻边 相等的平行四边形是菱形).故选A. =2(1-)=反. D E H F? F F? Dk C D C F F? A B GE? F? 00(E 8题答图E? E 9.62°[解析]如答图，连接BE,则AE⊥BE,∴∠ABE= 2∠ABC=28°,∴ ∠BAE=90°-∠ABE=90°-28° =62°. A B A B E? E? 5题答图① 5题答图② D(F,F?)C AF? 0 B< E D Ei A B(E,E?) 5题答图③ ℃ 9题答图 —30— 见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 10.2或2+1 [解析]分析如下： 13.2 当∠DNM=90°时 当∠DMN=90°时 14.(1)3(2)√13 N NA D A_ D [解析](1)如答图，过点E作 EH//AB,分别交 AD, AG于点I,H,则∠AIE =∠BAD=90°.又∵AE=DE, .AI=DI=2AD=2,:IB=√AE2-AP=2, ∴SAm=2AD×E=2×3×2=3.(2)由AB// 图示 M M B C B C 连接BN,在Rt△ABN中， ∵∠A=∠DNM=90°, ∵AB=AN=1,∠A=90°, :.MN/AB,DN=B EH,点F是BE的中点，易证△ABF≌△HEF,.∴ EH=∴BV=、2 分析 AB=3,∴HI=HE-IE=3-2=1.∵AI=DI,HI//GD, ∴H是AG的中点，∴ DG=2HI=2(依据：三角形的中 位线定理),∴AG=√AD2+DG2=√32+22=√13. ∵点M是BD的中点， 又∵BM=DM, ∠DMN=90°,:∴.DN=AN=1, ∴直线MN垂直平分线段BD,∴AD=2 ∴DN=BN=√2..AD=2+ B A 综上可知，AD的长为2或√2+1. 11.10°或80°[解析]由菱形的性质易知∠DAC=20°. 如答图，当点E在射线 AD上时(即点E?的位置), ∠AE?C=(180°-20°)÷2=80°;当点E在射线DA 上时(即点E?的位置),∠AE?C=2∠DAC=10°.综 上可知，∠AEC的度数是10°或80°. E? DA C A B 11题答图 区总结归纳--------------- 本题涉及分类讨论的数学思想，需要注意点 E为弧与“直线AD”的交点(易错点),故点E的 位置有2种情况 12.3 [解析]如答图，过点P作PQ⊥AB于点Q,∵四 边形ABCD是正方形，∴AC平分∠DAB,∴PQ=PE =3(依据：角平分线的性质). D E A< P C Q B 12题答图 /F H E C G D 14题答图 15.解：(1)答案一：选择①. 证明：∵AB//CD,AD//BC, ∴四边形 ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 答案二：选择② 证明：∵AD//BC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形. (2)∵∠ABC=90°, ∴BC=√AC2-AB2=√52-32=4, ∴矩形 ABCD的面积为3×4=12. 16.(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AF//EC. 又∵BE=DF,∴ AF=CE, ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC=EF,∴四边形 AECF是矩形 (2)解：由(1)知四边形AECF是矩形， ∴.AE1BC 又∵AE=BE,∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AE=BE=AB=)2. 在 Rt△AEC中,tan∠ACE =AE=2 ∴.CE=2AE=2√2,∴BC=3√2. —31— 见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 17.(1)证明：∵四边形 ABCD是正方形， 第六章 圆 ∴ BC=DC,∠BCD=∠ADC=90°, ∴∠HCM+∠E=90°. ∵BM⊥CE,∴∠HMC=90°, ∴∠HCM+∠H=90°, ∴∠H=∠E, ∴△HBC≌△ECD, ∴. BH=CE 第22讲 圆的基本性质 基础集训 1.B 2.D 3.D 4.3√10 5.C 6.65 7.C 8.B 综合集训 1.D 2.B 3.B 4.D [解析]∵∠C=20°,∠B=∠C= 20°.又 (2)解：△ABF,△DHF,△DCF,△BCG. ∵∠BPC=70°,∠CDB=70°-20°=50°.∵AB是直 径，∴∠ADB=90°,∴∠ADC=90°-50°=40°. 18.(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴. AD//BC,∠BAD=∠BCD, ∠BEA=/D4E 5.C [解析]∵∠AOD=120°,0A=OD,∴∠0AD= 1800-120°=30°.: BC//AD,. ∠CBD=∠ADB.又 ∵∠CBD=∠CAD,∴∠ADB=∠CAD.又∵AC⊥BD, . ∠ADB=∠CAD=1802-90°=45°,: ∠CAO=15° AB=2AD=厚，如答图，过点0作OE⊥AD于点E,则 ∵AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线， ∴ ∠DAE=2∠BAD,∠BCF=2∠BCD, ∴∠BCF=∠DAE=∠BEA, ∴ AE//FC 又∵AF//EC, ∴四边形AECF是平行四边形(依据：两组对边分别 平行的四边形是平行四边形). 又.AE=AF. .0A=s30=1..连接BO,CO,则∠AOB=2∠ADB= 90°,∠COD=2∠CAD=90°,∴∠BOC=360°-120°- 90°-90°=60°.又∵OB=0C,∴△OBC是等边三角 形，∴ BC=OB=0A=1. ∴四边形AECF是菱形(依据：一组邻边相等的平行 四边形是菱形). A (2)解：∵AD//BC,∠ABC=60°, ∴∠BAD=120°, Bk E ∴∠EAD=∠BAE=—∠BAD=60° ∴△ABE是等边三角形，∴ BE=AB. 如答图，过点A作AG⊥BE于点G, C D 5题答图 F DA 6.A [解析]如答图，连接BC交OE于点G.∵CD= B G E C 18题答图 则AG=ABsin600= AB, SAm=÷BE·AG=÷AB×?AB=43, ∴AB=4(负值已舍去). 连接AC, ∵四边形AECF是菱形， . ∠EAC=-∠EAD=30°, ∴∠BAC=60°+30°=90°, ∴.AC的长即为平行线AB与DC间的距离， AC=ABtan 60°=4.3. DB,∴ OD垂直平分BC.∵ AB是00的直径，∴∠ACB =90°,∴0G//AC且0G是△ABC的中位线，∴ S△COG =SAm=2sAmc=2sAoc.又∵SAoce SAoR=2:3, ∴SAmo: SAmoe=1:3.易证△BOGm △EOB,.oB= , mLBOE=器=12.÷∠ACO= ∠COE= ∠BOE,∴. tan∠ACO=√2. E C D A 0 6题答图 B —32—