精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意率项： 1． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2． 本卷共9题， 每小题4分， 共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆 的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线的实轴长为，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 5. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是 A y2=﹣8x B. y2=8x C. y2=﹣4x D. y2=4x 6. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 过双曲线 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为，若(O是坐标原点) ， 则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k= A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 11. 点到直线距离为_______ 12. 在平面直角坐标系中， 三点共线，则实数a的值为_______． 13. 已知直线经过，则该直线过定点_______． 14. 已知圆经过点和，且圆心在直线上，则圆的标准方程是_______． 15. 设O为坐标原点，F1、F2是焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分． 解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知、为直线上两点， 直线:. （1）求直线的方程； （2）若 ，求直线与之间的距离． 17. 已知直线与圆C：相切与点P. （1）求切点P的坐标； （2）过P点直线的与圆C值交于另一点Q，若线段PQ的长度为2，求直线的方程. 18. 已知椭圆的右焦点为，长轴为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且. （1）求椭圆C的方程； （2）设点P是椭圆C上一个动点，且点P在y轴右侧，直线PA，PB与直线交于M，N两点，若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求点P横坐标的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意率项： 1． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2． 本卷共9题， 每小题4分， 共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，根据公式即可求出倾斜角. 【详解】易知直线的斜率，所以， 又因为，所以. 故选：B. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 3. 圆 的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆一般方程化成标准方程，得到圆心坐标. 【详解】由. 所以圆心坐标：. 故选：C 4. 若双曲线的实轴长为，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 5. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是 A. y2=﹣8x B. y2=8x C. y2=﹣4x D. y2=4x 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得． 解：∵准线方程为x=﹣2 ∴=2 ∴p=4 ∴抛物线的方程为y2=8x 故选B 点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握． 6. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程有，结合椭圆定义求到另一个焦点的距离. 【详解】由椭圆方程知，根据椭圆定义，到另一个焦点的距离为. 故选：D 7. 已知点则以线段AB为直径圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解 【详解】因为AB为直径， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故选：C 8. 过双曲线 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为，若(O是坐标原点) ， 则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性可知,在直角三角形中，利用三角函数即可求出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题意知，根据双曲线及圆的对称性可知， 直角三角形中，， 所以，即， 故选：B 9. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. 设交点的横坐标分别为xA,xB, 则xA+xB=-4,① xA·xB=4. 又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2, |FA|=2|FB|, ∴2xB+4=xA+2. ∴xA=2xB+2.② ∴将②代入①得xB=-2, xA=-4+2=-2. 故xA·xB==4. 解之得k2=. 而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 11. 点到直线的距离为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式直接计算可得结果. 【详解】由点到直线距离公式计算可得. 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中， 三点共线，则实数a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由三点共线可得向量共线，根据向量共线的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意得， 因为三点共线，故共线， 所以， 故答案为：2 13. 已知直线经过，则该直线过定点_______． 【答案】 【解析】 【分析】将直线化为，即可确定定点坐标. 【详解】由可化为，即直线恒过点. 故答案为： 14. 已知圆经过点和，且圆心在直线上，则圆的标准方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出圆心坐标，根据可求出圆心，继而得出半径求出方程. 【详解】因圆心在直线上，所以设圆心， 因为点，是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有 ，解得． 所以，圆心，圆的半径 所以，所求圆的方程为， 故答案为：. 15. 设O为坐标原点，F1、F2是的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】 假设，分别根据三角形中线定理和余弦定理建立等式求得，可得和的关系，即可求出双曲线的离心率 【详解】解：不妨设在左支上，，则， 因为是三角形的中线， 所以根据三角形中线定理可得， 整理得， 由余弦定理得，， 整理得， 所以，化简得， 所以， 故答案为： 三、解答题：本大题共4个小题，共40分． 解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知、为直线上两点， 直线:. （1）求直线的方程； （2）若 ，求直线与之间的距离． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用两点式写出直线的方程. （2）根据两直线平行，利用两平行线的距离公式求直线与之间的距离. 【小问1详解】 因为直线过点、，所以直线的方程为： ，即. 【小问2详解】 因为：，也就是， 又，所以直线与之间的距离为： . 17. 已知直线与圆C：相切与点P. （1）求切点P的坐标； （2）过P点直线的与圆C值交于另一点Q，若线段PQ的长度为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）过切点和圆心的直线与切线垂直，从而得到过切点和圆心的直线方程，两直线交点即为切点； （2）讨论斜率存在和不存在两种情况，斜率不存在时得出直线方程联立方程组求出另一个交点，验证两点间距离是否为2，在下结论；斜率存在时，设出直线方程，由垂径定理建立方程求得斜率，写出直线方程. 【小问1详解】 由题意得：，圆心，半径， 因为，所以， 所以，所以，即， 联立方程得，， 所以. 【小问2详解】 直线斜率不存在时，， 联立方程得，或， 所以，所以，所以； 直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 又因为，所以， 所以，解得，所以； 综上，直线：或. 18. 已知椭圆的右焦点为，长轴为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知建立方程组联立即可求解； （2）设出直线的方程以及点的坐标，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出点的坐标，再由向量的平行四边形法则求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出直线的斜率. 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所以椭圆的方程为; 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 可设直线的方程为,, 联立方程,消去整理可得：， 则， 所以，所以点的坐标为， 在平行四边形中，有， 设点的坐标为，所以点的坐标为， 又因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以直线的斜率为. 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且. （1）求椭圆C的方程； （2）设点P是椭圆C上一个动点，且点P在y轴右侧，直线PA，PB与直线交于M，N两点，若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求点P横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率求解，即得答案； （2）设，利用直线PA，PB的方程求出点M，N的坐标，从而求出以MN为直径的圆的方程，根据该圆与x轴有两个交点，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知椭圆与y轴交于A，B两点，且， 故； 椭圆离心率为，即， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 设， ，则直线PA的方程为， 同理直线PB的方程为， 故直线PA与直线的交点为， 直线PB与直线的交点为， 故线段MN的中点坐标为， 则以MN为直径的圆的方程为， 令，则， ，代入上式得，即， 由于以MN为直径的圆与x轴交于两点，则方程有两实数根， 故，结合，解得， 即点P横坐标的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题是关于椭圆的方程的求解以及直线和椭圆的位置关系类问题，解答的关键是求解P点横坐标范围问题，解答时要利用直线方程求出相关点坐标，从而求出以MN为直径的圆的方程，结合该圆和x轴相交求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$