精品解析：河北省唐山市滦州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则锐角α的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：，， ， 故选：D． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用设k法求解更简便． 根据已知条件得出，设，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， 设，， ； 故答案为：D． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：依题意可得，， 解得， 故选：B． 4. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数的定义列出代数式即为本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 他漏掉的解是． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 6. 如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段，列出比例式求出的长，再根据两点间的距离公式求出点B在数轴上表示的数即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，， ∴， ∴， ∴点所表示的数为：； 故选C． 7. 如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握等腰三角形的性质和三角形的周长，直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 过点A作，先利用，，求得，再利用三角形的周长公式求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：过点A作，垂足为D， ∵，， ∴， ∵是周长为36的等腰三角形， ∴， 在中， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似． 【详解】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意； 、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 故选：． 9. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则整数k的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 且， 整数的最小值为4， 故选：B． 10. 如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 11. 五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据.若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和可能是（ ）. A. 20 B. 28 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【详解】∵中位数是6，唯一众数是7. ∴最大的三个数的和是：6+7+7=20，两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5， ∴五个数的和一定大于20且小于等于29. 故选B. 点睛：本题是一道关于中位数和众数的题目，解题的关键是掌握中位数和众数的定义；根据中位数和众数的定义可知，最大的三个数的和是：6+7+7=20；两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而得出答案. 12. 如图，在中，，，，点D在边上，且，E为边上的动点（点E不与点B重合），将沿直线折叠得到．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：当时，； 结论Ⅱ：点到的距离的最小值是 A. 只有Ⅰ对 B. 只有Ⅱ对 C. Ⅰ、Ⅱ都对 D. Ⅰ、Ⅱ都不对 【答案】A 【解析】 【分析】证明，得到，进而得到，判断Ⅰ，过点作，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，证明，列出比例式，求出，进而得到，判断Ⅱ． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴；故Ⅰ正确； 过点作，连接， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即点到的距离最小，如图， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴点到的距离的最小值是，故Ⅱ错误； 故选A 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，折叠的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，以及勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 某校6位同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，88，90，92，95，97．这组成绩的中位数是____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求中位线，将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，将数据排序后，位于中间两位的数据为：90，92， ∴中位数为：； 故答案为：． 14. 解一元二次方程，配方得到，则的值为________ 【答案】2 【解析】 【分析】先移项，再将左侧变形为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故， 故答案为：2． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 15. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为，边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 16. 已知关于x的一元二次方程．若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则m的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式、三角形三边关系等知识．根据题意得，求得m的取值范围，分情况讨论：当腰为3时，把代入方程求解，当底边为3时，方程的两根相等，得，求解即可，注意验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：根据题意得，解得， 当3是腰时，3是方程的一个根， 把代入方程得，解得， 此时方程为， 解得， 即方程的另一根为5， ∵， ∴等腰三角形存在； 即满足题意； 当3是底边长，即两腰都是方程的根时，即方程有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程为， 解得， ∵， ∴等腰三角形存在， 即满足题意， 综上所述，或． 故答案为：或． 17. 按要求解下列方程． （1）用因式分解法解：； （2）用公式法解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用提取公因式分解方程的左边，然后求解即可； （2）先用根的判别式判别一元二次方程根的情况，然后再根据求根公式解答即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 18. 如图，四边形四边形． （1）_________度； （2）求边x，y的长． 【答案】（1）70 （2）， 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题． （1）由相似多边形对应角相等，可得，再根据四边形内角和为即可求解； （2）根据相似多边形对应边长成比例，可得，代入数值即可求解． 【小问1详解】 解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； 【小问2详解】 解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 19. 中秋节是中国的传统节日，民间有中秋节吃月饼的习俗．在中秋节来临之际，某校八、九年级开展了一次制作月饼的活动，对学生参与活动的情况按100分制进行评分．成绩（单位：分）均为不低于60的整十数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取20名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制了如下不完整的统计表和如图所示的统计图．已知九年级20名学生活动成绩的中位数为85分． 九年级20名学生活动成绩统计表 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 2 3 a b 5 （1）_____，______； （2）若认定活动成绩不低于90分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1）5，5 （2）优秀率高的年级不是平均成绩也高， 理由如下， 八年级优秀率为，平均成绩为：， 九年级优秀率为，平均成绩为：， 优秀率高的年级为九年级，但平均成绩八年级更高， 优秀率高的年级不是平均成绩也高． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义，得出第10名学生为80分，第11名学生为90分，进而求得，的值，即可求解； （2）分别求得八年级与九年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：八年级20名学生活动成绩的中位数为85分， 第10名学生为80分，第11名学生为90分， ， ； 故答案为：5，5． 【小问2详解】 略 20. 如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． （1）求窗户的高度（的长）； （2）如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 【答案】（1）窗户的高度为米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用． （1）由题意得，利用平行线分线段成比例定理即可求解； （2）由题意得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据，求解即可． 【小问1详解】 解：∵阳光是平行线，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴，解得(米)， 答：窗户的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴(米)， 答：米． 21. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． （1）______度； （2）求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 【答案】（1） （2）杨树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度及仰角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据坡度得出，即可求解； （2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解． 【小问1详解】 解：斜坡的坡度为， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作的垂线，交于点，如下图： ，即， 解得：， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 解得：（米）， 答：杨树的高度为米． 22. 校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； 【小问2详解】 解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 23. 在中，，P是线段延长线上的一个动点，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）如图1，当时 ①与_____相似，； ②求证：； ③已知，求与之间的数量关系； （2）如图2，当时，②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明，并求与之间的数量关系；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①， ②由①知：，， ∴，， ∴， ∴； ③ （2）成立， 证明如下： ∵， ∴， ∵将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）①证明，得到即可； ②根据，结合，证明； ③根据，列出比例式求解即可； （2）成立，根据时，，均为等腰直角三角形，推出，根据角的和差关系，推出，证明，列出比例式求出与之间的数量关系即可． 【小问1详解】 解：①， ∴， ∵将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ② 略 ③∵， ∴ 【小问2详解】 略 24. 在矩形中，，E为边上一点（不与点A，B重合），将矩形沿折叠，使点B落在点F处． 【观察发现】 （1）如图，当分别与交于点G，H时，写出一个与相似的三角形，并进行证明； 【迁移探究】 （2）如图，当与的交点H恰好是的中点时，求阴影部分的面积； 【拓展应用】 （3）当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长． 【答案】（1）或（写出一个即可）（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）由，，可得，故，从而； （2）由点是的中点，得，，故，证明，可得，，根据三角形面积公式得阴影部分的面积是； （3）分两种情况：①设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，求出，，设，则，证明，可得，即可解得；②设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在直线上时，求得，得，，故，根，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点， ， ， ， ， ， 故答案为：或（写出一个即可）； （2）解：点是的中点， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， 阴影部分的面积是； （3）解：①设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，如图所示： ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，即，解得； ； ②设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在直线上时，如图所示： ，，， ， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ； 综上所述，当点的对应点落在矩形的对称轴上时，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系及三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则锐角α的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 4. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 9. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则整数k的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ） A. B. C. D. 11. 五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据.若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和可能是（ ）. A. 20 B. 28 C. 30 D. 31 12. 如图，在中，，，，点D在边上，且，E为边上的动点（点E不与点B重合），将沿直线折叠得到．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：当时，； 结论Ⅱ：点到的距离的最小值是 A. 只有Ⅰ对 B. 只有Ⅱ对 C. Ⅰ、Ⅱ都对 D. Ⅰ、Ⅱ都不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 某校6位同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，88，90，92，95，97．这组成绩的中位数是____分． 14. 解一元二次方程，配方得到，则的值为________ 15. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 16. 已知关于x的一元二次方程．若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则m的值为_____． 17. 按要求解下列方程． （1）用因式分解法解：； （2）用公式法解：． 18. 如图，四边形四边形． （1）_________度； （2）求边x，y的长． 19. 中秋节是中国的传统节日，民间有中秋节吃月饼的习俗．在中秋节来临之际，某校八、九年级开展了一次制作月饼的活动，对学生参与活动的情况按100分制进行评分．成绩（单位：分）均为不低于60的整十数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取20名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制了如下不完整的统计表和如图所示的统计图．已知九年级20名学生活动成绩的中位数为85分． 九年级20名学生活动成绩统计表 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 2 3 a b 5 （1）_____，______； （2）若认定活动成绩不低于90分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 20. 如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． （1）求窗户的高度（的长）； （2）如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 21. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． （1）______度； （2）求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 22. 校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 23. 在中，，P是线段延长线上的一个动点，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）如图1，当时 ①与_____相似，； ②求证：； ③已知，求与之间的数量关系； （2）如图2，当时，②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明，并求与之间的数量关系；若不成立，请说明理由． 24. 在矩形中，，E为边上一点（不与点A，B重合），将矩形沿折叠，使点B落在点F处． 【观察发现】 （1）如图，当分别与交于点G，H时，写出一个与相似的三角形，并进行证明； 【迁移探究】 （2）如图，当与的交点H恰好是的中点时，求阴影部分的面积； 【拓展应用】 （3）当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $