精品解析：广东省汕头市潮南区陈店实验2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期九年级数学科期中测试卷 内容包括：第二十一章——第二十三章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 方程x2＝2x的解是（　　） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 都不是 【答案】C 【解析】 【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程移项得：x2﹣2x＝0， 分解因式得：x（x﹣2）＝0， 解得：x＝0或x＝2， 故选C． 【点睛】考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 3. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 4. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式，顶点坐标是，即可得出答案． 【详解】， 抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为，即． 故选：B 6. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为轴， 关于轴对称的点为， 该图象必过点， 故选：B． 7. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：依题意可得，， 解得， 故选：B． 8. 若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（ ） A. ， B. ，5 C. 4， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与比较可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选A． 9. 已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】把x＝3代入已知方程求得a的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【详解】解：把x＝3代入方程得：， 解得a＝9， 则原方程为， 解得：， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为3，底边为6时，不符合三角形三边关系 ②当△ABC的腰为6，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为6＋6＋3＝15， 综上所述，△ABC的周长为15． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系． 10. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题） 11. 若点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．利用关于原点对称点的性质得出m，n的值进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为： 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程硍的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得． 【详解】∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 13. 为积极响应国家“双减”政策、太原市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益学生3.63万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益学生3.63万人次”列出方程，即可求解． 【详解】解：设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，列方程为， 故答案为：． 14. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是________ （填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化，先分别求出前4次旋转结束时，点C的坐标，再根据变化规律求值即可 【详解】解：∵，且点C为的中点， ∴点C的坐标为，即， 根据题意有， 第1次旋转结束时点C的坐标为； 第2次旋转结束时点C的坐标为： 第3次旋转结束时的坐标为； 第4次旋转结束时点G的坐标为；　　 第5次旋转结束时点C的坐标为； ⋯⋯⋯ 所以，每旋转4次，回到原来的位置， 所以，第2026次旋转结束时点的坐标为， 故答案为： 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）先方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ，，， ∴， ， ，． 17. 如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合． （1）旋转中心是点______，旋转了______度； （2）如果 ，求：四边形的面积． 【答案】（1）A，90 （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转中心定义，旋转角定义，旋转性质，是解决问题的关键． （1）由旋转知，旋转中心是点A，旋转角是， （2）设正方形边长为x，由旋转知，，，根据，得到，根据，得到． 【小问1详解】 解：∵正方形中，，经顺时针旋转后与重合， ∴旋转中心是点A，旋转角是， 故答案为：A，90 【小问2详解】 解：设正方形边长为x， 由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，抛物线与轴交于点． （1）的值为______； （2）当满足时，则的取值范围是______； （3）当满足______时，． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）把代入，求出的值即可； （2）根据二次函数的增减性结合函数图象，求出当时，y的取值范围即可； （3）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，；当时，， 又抛物线开口向下， 所以，当x满足时，y的取值范围是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：令，则， 解得或3， 从图象看，当时，抛物线在x轴上方，即； 故答案为：； 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． 将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为 （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用旋转变换的性质分别找到点的对应点即可； （）由（1）中的作图写出坐标即可； （3）利用网格求三角形面积即可； 本题考查了旋转作图，坐标与图形，三角形的面积，掌握旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）图可得，点的坐标为； 【小问3详解】 解：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【答案】（1）降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用. （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． 【小问2详解】 解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． （1）求，满足的关系式及的值； （2）当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； （3）当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 【答案】（1）， （2） （3）当时，有最大值是 【解析】 【分析】（1）在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答； （2）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答； （3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案． 【小问1详解】 解：直线中，当时，， ， 当时，， ， ， 将，代入抛物线中，得： ， ，； 【小问2详解】 解：如图1，当时，， ， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴是：， 由对称性可得， 要使的周长最小，只需最小即可， 如图1，连接交直线于点， 因为点与点关于直线对称，由对称性可知：， 因为两点之间线段最短，所以此时的周长最小， 所以的周长最小值为， 中，， 中，， 周长的最小值为； 【小问3详解】 解：当时，， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键． 23. 如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： （1）如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． （2）如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【答案】（1）①，； ②，仍然成立，理由： ∵，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） 解：当时，，理由： 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 则， ， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 同理可得：， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，时，． 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质得到，推出，得到，得到，，得到，；②根据等腰直角三角形性质得到，推出，推出，得到，，得到，即得； （2）当时，．分当与当，两种情况讨论，过点A作交的延长线于点F，证明，得到， 即，即可证明． 【小问1详解】 解：①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期九年级数学科期中测试卷 内容包括：第二十一章——第二十三章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程x2＝2x的解是（　　） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 都不是 3. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 7. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 8. 若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（ ） A. ， B. ，5 C. 4， D. ， 9. 已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15 10. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题） 11. 若点与点关于原点对称，则______． 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 13. 为积极响应国家“双减”政策、太原市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益学生3.63万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为__________． 14. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是________ （填“<”、“>”或“=”）． 15. 如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为____． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合． （1）旋转中心是点______，旋转了______度； （2）如果 ，求：四边形的面积． 18. 如图，抛物线与轴交于点． （1）的值为______； （2）当满足时，则的取值范围是______； （3）当满足______时，． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． 将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为 （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求m的值． 21. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． （1）求，满足的关系式及的值； （2）当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； （3）当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 23. 如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： （1）如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． （2）如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $