第13讲 二次函数的实际应用(精练本)-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学（龙东地区专版）

见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 线y=x+1上.∵A(-5,0),C(0,-5),则直线AC的 解析式为 y= -x-5.∵-x-5=x+1,∴x= -3, t=2 (2)∵ a>0,∴抛物线开口向上， ∴抛物线上离对称轴越远的点纵坐标越大. 又∵y?<y?,抛物线的对称轴为直线x=t, ∴ E(-3,-2).∵点D与D'关于直线AC对称，∴ E 是DD'的中点，∴D'(0,1).综上所述，点D关于直线 AC的对称点的坐标为(-5,-4)或(0,1). ∴点M到直线x=t的距离小于点N到直线x=t的 距离. y D′(D) 由题意知点M在点N左侧. A 0x A/ 0B B 2连接MN,则MN中点的横坐标为E D' C D C 由 y?<y?可知 MN的中点在直线x=t的右侧， ∴t<215题答图① 15题答图② 16.解：(1)∵二次函数y= -x2+bx+c的图象与x轴交 ∵0<x?<1,1<x?<2 于A(-2,0),B(1,0)两点， ∴1<x?+x?<3, {-4-b+c=0, e=2-,解得 2<2<2,.≤ ∴b=-1,c=2. 19.解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0), (2)∵A(-2,0),B(1,0),∴ AB=3 ∵SAMB=2AB·Iypl=6,: Iypl=4. 当yp=4时，令-x2-x+2=4,方程无解. 当yp=-4时，令-x2-x+2=-4, B(4,0), {16+46=0=0 =-4,解得 ∴抛物线对应的解析式为y=x2-3x-4. p(2,-245)解得x?=-3,x?=2. ∴点P的坐标为(-3,-4)或(2,-4). (2)连接OP. 17.解：(1)①当b=4,c=3时， y= -x2+4x+3=-(x-2)2+7, ∵A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),P(2,-245) .Sac=2×4×3=3, SAom=2×?×25=25, SAmc=2×4×4=8. ∵S△Bcp=S△ocp+S△oBp-S△BOC, Sam=3+225-8=125. ∴顶点坐标为(2,7). ②∵当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y有最大值7. 当x=-1时，y=-2,当x=3时，y=6, ∴当-1≤x≤3时，-2≤y≤7. (2)∵当x≤0时，y的最大值为2,当x>0时，y的最 大值为3, 第13讲 二次函数的实际应用x=2∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，∴b>0. ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2, 基础集训 1.C ∴c=2. 2.解：(1)依题意可知抛物线的顶点P的坐标为(5,9), 设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9(a≠0),将4×4-1)×c-b2=3,∴b=±2 (0,0)代入，得0=a(0-5)2+9,解得a=-5∵b>0,∴b=2, ∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2. y=-25(x-5)2+9.∴抛物线的函数表达式为18.解：(1)∵当x?=1,x?=2时，y?=y?, x=1t2=2,∴抛物线的对称轴为直线 -25(x-5)2+9=6,(2)令y=6,得 —15— 见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 x?=533+5,x=-53+5.解得 故B产品的最大日利润为1420元.(3)①若W?最大 =W?最大，即-500m+3970=1420, A(5-533,6),B(5+53,6) 解得m=5.1;②若w?最大>W?最大，即-500m+3970>1420, 3.8 解得m<5.1; 4.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0), ③若W?最大<W?最大，即-500m+3970<1420, 把x=10,y=280和x=14,y=120分别代入， 14+b=20 L6=60,解得 解得m>5.1. 得 又∵4≤m≤6,综上可得，为获得最大日利润： 当m=5.1时，选择A,B产品产销均可； ∴y与x的函数关系式为y= -40x+680. 当4≤m<5.1时，选择A种产品产销； (2)设这种粽子日销售利润为w元， 当5.1<m≤6时，选择B种产品产销 w=(x-8)(-40x+680) =-40x2+1000x-5 440 7.解：(1)∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点， ∴ BF=CF,AF⊥BC,AB=AC. ∵BF=x米，=-40(x-12.5)2+810. ∵-40<0,抛物线开口向下， ∴CF=x米，BC=2BF=2x米. ∴x=12.5时，w有最大值 ∵AF:BF=3:4, AF=3x米.w最大值=810.答：当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最 大，最大日销售利润是810元. 在Rt△AFB中，由勾股定理，得 5.解：(1)由题意设y=kx+b(k≠0),将(50,90),(60,80) 分别代入， AB=√AP2+BP=√(4-)+2=4((米), .AC=AB=5606+b=80 L6=140,解得 米.得 ∵点G,H分别是边 AB,AC的中点， ∴y与x之间的函数关系式为y=-x+140. ∠AFB=∠AFC=90°, (2)由题意可知40≤x≤80. FG=2AB=5g 米，设商店每月出售这种护眼灯所获的利润为W元， 则W=(x-40)y=(x-40)(-x+140)=-x2+180x- 5600=-(x-90)2+2 500. FH=2Ac=5米. ∵四边形 BCDE是矩形，-1<0,40≤x≤80, ∴当x=80时，W有最大值，最大值为2400. 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这 种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 ∴ ED=BC=2x米，BE=CD=y米. ∵BE//IJ//MN//CD, ∴BE=IJ=MN=CD=y米. ∵制造窗户框的材料总长为16米，6.解：(1)根据题意，得w?=(8-m)x-30,0≤x≤500. w?=(20-12)x-(80+0.01x2) ∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+JJ+MN+ CD=16米，= -0.01x2+8x-80,0≤x≤300. 4x+5x+5x+5x+4x+2x+2x+4y=16.(2)对于 w?=(8-m)x-30, ∵8-m>0,∴ w,随x的增大而增大. y=-gx+4,整理，得又∵0≤x≤500, ∴当x=500时，w?的值最大，W?最大=-500m+3970. 故A产品的最大日利润为(-500m+3970)元 由题意，得x>0,-g×+4>0 w?=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1520. 解得0<x<2 ∵-0.01<0,对称轴为直线x=400, ∴当0≤x≤300时，w?随x的增大而增大， ∴当x=300时，w?的值最大，W?最大=-0.01×(300- (2)SAm=-BC×AF=2×2××3×=32, Sseo=BCXB=2x×(-8×+4)=-42+8x.400)2+1520=1420. —16— 见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 设窗户的面积为W平方米， 10.19 [解析]由题意可知，A(-40,4),B(40,4),H(0, 则W=SAme+SBecon=32-142+8x =-Z2+8x=-2(x-号)+7 20),设抛物线表达式为 y= ax2+20(a≠0),将 A(-40,4)代入表达式y=a2+20,解得a=-100 ∴y=-1oo+20. 消防车同时后退10米，即抛物线 :-7<0,∴ W有最大值 当x=7 米时，W最大，最大值为3 平方米. y=-1oo+20向左平移后的抛物线表达式为y= _(x+10)“+20,令x=0,解得y=19,故答案为19. 中考集训 1.C 2.C 3.B 1.35 [解析]如答图，以点0为原点，OM所在直线为 x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则 4.C [解析]由已知可得v。=20 m/s,ho=1.5m,则h= -52+20t+1.5(t>0),其图象的对称轴为直线 p(0,4),t=-2×20-5)=2, ,抛物线的顶点坐标为(5,4).设抛物线的,图象开口向下，∴当t=2时，h最 大，为-5×22+20×2+1.5=21.5,故选C. p(0,4)解析式为y=a(x-5)2+4,将 代入，得 5.C [解析]设AB=xm,则BC=(40-2x)m.由题意知 4=a(0-5)2+4,解得a=-100抛物线的解析40-2x≤26,解得x≥7,∴ AB的长不可以为6m,故结 论①不正确；S菜因ABCD =x(40-2x).令x(40-2x)= y=-10(x-5)2+4.当y=0时，-100(x-式为192,整理，得x2-20x+96=0,解得x?=8,x?=12,经检 验，这两个根都符合题意，故结论②正确；∵ S菜图ABCD= x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,-2<0, ∴当x=10时，S案国ABcD最大，最大值为200,故结论③正 确。故选C. x?=35,x?=-3(5)2+4=0,解得 不符合题意，舍 去),:.0M=35m. yA 6.15 7.4 [解析]当y=3.05时，3.05=-0.2x2+x+2.25, 4 mp x2-5x+4=0,(x-1)(x-4)=0,解得x?=1,x?=4, 故他距篮筐中心的水平距离OH是4m. o 5m- Mx 11题答图 8.2 [解析]∵h=-5t2+20t=-5(t-2)2+20,且-5 12.解：(1)设花园平行于墙的一边长为x米，面积为y 123-米，平方米，则垂直于墙的一边长为 ∴.y=xx123-x=-32+40x <0,当t=2时，h取最大值20. 9.1 [解析]以直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于 AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，0为原点，如 答图. y =-3(x-60)2+1200, ∴当x=60时，y有最大值，最大值是1 200, C 此时1203-=20.0 士 答：当花园平行于墙的一边长为60米，垂直于墙的 一边长为20米时，花园面积最大，最大面积为1200 平方米. 9题答图 由题意可得A0=OB=3,∴ A(-3,0).又∵C(0,2), ∴可设抛物线解析式为y=ax2+2(a≠0),代入A(-3, (2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面 积为(1200-a)平方米.a=-9,0),得9a+2=0,解得 .抛物线的解析式为 由题意可得25×2a+15×2(1200-a)≤50 000, y=-9x2+2. ,y=-9×16+2=-1当x=4 时， ..水面下降4米. 解得a≤700,即牡丹最多种植700平方米， 700×2=1400(株). 答：最多可以购买1400株牡丹. —17— 见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 13.解：(1)①3 6 14.解：(1)依题意知，点P为直线 y=-0.4x+2.8与 y轴的交点 x=6②方法一：把 和 分别代入γ=ax2+bx 当x=0时，y= -0.4×0+2.8=2.8, ∴点P的坐标为(0,2.8). 2+- ∵抛物线y=a(x-1)2+3.2 经过点P,得 ∴2.8=a(0-1)2+3.2,解得a=-0.4. (2)∵OA=3,CA=2,∴0C=5. 若选择扣球，当y=0时，得-0.4x+2.8=0, 解得， 解得x=7, 此时，球的落地点到C点的距离为7-5=2. ∴y=-22+4x. 若选择吊球，由(1)知，y= -0.4(x-1)2+3.2. 当y=0时，得-0.4(x-1)2+3.2=0, 解得x?=2√2+1,x?=-2√2+1(舍), 此时球的落地点到C点的距离为 令4x=-22+4x, 解得x=0(舍),x=15 5-(2√2+1)=4-2√2. 将x=15代入y=4,得y=15, ∵4-2√2<2, ∴应选择吊球(5,8)∴点A的坐标是( 第四章 三角形 方法二：设y=a(x-4)2+8, 第14讲 线段、角、相交线与平行线 将(2,6)代入，得a(2-4)2+8=6, 基础集训 解得a=-2, 1.两点之间，线段最短 2.4 3.C 4.B 5.解：(1)81°46'.(2)82°38'54”. ∴y=-2(x-4)2+8, 6.B 7.D 8.C 9.B 综合集训 即y=-22+4a. 1.D 2.D 3.B 令4x=-2&2+4x, 4.C [解析]逐项分析如下： 选项 分析 结论 解得x?=0(舍),x2=15. 平行四边形是中心对称图形，不一定是 A 假命题 将x=15代入y=4x,得y=185, 轴对称图形 B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 假命题 (5,g)∴点A的坐标是 到一条线段两个端点距离相等的点，在 C 真命题 (2)①8(填“20”亦可) 这条线段的垂直平分线上 设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x,则3x+ ②方法一：:y=-52+u=-5(1-io)+20 D 4x+5x =180°,解得x=15°,∴ 5x= 假命题 20=8, 75°,△ABC为锐角三角形 5.C 6.30 7.90 8.90 9.105 ∴. v?=4√10,v?=-4√10(舍), 10.(1)解：∵AD//BC, ∴v=4√10.(答案写“4√10米/秒”亦可) ∴∠B+∠BAD=180°. ∵∠B=80°,∴∠BAD=100°.方法二：∵y=-5t2+vt图象的顶点纵坐标为8, 4×(-5)-×0-2=8, (2)证明：∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=50°. ∵AD//BC,∴∠AEB=∠DAE=50°% ∵∠BCD=50°, ∴∠AEB=∠BCD,∴ AE//DC. ∴.v?=4√10,v?=-4√10(舍), ∴.v=4 √10.(答案写“4 √10米/秒”亦可) —18— 巾春123 第13讲。 二次函数的实际应用 基础集训 [答案P15] ⊙命题点1应用二次函数解决抛物线实际问题 类型一隧道和拱桥问题 1.(2024·哈尔滨模拟)如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m,涵 洞顶点O与水面的距离C0是2m,则当水位上升1.5m时，水面的宽度为( A.0.4m B.0.6m C.0.8m D.1m 1题图 2.(2024·大连模拟)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图，线段OE表示水平的路面，以0为坐标 原点，以OE所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要 求：OE=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式： (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知 点A,B到OE的距离均为6m,求点A,B的坐标 y/m A 0 x/m 2题图 类型二运动轨迹问题 3.(2024·重庆二模)如图，水池中心点0处竖直安装一水管.水管喷头喷出抛物 高度/m 线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 0在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m: 2.5 喷头高4m时，水柱落点距O点3m,那么喷头高 m时，水柱落点距O 点4m 0 2.534落点/m 3题图 -61- ⊙命题点2利润最大化问题 类型一顶点处取最值 4.(2024·天津二模)端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的棕子，销售过程中发现：日销量 y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？ +/袋 280- 120 0 1014x(元/每袋) 4题图 类型二不在顶点处取最值 5.(2024·沈阳模拟)商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销 售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应 数据如下表所示： 销售单价x/元 50 60 70 月销量y/台 90 80 70 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ —62 见业图际合抖倍微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无枕、， 第三章函数 类型三在自变量不同取值范围内求最值 6.(2024·绥化模拟)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件.已知A产品 成本价为m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专 利费30元：B产品成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2. (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为W,元，2元，请分别写出W,2与x的函数关系式，并写出 x的取值范围： (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润：(A产品的最大日利润用含m的代数式表示) (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由。 【利润=（售价-成本）×产销数量-专利费】 ⊙命题点3几何图形面积问题 7.(2024·长春模拟)某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC,AF:BF=3:4, 点G,H,F分别是边AB,AC,BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥II∥MN∥CD,制造窗户 框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米 (1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围： (2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积 G 7题图 63— 数学·精练本1 见此图际二判音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 中考集训 [答案P17J 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.(2024·自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边 靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠 墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是 () A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 LEEE4z4846446444644464442 菜园 方案1 方案2 方案3 1题图 5题图 2.(2024·丰台区)向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y=a2+bx+c (α≠0)，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是() A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒 3.(2024·无锡)某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数 (间)与定价x(元/间)之间满足y=子-42(x≥168)，若宾馆每天的日常运营成本为50元，有客 人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客 人得到实惠，应将房间定价确定为 A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 4.(2023·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h= -52+t+h。表示，其中h(m)是物体抛出时离地面的高度，(m/s)是物体抛出时的速度.某人将 一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为 () A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m 5.(2024·天津)如图，要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的 三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m:②AB的长有两个 不同的值满足菜园ABCD面积为192m2:③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个 数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（每小题5分，共30分） 6.(2023·沈阳)如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知 房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB= m时，羊圈的面积最大 6题图 7题图 8题图 7.(2024·连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入 篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是 m —64 8.(2024·甘肃)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一 条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关 系：h=-52+20t,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t= 8 9.(2024·广安)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面 宽8米. H 2米 B 6米 9题图 10题图① 10题图② 10.(2023·长春)2023年5月28日，C919商业首航完成一一中国民航商业运营国产大飞机正式起步. 12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别 的礼仪).如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似 看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时，两条水 柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A,B距地面均为4米.若两辆消防 车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A',B到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇 点H'距地面 米 11.(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP 是子m,出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 P 4 m 0 -5m 5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则OM的长为 m. 11题图 三、解答题（共45分） 12.(15分)(2024·琦泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足 够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A,B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已 定购篱笆120米 (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积： (2)在花园面积最大的条件下，A,B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株 售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 12题图 65 13.(15分)(2024·江西)如图，一小球从斜坡点0以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 y=㎡2+x(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=子刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行 的高度y(米)的变化规律如下表： 0 4 5 6 4 (1)①m= ,n= ②2小球的落点是A,求点A的坐标： (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间（秒）满足关系：y=-52+以. ①小球飞行的最大高度为 米； ②求v的值 y米 小球 斜坡 0 x米 13题图 14.(15分)新考法(2023·河南)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛 球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析 如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m,CA=2m,击球点P在 y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8: 若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2. (1)求点P的坐标和a的值； (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计 算判断应选择哪种击球方式 y=aa-1)243.2 y=0.4x+2.8,B 0 C 14题图 -66