北京市第十二中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

北京十二中 2024-2025学年第一学期期中考试试题 初三年级 数学 2024.11 班级: 姓名: 考场号: 座位号: 学号: (满分100分, 时间120分钟) 一、选择题 (共16分，每题2分) 第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是 2. 已知二次函数图象的顶点是(1，2)，且经过点(0，5)，则二次函数的解析式是 3. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是 A. k=0 B. k≥-1且k≠0 C. k≥-1 D. k>-1且k≠0 4. 如图, 点A(2.18,-0.51), B(2.68,0.54)在二次函数 的图象上，则关于x的方程 的一个根的一个近似值可能是 A. 2.18 B. 2.68 C. 0.54 D. 2.45 5.如图, 点A,B,C都在⊙O上, 若∠AOC=150°, 则∠ABC的度数是 A. 30° B. 150° C. 105° D. 110° 1 6. 如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为： ，求道路的宽. 如果设道路宽为 xm，根据题意，所列方程正确的是 A. (20-x)(38-x) =540 B. (20-2x)(38-2x) =540 C. (20-x)(38-x) =38×20-540 D. (20-2x) (38-2x) =38×20-540 7. 在同一直角坐标系中，一次函数y= ax+c和二次函数. 的图象可能为 8. 如图, 在矩形ABCD中, AB=8cm, AD=12cm, AC与BD交于点O, M是BC的中点. P,Q两点沿着B→C→D方向分别从点B，点M 同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动. 在P，Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积S随时间t变化的图象最接近的是 2 二、填空题(共16分，每题2分) 9. 在平面直角坐标系xOy中，点(-1，2) 关于原点对称的点的坐标为 . 10. 将抛物线 先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为 . 11. 若x=1是关于x的一元二次方程( 的一个根，则m的值为 . 12. 已知 则代数式(x+1)(x-1)+x(x--2)的值为 . 13. 已知AB是⊙O的一条弦, 且AB=OA, 则弦AB所对的圆周角的度数为 . 14. 在平面直角坐标系xOy中, 已知点A(2, 2)和点 B (-1, 2), 若抛物线 与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是 . 15. 二次函数 的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=1. 下列结论： ① 2a+b=0; ② 9a+3b=-c; ③ 若点 在该函数图象上，则. ④ 若方程a(x+1)(x-3)=-3的两根为x₁和x₂, 且; 则. 其中所有正确结论的序号是 . 16. 如图,在等边三角形ABC中, AB=5, P为AB边上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC, 垂足分别为D,E, 则DE长的最小值为 . 3 三、解答题 (共68分, 第17题6分, 第18题3分, 第19题6分, 第20-22题5分, 第23-26题6分, 第27-28题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 解方程 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，有A(0,4), B(4,4), C(6,2)三点. (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为 ； (2)点B绕点C逆时针旋转90°后的点D的坐标为 ，此时点B 旋转到点D所经过的路径长为 (结果保留根号和π). 19. 已知关于x的一元二次方程 (m为实数, 且m≠1). (1)求证：此方程总有实数根； (2)如果此方程的实数根都是整数，求正整数m的值. 20. 如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°, 得到线段AE, 连接BD, CE. (1)求证: BD=CE; (2)连接DE, 若∠ADB=115°, 求∠CED的度数. 4 21. 已知: 如图, △ABC为锐角三角形, AB=AC. 求作: 点 P, 使得AP=AB, 且∠APC=∠BAC. 作法： ① 以点A为圆心，AB 长为半径画圆； ② 以点B为圆心, BC长为半径画弧, 交⊙A于点D (异于点 C); ③ 连接DA并延长交⊙A于点 P. 所以点P就是所求作的点. (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形 (保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明. 证明: 连接PC. ∵AB=AC, ∴点C在⊙A上. ( ① )(填推理的依据),由作图可知， ∴∠APC=∠BAC. 22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数. 的图象过点A(3,3). (1)求该二次函数的解析式； (2)用描点法画出该二次函数的图象； (3)当0<x<3时, 对于x的每一个值, 都有 直接写出k的取值范围. 23. 如图, AB是⊙O的弦, OD⊥AB, 垂足为C, 交⊙O于点点E在⊙O上. (1)若∠AOD=56°, 则∠DEB的度数是 ; (2)若DC=2, AB=16, 求OA的长. 24. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用. 例如：已知x可取任意实数，试求二次三项式. 的最小值。 解： ∵无论x取任意实数，都有 当且仅当x=-1时取到 即 的最小值为2.试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出 的最小值 ； (2)比较代数式 与 的大小，并说明理由； (3)如图, 在四边形ABCD中, AC⊥BD. 若AC+BD=10, 求四边形ABCD面积的最大值. 6 25. 某校科技节中，校航模团队研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线. 以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原点的水平线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 若发射台的高度OA为1m，测得当飞行的水平距离为1m时，飞机的飞行高度为2.8m； 当飞行的水平距离为3m时，飞机的飞行高度为5.2m. (1)求抛物线的解析式； (2)求航模飞机飞行的最大高度及飞行的最远水平距离； (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点A的上下平移而上下平移. 如图，在水平线x轴上设置回收区域PQ，( , 要使飞机恰好降落到PQ内(包括端点 P，Q)，直接写出发射台的高度OA的取值范围. 26.在平面直角坐标系xOy中，点 为抛物线 上的两点. (1) 当 时，求抛物线的对称轴； (2) 若对于( 都有 求h的取值范围. 7 27. 在△ABC中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D在BC边上(不与点B, C重合), 将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE. (1)根据题意补全图形，并证明： (2)过点C作AB的平行线，交DE于点F，用等式表示线段EF与DF的数量关系，并证明. 28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M ，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点. (1)当⊙O的半径为3时, ① 在点 中，⊙O的关联点是 ； ② 点P在直线y=-x上，若P为⊙O的关联点，直接写出点P的横坐标. ，的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上, 半径为3, 直线y=-x+2与x轴, y轴分别交于点A, B. 若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$