精品解析：江苏省南通市海门区东洲国际学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

江苏省南通市海门区东洲国际学校2024学年度九年级 期中考试卷数学卷 (全卷满分150分 考试时间120分钟) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（　　） A. 原命题和逆命题都是真命题 B. 原命题和逆命题都是假命题 C. 原命题是真命题，逆命题是假命题 D. 原命题是假命题，逆命题是真命题 3. 计算 的结果是（　　） A. B. C. D. 4. 下列事件中，①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 5. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 解方程时，若设，则原方程可化为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（） A. B. 8 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．例如：点的坐标为，则点的坐标为，…；若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（11-13每小题3分，14-18题每小题4分，共29分） 11. 分解因式：a3－a=___________ 12. a是有理数，且a的平方等于a的立方，则a是_________． 13. 若正比例函数（k是常数，）的图象经过第二、四象限，则的值可以是_______(写出一个即可). 14. 关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 15. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 16. 如图，的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，，射线CD绕点C旋转，与量角器外沿交于点D，若射线CD将分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是______． 17. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 18. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 三、解答题(共91分) 19. 计算 （1）； （2）解下列方程：； （3）先化简，后求值：，其中，． 20. 2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 频率分布表 分数段 频数 频率 50.5～60.5 16 0.08 60.5～70.5 40 0.2 70.5～80.5 50 0.25 80.5～90.5 m 0.5 90.5～100.5 24 n （１）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n ； （２）补全频数分布直方图； （３）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 21. 如图，分别是三边中线，交于点，，．求证：四边形是平行四边形． 22. 平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将平行四边形沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上； （3）求的面积． 23. 阅读材料，解答问题． 当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如①，有②，∴抛物线的顶点坐标为，即 当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化． 把③代入④，得．⑤ 可见，不论取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式． 解答问题： （1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是_____，其中运用了_____公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是_____． （2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式． 24. 如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点． （1）求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心； （2）如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长． 25. 如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y． （1）当x为何值时，直线AD1过点C？ （2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？ （3）求出y与x的函数表达式． 26. 如图，已知二次函数y＝ax2－2x+c经过点A(－3，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，直线y＝kx－与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D． （1）求二次函数解析式和一次函数解析式； （2）已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标； （3）记抛物线点A与点C之间的图象为U(不包括点A和点C)，若将直线BE向上平移h(h＞0)个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区东洲国际学校2024学年度九年级 期中考试卷数学卷 (全卷满分150分 考试时间120分钟) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了自变量和函数值：求自变量的取值范围以及分式有意义，根据得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2. 把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（　　） A. 原命题和逆命题都是真命题 B. 原命题和逆命题都是假命题 C. 原命题是真命题，逆命题是假命题 D. 原命题是假命题，逆命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】写出该命题的逆命题，结合“算术平方根的意义”分别判断出原命题和逆命题的真假性即可确定四个选项中说法的正误了. 【详解】解：∵命题“如果，则”在“是负数时，不成立”， ∴原命题是假命题； ∵命题“如果，则”的逆命题“若，则”是真命题， ∴该题中，原命题的逆命题是真命题. 即在该题中，“原命题”是假命题，“逆命题”是 真命题. 故选D. 【点睛】能由“原命题”写出“逆命题”并结合“算术平方根的意义”判断出命题的真假，是解答本题的关键. 3. 计算 的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列事件中，①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法． 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：①一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； ②③④可能发生，也可能不发生，属于随机事件，符合题意． 故选：C． 5. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4， 故选：C． 考点：反比例函数k的几何意义． 6. 解方程时，若设，则原方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选B． 7. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4． 设⊙O的半径为r，则OC=r－2， 在Rt△AOC中，∵， ∴，即，解得r=5． ∴． 连接BE， ∵AE是的直径，∴∠ABE=90°． 在Rt△ABE中，∵，∴． 在Rt△BCE中，∵，∴． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（-3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值． 试题解析：如图所示， ∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O， ∴⊙P的半径是1， 若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（-3，0），点B（0，）， ∴OA=3，OB=， 由勾股定理得：AB=2，∠DAM=30°， 设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′）， ∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°， ∴AM=2，M点的坐标为（-1，0），即对应的P′点的坐标为（-1，0）， 同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（-5，0）， 所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是-2，-3，-4共三个． 故选C． 考点：1．直线与圆的位置关系；2．一次函数的性质． 9. 如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考二次函数图象与系数之间的关系，解决问题的关键是利用对称轴求与的关系，以及二次函数特殊值的运用． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与或进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A、由函数图象开口向下可知，，由图象与轴的交点在轴正半轴可知，，由对称轴，，可知， 所以，故A选项错误，不符合题意； B、当时，对应得到，故B选项错误，不符合题意； C、由图象知：当时，， ∴，故C选项错误，不符合题意； D、由对称轴得，又，代入得， ∴得，故D正确，符合题意； 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．例如：点的坐标为，则点的坐标为，…；若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查点坐标规律探究，根据定义分别求出，，，，…，得到点坐标的规律，由此得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，，，， …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为； 故选B． 二、填空题（11-13每小题3分，14-18题每小题4分，共29分） 11. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 12. a是有理数，且a的平方等于a的立方，则a是_________． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算：平方和立方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵a是有理数，且a的平方等于a的立方， ∴ ∴或 故答案为：0或1． 13. 若正比例函数（k是常数，）的图象经过第二、四象限，则的值可以是_______(写出一个即可). 【答案】k<0，只要符合条件的k值都可，例如k=-1. 【解析】 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限,根据正比例函数的性质可得k<0，只要符合条件的k值都可，例如k=-1. 14. 关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式，根据题意可得关于m的不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：，且， 故答案为：，且． 15. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 【答案】 【解析】 【详解】延长BA与y轴交于点C,根据反比例函数k的几何意义可得: ,所以. 故答案为：． 16. 如图，的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，，射线CD绕点C旋转，与量角器外沿交于点D，若射线CD将分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形理由圆周角定理计算即可解决问题； 【详解】设交AB于E，设AB的中点为O，连接当，此时，易知， 点在量角器上对应的度数是； 设交AB于F，连接，当时，， 易知， 点在量角器上对应的度数是； 故答案为或 【点睛】考查圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 【答案】m＞9 【解析】 【分析】 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴∆＜0，即， 解得. 故答案为m＞9． 18. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 【答案】2 【解析】 【详解】根据题意，得 C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）； C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）； C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）； C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）； …… C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）． 对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2， 故答案为2． 三、解答题(共91分) 19. 计算 （1）； （2）解下列方程：； （3）先化简，后求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简，二次根式加减混合运算，解分式方程，分式的化简求值． （1）先去括号，再将各二次根式化简成最简二次根式，最后合并即可； （2）先将方程两边同乘，再解整式方程，然后检验是否是原方程的解即可； （3）先将原分式方程化简，然后代入，计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 去分母得：， 去括号得：， 解得， 经检验是原方程的解； 【小问3详解】 解： ， 当，时，原式． 20. 2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 频率分布表 分数段 频数 频率 50.5～60.5 16 0.08 60.5～70.5 40 0.2 70.5～80.5 50 0.25 80.5～90.5 m 0.5 90.5～100.5 24 n （１）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n ； （２）补全频数分布直方图； （３）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 【答案】解：（１）200；70；0.12． （２）由（１）知，80.5～90.5分数段的人数m =70，据此补全频数分布直方图如下： （３）∵， ∴该校安全意识不强的学生约有420人． 【解析】 【详解】（１）由分数段的50.5～60.5频数、频率可求样本总数：；从而得，． （2）根据m =70补全频数分布直方图． （3）求出样本中成绩在70分以下（含70分）的百分比，用样本估计总体． 21. 如图，分别是三边中线，交于点，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是中点， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定及性质，中位线性质等．根据题意连接，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形性质可得，再证明四边形是平行四边形，继而得到，，再利用中位线性质即可得到本题答案． 【详解】略 22. 平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将平行四边形沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） ，， ， 四边形为平行四边形， ， 而点坐标为， 点坐标为， 平行四边形和平行四边形关于轴对称， 的坐标为， ， 点在双曲线上； （3）18 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和轴对称、中心对称的性质；会运用图形与坐标的关系计算线段的长和三角形面积公式． （1）根据反比例函数图象点的坐标特征把点坐标代入，求出的值即可确定反比例函数解析式； （2）先计算出，再根据平行四边形的性质得，则可确定点坐标为，然后根据关于轴对称的点的坐标特征得的坐标为再根据反比例函数图象点的坐标特征判断点在双曲线上； （3）由于点坐标为，的坐标为，则点和点关于原点中心对称，根据中心对称的性质得点、、共线，且，然后利用进行计算． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图， 点坐标为，的坐标为， 点和点关于原点中心对称， 点、、共线，且， ． 23. 阅读材料，解答问题． 当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如①，有②，∴抛物线的顶点坐标为，即 当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化． 把③代入④，得．⑤ 可见，不论取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式． 解答问题： （1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是_____，其中运用了_____公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是_____． （2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式． 【答案】（1）配方法、完全平方、消元法． （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握配方法、消元法等数学方法成为解题的关键． （1）①到②是运用配方法将将抛物线一般式化为顶点式，③④得到⑤则采用了将m消去的数学方法，据此即可解答； （2）先用配方法将抛物线的一般式写成顶点式，从而得出顶点坐标，用x代替m，可得顶点纵坐标y与横坐标x之间的表达式． 【小问1详解】 解：在上述过程中，由①到②所用的数学方法是配方法，其中运用了完全平方公式．由③、④得到⑤所用的数学方法是代入消元法． 故答案为：配方法、完全平方、消元法． 【小问2详解】 解：由， ∴抛物线的顶点坐标为， 即，消去m，可得：． 24. 如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点． （1）求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心； （2）如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，，取的中点，连接，， ∵点E、F分别为边的中点， ，， ，， ， ， ， 点，，，在同一个圆上，圆心是图中中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查轨迹、点与圆的位置关系、作图复杂作图等知识． （1）如图，连接，，，取的中点，连接，．利用垂径定理证明，由，推出即可解决问题； （2）如图，连接．由，推出，推出点的运动轨迹是以为直径的半圆，由此即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，，取的中点，取的中点，取的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，，， ∴，，三点共线，且， ， ， 在点B从点M运动到点N的过程中，点的运动轨迹是以为直径的半圆， ∵的直径， ∴， 点的运动路径的长． 25. 如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y． （1）当x为何值时，直线AD1过点C？ （2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？ （3）求出y与x的函数表达式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可； （2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可； （3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可． 试题解析：解：（1）如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC==，CD1=﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过点C； （2）如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE==，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过BC的中点E； （3）①如图3，当0＜x≤2时，y=x； ②如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a=，所以y==． 综合上述，． 点睛：本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，用了分类推理思想． 26. 如图，已知二次函数y＝ax2－2x+c经过点A(－3，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，直线y＝kx－与抛物线交于点B、E，与y轴交于点D． （1）求二次函数解析式和一次函数解析式； （2）已知点C与点F关于抛物线的对称轴对称，求点F的坐标； （3）记抛物线点A与点C之间的图象为U(不包括点A和点C)，若将直线BE向上平移h(h＞0)个单位，与图象U恰有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】（1）， （2）(-2，3) （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，进而可以求出点B的坐标，代入点B求一次函数解析式； （2）利用二次函数对称轴，可求出该二次函数的对称轴，根据函数的对称性即可求出点F的坐标； （3）根据一次函数平移的规律口诀（上加下减相对于b，左加右减相对于x），直线BE向上平移，当经过点A时为最小平移情况；当经过C时为最大平移情况；当经过抛物线顶点时即相切，恰有一个公共点，进而求出h的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数y=ax2-2x＋c经过点A(-3，0)，C(0，3)，则 解得： ∴二次函数解析式为 ∴把y=0代入 即 解得：或-3 ∴点B的坐标为（1，0） 代入一次函数 即 解得： ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得：二次函数的对称轴为 ∵点C与点F关于关于抛物线的对称轴对称 ∴点F的坐标为(-2，3)； 【小问3详解】 解：由题知，由函数平移规律可得： ①当直线BE不与抛物线相切时， 当一次函教向上平移h个单位后，新函数为 当新函数经过点A时，为最小平移情况 代入A(-3，0)得， 解得：； 当新函数经过点C时，为最大平移情况 代入C(0，3)得， 解得： ∴h的取值范围为； ②当直线BE与抛物线相切时， 方程，即 有两个相等的实数根 ∴△=0 即 解得： 综上所述：h的取值范围为，． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，一次函数的图象与几何变换，解二元一次方程等知识，综合性强．解题的关键是平移后一次函数的图象与二次函数交点的讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $