第一章 数与式(精讲本)-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学（龙东地区专版）

参考答案与解析 2 参芳答案与解析 第一章 数与式 第二章 方程（组）与不等式（组）】 第1讲实数及其运算 第5讲 一次方程（组）及其应用 考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 四0☑无限不循环小数图0④实数固大 ⑥互为相反数☑-a因0回相等⑩原点四0 回未知数回未知数的值固b±c ④e 固6 ☑1B1四10固6.5@0.3137大区绝对值 同一71图ax+b=0 ⑨最小公倍数0=b 回绝对值网0团减去回相反数☒正四负 因倒数b+a四a+(b+c)）ba2四a(b) 回x= b 2两314消元固一元一次G代入 网ab+ac团负数网正数网-13团1351 【实战演练·品方法】 实战演练·品方法】 例1 C例2B 例1B例2解：原式=12 第6讲 第2讲数的开方及二次根式 元二次方程及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 ▣一②2团降次 4用直接开平方法 团配方法 四a②'a图±8④8固4回因数或因式 回公式法☑因式分解法图两个不相等回两个相等 回a图-a@≥0> 四非负数20 【实战演练·品方法】 四没有回-名四9 例1B 【实战演练·品方法】 例2375 例1(5-1)例2 27 300 300 [解析] 3×2×5×2×5 3 第7讲 分式方程及其应用 n =10 考点梳理·夯基础】 是大于1的整数，一 300=10入√n 3 >1.n为正整数 工未知数 四最简公分母 图最简公分母④增根 【实战演练·品方法】 n的值可以为3,12,75.∴.n的最小值是3，最大值是75. 例1m>0且m≠1 例2D 第3讲代数式与整式 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 ▣a(1±10%)☑0.75a(1+x%)☒(ax+by) 1> ②<图< ④x>b圆a<x<b回> ④指数固系数回ab回相乘回指数 7<≥⑨ 回m+mb国ac+ad+bc+bd①a2-b四a2±2ab+ 重难研析·理要点】 3m(a+b-c)4平方差固完全平方 典例 解：(1)设B款文化衫每件x元， 【实战演练·品方法】 根据题意可得，500-400.解得x=40, 例12[解析]，1<2<2,1<3-5<2 x+10 :3-2的整数部分为1，小数部分为b, 经检验，x=40是原分式方程的解，并且符合题意。 a=1,b=3-2-1=2-2 x+10=50. 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元 ∴.(2+2a)·b=(2+2)(2-12)=2.故答案为2. (2)设购进A款文化衫a件，B款文化衫(300-a)件，根 例24[解析]m2+n2+10=6m-2n, .m+n+10-6m+2n=0。 据题童可得十830洲-0240： 即(m-3)2+(n+1)2=0 解得275≤a≤280. .m=3,n=-1,.m-n=3-(-1)=4 a取正整数..a=275,276.277.278.279.280. 第4讲分 式 ∴一共有六种方案。 考点梳理·夯基础】 (3)设购买资金元 □B0网A=0且B≠0☒公因式 ④最简 固最简 e=50X0.7+(40-m)(300-a) 回同分母 回货图兴 回 =(m-5)a+12000-300m. ·(2)中所有购头方案所需资金相同， 【重难研析·理要点】 ,与a的取值无关，，m=5. 跟踪训练 典例2024 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题 跟踪训练 意，得厂+y=30. 2 、2 30x+25=850.解得=20. 1y=10. 解：原式= (+1)÷ 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件 x(x+1) (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80-m)件B款钥 (x+1)(x-1)=2 匙扣.依题意，得30m+25(80-m)≤2200，解得m≤40. x(x-1) 由「2(x一1）<x+1·可得该不等式 15x+3≥2x 设再次购进的A,B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 组的解集为-1≤x<3, 的总利润为”元， 该不等式组的整数解为-1,0、1,2 则w=(45-30)m+(37-25)(80-m）=3m+960 当x=-1.0,1时，分式无意义，∴x=2 3>0,w随m的增大而增大 把x=2代入得，原式= 2 ∴.当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960= 2=2 1080,此时80-m=80-40=40. 见业图倾合抖音微信码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧、 3第一章数与式 第一章 数与式 第1讲 实数及其运算 《考点梳理·夯基础》 客案73 贵点①实数的分类 香点③实数的相关概念 正整数 a(a>0), 自然数 性质 lal 0(a=0), |a|具有非负性 整数口 绝 -a(a<0) 有理数 (负整数 对 几何 数轴上表示一个数到原点的距离，离原点越 正分数]有限小数或无 值 意义 远的数的绝对值越固 按定义分 分数 负分数]限循环小数 绝对值相等的两个数相等或⑥ 正无理数， 即lal=1bln=b或a=-b 实数 无理数 ② 负无理数」 非零实数：的相反数为☑ 性质 特别地，0的相反数是⑧ 按大小分：正数☒ 负数 数轴上表示相反数的两个点(0除外)位于 提分点拨 相 几何 原点两侧，且到原点的距离回 ,这 无理数的常见形式 反 意义 数 两个点关于回 对称 ①带根号且开方开不尽的数，如2，√3,5等： 实数a.b互为相反数一a+b=回 ⑨m及化简后含π的数，如5，m+3等： =-1(b≠0】 b ③含有根式的三角函数值，如sin60°，lan30°等； 倒 非零实数口的倒数是。（或a ④有规律的无限不循环小数，如0.1010010001 数 0没有倒数，倒数等于它本身的数是±1 (每相邻两个1之间依次多一个0)等！ a与b互为倒数ab=回 考点2数轴 考点④科学记数法 1.三要素 表示 a×10°，其中☒ ≤lal<国 , 佩点正才何 形式 为整数 3-2-101234 a的 将原数变为整数位数只有一位的数.如：原数为 尊位黄废 确定 65000时，a为固 2.④ 与数轴上的点一一对应。 当原数的绝对 n为正整数，且等于原数的整 值≥10时 数位数诚 3.数轴上两点之间的距离：用右边的点表示的数减 n的 去左边的点表示的数.如图，数轴上A,B两点之 确定 n为负整数，Inl等于原数中左 当0<原数的绝 起第一个非零数字前所有0 间的距离AB=b-a. 对值<1时 的个数（含小数点前的0） 见业图倾合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。二。 数学·精讲本 ·提分点拔 2.运算律 将含有计数（量）单位的数表示为科学记数 法时，要保证原数与要求表示成的科学记数法 (1)加法交换律：a+b=2阿 形式的单位一致， (2)加法结合律：(a+b)+c=☑ 常用的计数单位：1万=10,1亿=10,1万亿 (3)乘法交换律：ab=2圆 102等. (4)乘法结合律：(ab)c=四 常用的计量单位：1ns=109s,1s=10-6s,1nm =10-9m,14m=10-6m. (5)乘法分配律：a(b+c)=30 考点5)近似数和精确度 1.近似数：将一个数四舍五入后得到的数 3.乘方：0=·a·正数的任何次幂都是正数：负 n个a 2.精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位， 就说这个近似数精确到哪一位.如0.3125精确 数的奇次幂为团 ,偶次幂为型 到0.01为0.31，精确到0.001为6 r图 (n为奇数)， 弯点6实数的大小比较 特别地，(-1)”= 34 (n为偶数). 1.数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的数 4.零次幂：a°=35 (a≠0)，任何不等于0 总比左边的数7 2.类别比较法：正数>0>负数：两个负数比较大 的数的0次幂都等于1。 小，图 大的数反而小. 3.作差比较法 5.负整数指数幂：aP= 。(a≠0，p为正整数).特 (1)a-b>0→a>b (2)a-b=0=a=b: 别地，4=1(a≠0)（倒底数，反指教）. (3)a-b<0a<b. 4.平方比较法：a2>b→a>b(a>0,b>0)(主要应 ,a-b(a>b), 用于无理数估值或无理数的大小比较) 6.去绝对值符号：a-b= 0(a=b), 青点⑦实数的运算 1.四则运算 b-a(a<b). 提分点拨>一 同号两数相加：取相同的符号，并把© 相加 去绝对值符号时，要先比较绝对值符号中 异号两数相加：绝对值相等时和为@ :绝对 值不相等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的 两个数的大小，再根据绝对值的非负性去掉绝 法 绝对值四 较小的绝对值 对值符号 一个数同0相加，仍得这个数，即a+0=a 7.实数的混合运算顺序 减 减去一个数，等于加上这个数的四 ,即a- 法 b=a+(-b) 先计算各小项的值，如：绝对值、三角函数值 乘 两数相乘，同号得☒ ,异号得四 等：再按实数四则混合运算的顺序，先乘方，再乘 法 并把绝对值相乘：任何数与0相乘，积为0 除，后加减，有括号的要先算括号里面的.同级运 除 除以一个不为0的数，等于乘这个数的四 即a÷b=a× 60 算按从左到右的顺序算。 答案73 《实战演练·品方法》 团（河北若x和y互为倒数则+(3） 2 (哈家)计算：(-1)°+() 的值是 l、3-2l+tan60 A.1 B.2 C.3 D.4 温鏨提示 请完成《精练本1》P1-3。 2 见业图标合抖音微信码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧 第一章数与式 第2讲 数的开方及二次根式 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点平方根、算术平方根、立方根 考点④二次根式的运算 a(a>0) a(a=0） a(a<0) 先将每个二次根式化为最简二次根式，再将 加减运算 平方根 ±va 0 没有 同类二次根式进行合并 算术平方根回 0 没有 乘法运算 a·6=a·b(a≥0，b≥0) 立方根 a 0 回 除法运算 a 如64的平方根为③☒ 算术平方根为 或后÷、万=a÷b(a≥0，b>0) b ④ ,立方根为⑤ 混合运算 先乘除，再加减，有括号的要先算括号里面的 提分点损 乘方与开方互为逆运算。 把分母中 (1)1 a 的根号化 √aa·aa 重点②)二次根式的有关概念 去常见 (2) a+b =a+0 1.定义：形如、a(a≥0)的式子叫做二次根式，其中 的方法 a-6(a-)(a+D)u-b a叫做被开方数 者点⑤无理数的估值 提分点裙>一 a可以是数，也可以是式子 1.估计二次根式/a(a>0)值在哪两个连续的整数 之间（以7为例） 2.若√a有意义，则被开方数a≥0. 3.最简二次根式必须满足的两个条件 (1)对根式进行平方，如(、7)2=7： (1)被开方数不含分母： (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽 (2)被开方数中不含能开得尽方的⑥ 方的整数，如4和9： 4.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数 (3)对以上两个整数开方，如4=2,9=3： 相同的几个二次根式称为同类二次根式.如√12 (4)确定这个根式的值在开方后所得的两个整 (开根号后为23)与3就是同类二次根式 数之间，如2<√7<3： 考点3二次根式的性质 (5)根据不等式的性质3可得其负根式的范围， ra≥0， 如-3<-7<-2. 1.√a的双重非负性： 提分点拔>一 la≥0. ①确定√ā±b在哪两个相邻的整效之间时，只 2.(、a)2=a(a≥0). 需在步骤(4)的基础上给不等号两边加减b. 3.Va=lal= ⑦ (a≥0)， ②确定n√a(n>0)的值在哪两个连续整数之 ⑧ (a<0) 提分点透> 间时，则先将n√a转化为√na,再按上述步 只有当a≥0时，√a2=(a)2 骤求解 4.ab=√a·√b(a≥0，b回 0). 2.确定与二次根式，a最接近的整数（以、7为例） (1)先确定二次根式在哪两个整数之间，如2< 5-治或va6=a6a0b 0) 7<3: 见业图倾合抖音微信扫码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧、 ⑧3 数学·精讲本 (2)求这两个整数的平均数，如23 2.5: 考点⑥非负数及其性质 常见的 (3)对二次根式和平均数进行平方，如(7)2= (1)1al:(2)a2(或a的偶次幂)：(3)a(a≥0) 非负数 7,2.52=6.25,若二次根式的平方大于平均 数的平方，如7>6.25，则离较大的整数近， (1)非负数有最小值，最小值为0： 非负数 (2)几个非负数的和仍然是四 即7离3较近，反之离较小的整数近 的性质 (3)若几个非负数的和等于0，则这几个非负数 3.若√a的整数部分为m,则其小数部分为va-m. 都是回 如√万的整数部分为2，小数部分为7-2。 答案3 《实战演练·品方法》 例 ,(临折)设m=5 1 -45,则实数m所在的 则根据，189m=√/3×3×3×7m=3,3×7m可 知m有最小值3×7=21.设n为正整数，若 范围是 300 A.m<-5 B.-5<m<-4 是大于1的整数，则n的最小值为 n C.-4<m<-3 D.m>-3 最大值为 例2（随州）已知m为正整数，若189m是整数， ,温馨提示 请完成《精练本1》P4-6了 第3讲 代数式与整式 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点们代数式及其求值 3.代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代 1,代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连 入，计算求值： 接起来的式子，特别地，单独一个数或一个字母 (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式 是代数式 的关系：②通过提公因式、公式法等，将所求 2.列代数式的基本模型 代数式变形后与已知代数式成倍数关系： ③把已知代数式看成一个整体代入求值， (1)原价a增加（减少）10%为四 :原价 4.非负数的和：若几个非负数的和为0，则这几个 a的n倍多（少）m为an±m: 非负数分别为0，如： (2)原价a的八折为0.8a:按原价a提高x%后 (1)若a2+b2=0,则a=0,b=0: 再打七五折为② (2)若1a+1b1=0,则a=0.b=0: (3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的 (3)若a+b=0,则a=0,b=0: 商品总价为B 元 (4)若a2+1b1+c=0,则a=0,b=0,c=0. 见业图标合抖音微信门码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第一章数与式2 置点②整式的相关概念 如2a2b·2a3=(2×2)·a2+3.b=4ab. 由数或字母的积表示的式子，特别地，单独的一个 (2)单项式乘多项式：m(a+b)=回 单 数或一个字母也是单项式，如2，a,mn (3)多项式乘多项式：(a+b)(c+d)=0 项 系数 单项式中的数字因数 系数次数为3+2=5 式 一个单项式中所有 (4)乘法公式 次数 叫做在次单项式 字母的指数和 ①平方差公式：(a+b)(a-b)=四 几个单项式的和，如a+62+2 多 项 多项式中每个单项式 项 次数頭 常数项 ②完全平方公式：(a±b)2=回 式 常数项 不含字母的项 3+5网+8 叫做三次三项式 拓展延神>。 次数 次数最高项的次数 ①常用的平方差公式变形： 整式 单项式和多项式统称为整式 (1)(b+a)(-b+a)=a2-b2: 所含字母相同，且相同字母的指数相同，如 同类项 (2)(-a-b)(a-b)=b2-a2. 2和 ②常用的完全平方公式变形： 贵点③整式的运算 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab: 1.整式的加减运算 (2)a2+b2=(a-b)2+2ab: (1)合并同类项：字母和字母的④ 不变： 同类项的固 相加减作为新的系数.如 (3)(a+b)2=(a-b)2+4ah: 3x2+2xy2=5xy2 (4)(a-b)2=(a+b)2-4ab. (2)去括号法则：括号前为“+”，去括号后每一项 都不变号：括号前为“-”，去括号后每一项都 4.整式的除法 要变号. (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别 如a+(b+c)=a+b+c, 相除作为商的因式，对于只在被除式里含有 a-(b-c)=a-b+c. 2.幂的运算(m,n为正整数)】 的字母，则连同它的指数作为商的一个因 同底数幂相乘 a"·a°=a"tn 式.如4a2b÷2a=(4÷2)·a2-1·b=2ab. 同底数幂相除 a"÷a'=am- (2)多项式除以单项式：先用多项式的每一项除 (a≠0，且m>n) 以这个单项式，再把所得的商相加， 幂的乘方 (a)=a 积的乘方 (ab)"=⑥ 者点④因式分解 3.整式的乘法 1.基本方法 (1)单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂 (1)提公因式法：ma+mb-mc=图 分别☑ ,对于只在一个单项式里含 a2-因式分框(a+b)(a-b): 整式乘法 有的字母，则连同它的⑧ 作为积的 (2)公式法 一个因式. 2h+60a生b 见业图倾合抖音/微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 数学·精讲本 一拓展延御 (2)若没有公因式，可尝试公式法，如两项考虑 ①十字相乘法：x+(p+q)x+p=(x+P)(x+q). 回 公式，三项考虑固 ②分组分解法：a2+2-c2+2ab=a2+2ab+b -c2=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c). 公式： (3)检查各因式分解是否彻底.注意：因式分解 2.一般步骤 的结果一定是儿个整式的积的形式。 (1)若有公因式，先提公因式： 答案73 《实战演练·品方法》 例（荆州）若3-2的整数部分为a,小数部分为 例2（乐山）若m2+n2+10=6m-2n.则m-n= b,则代数式(2+2a)·b的值是 温馨提示 请完成《精练本1》P7-9。 第4讲分式 答案门3 《考点梳理·夯基础》 考①分式的概念与性质 约分.约分的结果必须是④ 分式， 1,概念：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B 固 分式是指分子与分母没有公因 中含有字母，那么式子A叫做分式，其中A叫做 式的分式 B (2)约分的关键是确定公因式： 分子，B叫做分母 ①分子、分母能分解因式的先分解因式： 2.分式日有意义的条件：回 ②取分子、分母中相同因式的最低次幂（数 3分式名的值为0的条件：☑ 字因式的最大公约数)的乘积作为公因式， 2.通分 4.基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一 (1)定义：根据分式的基本性质，把几个异分母 个不等于0的整式.分式的值不变，即台-日： 的分式分别化成与原来的分式相等的回 的分式，叫做分式的通分 (C0),合-日#(C≠0)，其中AB,C是 (2)通分的关键是确定最简公分母： 整式 ①分子、分母能分解因式的先分解因式： 5.变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其 ②取各分母所有因式的最高次幂（数字因式 中任意两个，分式的值不变例如：分=-6 的最小公倍数)的乘积作为公分母 3.加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分 考点②分式的运算 子相加减，即二±之兰，异分母分式相加减。 1,约分 先通分，变为同分母的分式，再加减，即上±4 (1)定义：根据分式的基本性质，把一个分式的 c±ad_bc±ad 分子与分母的固 约去，叫做分式的 a ac ac 见业图麻合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第一章数与式 22 4.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分 提分点携 分式的运算中常见的错误： 子，分母的积作为积的分母，即号·音=回 ①应用分式的基本性质，只把分式的分母乘整 式，而分子未乘： 5.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠 ②忽略了分数线的括号作用： 倒位登后，与被除式相乘，甲8÷号=公·是 ③当分式中同时含有乘除运算时，应注意将除 法运算转化为乘法运算，注意运算顺序； ⑧ ④通分与去分母混淆：受解方程时去分母的影 6.乘方：分子、分母分别乘方，即（)=回 响，在分式计算中采用了去分母的方法解决 问题，破坏了分式计算的等值变形： (n为正整数) ⑤乱用乘法分配律：对乘法分配律的认识模糊， 7.混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有 将乘法分配律应用到除法运算中】 括号的先算括号里面的， 《重摊研析·理要点) 答案73 童准点海。分式化简求值 中巩周训练维接至《情练本1》P27>之 典例当x=√2024+3时，数式 X+3 x-I x-9 0思维导引 x2-3xx2-6x+9 先将原式化简，再将x=√2024+3 的值是 变为(x-3)2=2024代入即可. 跟踪训练 (广元先化简，挥求值：子：÷-)其中是不等式组》x+1。 的整数解。 5x+3≥2x 温鑿提示 请完成《精练本1》P10-12 见业图倾合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。。