专题01巧用圆的基本性质解圆的五种关系（五种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题01巧用圆的基本性质解圆的五种关系 （五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01弦、弧之间的关系 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．    【例1-3】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，连接，，则 （填“”，“ ”或“” ． 【变式1-3】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 题型02圆心角、圆周角之间的关系 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，三点在上，．则 ． 【例2-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，，，都是的弦，且，求证：． 【变式演练】 【变式2-1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，为的直径， 内接于，，交于点E．    (1)求的度数； (2)若点E为中点，，求的长． 题型03弧、圆周角之间的关系 【典例分析】 【例3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的内接三角形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点、、都在上，，，的度数 ． 【例3-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）在中，是直径，弦，垂足为点E，连结． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，，为直径，弦，分别交半径，于点G，H，且．    (1)求证：． (2)若，且，求的度数． 题型04弦、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【例4-2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 【例4-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（20-21九年级上·广东广州·期中）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    【变式4-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，于点，于点．求证：． 题型05弦、弧、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【例5-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 【例5-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，是的直径，，若，则 ．    【变式5-3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，是弦，，则 ． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，则的度数是 ． 7．（21-22九年级上·江苏·期中）如图，中，，截三条边所得弦长相等，则 ． 三、解答题 8．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 9．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，D，E分别是半径，的中点，点C在圆上，．求证： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01巧用圆的基本性质解圆的五种关系 （五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01弦、弧之间的关系 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 【例1-2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键．连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长． 【详解】解：连接，    ∵ ，是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 【例1-3】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：， ， ∴， ， ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 【变式1-2】（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，连接，，则 （填“”，“ ”或“” ． 【答案】 【分析】根据推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 【变式1-3】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系，由垂径定理得到，而，得到，从而推出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02圆心角、圆周角之间的关系 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到，由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 由题意得 ∵， ∴， 故选：C． 【例2-2】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，三点在上，．则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，先求出度数，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，，，都是的弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】在中，，分别是所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理，结合，等量代换即可得证． 【详解】证明：在中，，分别是所对的圆周角和圆心角， ． 同理，． 又， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式演练】 【变式2-1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出解答．根据平行线的性质得出，进而利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：弦， ， 由圆周角可知，， ， ， ， ， 故选：A 【变式2-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据平行线的性质和已知条件可得，根据圆周角定理可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：弦，且， ， 所对的圆周角是，圆心角是， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，为的直径， 内接于，，交于点E．    (1)求的度数； (2)若点E为中点，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理可求出，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答； （2）设，根据线段中点的定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：设， ∵点E为中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴的长为． 题型03弧、圆周角之间的关系 【典例分析】 【例3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的内接三角形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理．作直径，连接，由圆周角定理求得，再求得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【例3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点、、都在上，，，的度数 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 【例3-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）在中，是直径，弦，垂足为点E，连结． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，等边三角形的性质和判定；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键． （1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，根据圆周角定理求出，证出等边三角形，即可求解； 【详解】（1）证明：∵是直径，弦， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∵， ∴等边三角形， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，是解题的关键．根据圆周角定理，结合，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，，为直径，弦，分别交半径，于点G，H，且．    (1)求证：． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）求出，得，根据可得结论． 【详解】（1）证明：， ． ，为直径， ， ， 即． ，所对的弧分别是，， ． （2）解：， ，． ． ， ． 题型04弦、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，即是等边三角形， ∴， ∴, 故选：D 【例4-2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 【例4-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 【详解】连接， ∵弦平行于直径， ∴， 又∵，则， ∴， ∵ ∴． 故选：A 【变式4-2】（20-21九年级上·广东广州·期中）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，于点，于点．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同圆中弦与圆心角的关系，证明出全等是解决本题的关键． 先证明，继而得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弦相等求证即可． 【详解】证明：∵，， ∴和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型05弦、弧、圆心角之间的关系 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等孤对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B 【例5-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 【答案】 ，，，， ， 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，由是的直径得，从而得出，，是全等的等边三角形，再根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，， ∴； 又∵， ∴，，是全等的等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：，，，，；，． 【例5-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证； （2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，，先根据圆心角定理的推论可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：． 【变式5-2】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，是的直径，，若，则 ．    【答案】 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，，则． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等． 【变式5-3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了圆的有关知识，全等三角形的判定与性质，连接，由为的中点，得到，再得到，根据，分别是，的中点，得到，进而证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ∵为的中点， ， ， 又∵，分别是，的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 首先得到，进而得到，即可选择正确选项． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 、不能保证，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 故选：． 3．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．熟练掌握圆周角定理是解题的关键 连接，，和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求解即可； 【详解】解：连接：，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，是弦，，则 ． 【答案】44 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据直径所对的圆周角是直角知，由直角三角形两锐角互余得的度数，再根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧是， ∴． 故答案为：44． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查同弧所对圆心角相等、直径所对的圆心角知识，根据题意求得，结合同弧所对圆心角相等求得，即可求得． 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（21-22九年级上·江苏·期中）如图，中，，截三条边所得弦长相等，则 ． 【答案】/110度 【分析】如图所示，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得，再根据角平分线的判定定理得，然后根据三角内角和定理求得答案． 【详解】解：过点分别作，垂足分别是，记：，如图所示， 截三条边所得弦长相等， 点到三角形三条边的距离相等即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的相关定理、角平分线的判定定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理和三角形的内角和定理等定理是解答此题的关键． 三、解答题 8．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 【答案】(1)的度数是； (2)圆的半径长为． 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2）解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为． 9．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，结合等腰三角形三线合一，即可求证； （2）根据圆周角定理和等边对等角推出，则，由（1）可得，，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵， ∴． 10．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，D，E分别是半径，的中点，点C在圆上，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：∵D，E分别是半径，的中点， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$