精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市建华区等5地2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024-2025学年度上学期期中学业考试 初三数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；据此即可求解． 【详解】解：由中心对称图形的定义可知，A为中心对称图形，B、C、D不是中心对称图形 故选：A． 2. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，设方程的两个根为和，且，根据方程根与系数的关系可得，据此即可求得答案． 【详解】设方程的两个根为和，且． 根据方程根与系数的关系可得 ． 则． 故选：D． 3. 如图，是的直径，点，在上．若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 连接，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等证明，最后根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 故选：． 4. 年鹤城烤肉美食节火爆出圈，各地游客纷纷“进城赶烤”，某烧烤店于烤肉美食节首日收入约为万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三日收入约为万元，设烧烤店收入的日平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），弄懂题意并准确列出方程是解题的关键． 根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：． 5. 下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 6. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 … A. 1＜x＜1.1 B. 1.1＜x＜1.2 C. 1.2＜x＜1.3 D. 1.3＜x＜1.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y=0时相应的自变量的取值范围即可． 【详解】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49. 当x＝1.2时，y＝0.04 于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2 故选B 【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 7. 定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的一般形式及根的判别式是解题的关键． 根据新定义可得，根据一元二次方程的一般形式可得，根据一元二次方程根的情况可得，解该一元一次不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 根据新定义，得：， 整理，得：， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 即的取值范围为且， 故选：． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，然后可证得，和为等腰直角三角形，进而可求得，，，的长，然后根据图中阴影部分的面积即可求得答案． 【详解】解： ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，等角对等边，等式的性质，对顶角相等，垂线的定义，三线合一，三角形的面积公式，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 9. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ， 是等边三角形，且， ， ， 是的切线， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键． 10. 如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，且，，则下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，根据图象判断①，特殊点判断②，图象法确定方程的根判断③，根与系数的关系，判断④，由时，，当时，，可判断⑤． 【详解】解：①抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②由图象可知，当时，，故②不符合题意； ③∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故③符合题意； ④∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故④不符合题意； ⑤∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小图3分，满分21分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 12. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的母线长为：； 故答案为：12． 13. 如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则是______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要查了圆周角定理，尺规作图．由作法得：平分，再由是半圆O的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：21 14. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当底边长为时；当腰长为时；分别解方程即可求得的值．注意：求得的值之后，一定要将的值代入原方程并解方程，以便求得等腰三角形的三边并验证其是否满足三角形三边之间的关系． 【详解】解：分两种情况： 当底边长为时， 则腰长为方程的两个根， 两根相等， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：， ， 、、满足三角形三边之间的关系； 当腰长为时， 则是方程的一个根， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：，， ， 、、满足三角形三边之间的关系； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次方程，直接开平方法解一元二次方程，三角形三边之间的关系，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解题的关键． 15. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线向右平移3个单位后得到， ∴新抛物线的顶点作为：． 故答案为：． 16. 如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点旋转得到，则的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：逆时针旋转；顺时针旋转；分别利用等边三角形的性质，旋转的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 逆时针旋转， 如图， 是等边三角形， ， 又， ， 绕顶点逆时针旋转得到， 落在轴上，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， ， ， 设， 落在轴上， ， ， ， 的坐标为； 顺时针旋转， 如图， 是等边三角形， ， 又， ， 绕顶点顺时针旋转得到， 落在轴上，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， ， 过作于点， ， 是等边三角形，且， ， ， ， 设， 则， ， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，旋转的性质，已知两点坐标求两点距离，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线l的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用、等腰直角三角形的判定与性质以及点的坐标规律问题，确定，……的变化规律是解题关键．过点作轴于点，依次求出的坐标，找出规律即可获得答案． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点， ∴， ∵，……均在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得， 同理可得，， …… ∴，， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 三、解答题（满分69分） 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）直接利用公式法解一元二次方程即可； （2）将原方程整理成一般形式后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即：，； 【小问2详解】 解：， 整理，得：， 即：， 解得：，． 19. 如图，是的直径，弦于点．点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：根据圆周角定理及可得： ， ， ， ， 即：， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理及已知条件可得，由垂线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，进而可推出，根据含度角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）根据垂径定理可得，设圆的半径为，则，，在中根据勾股定理可列出方程，求解方程即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径，且于点， ， ， 设圆的半径为，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，含度角的直角三角形，垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 20. 近年，数字经济的飞速发展不仅推动了城市建设，也带动了乡村发展．电商扶贫、“互联网+”农产品出村进城等一系列项目落地开花．大学生也积极回村创业，从“新农人”成为了“兴农人”，加速农村电商逐渐形成规模，带领大批农民走上致富路．大学生王某毕业后积极回村创业兴农，在对本村一种成本为40元的特色农产品进行网上销信时发现，按原价每件60元出售，一天可售出100件、若该农产品售价每降低1元，日第售量增加10件（售价不低于成本价）， （1）若日利润保持不变，想尽快销售完该农产品，每件售价应定为多少元？ （2）李先生发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件60元，买五送一，在（1）的条件下，李先生想要用最优惠的价格购买27件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？ 【答案】（1）50元 （2）选择在线上购买更优惠 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程的实际应用： （1）设每件售价应定为元，依题意，列出方程，即可求解； （2）分别求出线上购买，线下购买的费用，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件售价应定为元，依题意得： 解得：，（舍）， 答：每件售价应定为50元． 【小问2详解】 解：线上购买所需费用为（元） 线下购买，买五送一， 线下超市购买只需付23件的费用， 线下购买所需费用为（元）． ， 答：选择在线上购买更优惠． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）先证得是等边三角形，于是可得，，进而可求得，于是有，在中根据勾股定理可得，根据同旁内角互补两直线平行可证得，则四边形为直角梯形，根据即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 又， 是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， 于点， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 四边形为直角梯形， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，切线的判定，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁内角互补两直线平行，求扇形面积等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22. 如图①，在中，，，点在上（且不与点、重合）．在的外部作等腰，使，连接，过点作平行且相等于，连接、． （1）此时四边形为__________形；、的数量关系为___________． （2）将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接． ①此时四边形为__________形； ②、的数量关系为__________，证明你的结论． （3）在绕点逆时针旋转一周的过程中，若，，线段长度的最大值为__________． 【答案】（1）平行四边； （2）①矩； ②，证明如下： 如图，连接，设交于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由且可得四边形是平行四边形，于是可得，进而可推出，由等腰直角三角形的性质可得，，利用等式的性质可推出，由于，于是利用勾股定理即可得出、的数量关系； （2）①由且可得四边形是平行四边形，由进而可得四边形是矩形；②连接，设交于点，利用可证得，于是可得，进而可证得是等腰直角三角形，于是利用勾股定理即可得出、的数量关系； （3）将沿向下翻折至，连接，记交于点，可证明，则，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，由，得当点三点共线，且点为射线与的交点，此时取得最大值，由勾股定理得，则，故的最大值为． 【小问1详解】 解：且， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 即：， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：平行四边，； 【小问2详解】 解：①矩形，理由如下： 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 故答案为：矩； ②略 【小问3详解】 解：将沿向下翻折至，连接，记交于点， 由上得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， 同上可得， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当点三点共线，且点为射线与的交点，此时取得最大值，如图： ∵， ∴在等腰中，同上由勾股定理得， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，平行四边形的判定与性质，等式的性质，勾股定理，矩形的判定，等边对等角，三角形的内角和定理，两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度，等角对等边，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质（）， 23. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A、D两点，且．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．点E是线段上的一动点，从点D出发向点A匀速运动，同时点F从点A出发，以与点E大小相同的速度沿x轴正方向匀速运动，当点E到达点A时停止运动，此时点F也随之停止运动，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； （3）请你求出四边形的面积的最大值； （4）的最小值是__________． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，根据易得点B的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可； （3）联立一次函数与二次函数解析式求出点D的坐标，根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （4）连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为，先证明四边形是正方形，再证明，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，再求出点L的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线（）与x轴交于A、B两点，直线与抛物线交于A、D两点， 点A的纵坐标为0，则， 解得：， ，， ， ，即， 将，代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或（舍去）， ； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：联立一次函数与二次函数得，则， 解得：或， 当时，， ， 为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； 【小问4详解】 解：连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为， ， ，即， ， ， ，， 同理得，， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， 根据题意得：， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，正方形的判定与性质，三角形全等的评定与性质，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中学业考试 初三数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 3. 如图，是的直径，点，在上．若，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 年鹤城烤肉美食节火爆出圈，各地游客纷纷“进城赶烤”，某烧烤店于烤肉美食节首日收入约为万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三日收入约为万元，设烧烤店收入的日平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 … A. 1＜x＜1.1 B. 1.1＜x＜1.2 C. 1.2＜x＜1.3 D. 1.3＜x＜1.4 7. 定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，且，，则下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小图3分，满分21分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为_________． 13. 如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则是______． 14. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为________． 15. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________． 16. 如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点旋转得到，则的坐标为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线l的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是________． 三、解答题（满分69分） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，是的直径，弦于点．点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求证：； （2）若，，求的半径． 20. 近年，数字经济的飞速发展不仅推动了城市建设，也带动了乡村发展．电商扶贫、“互联网+”农产品出村进城等一系列项目落地开花．大学生也积极回村创业，从“新农人”成为了“兴农人”，加速农村电商逐渐形成规模，带领大批农民走上致富路．大学生王某毕业后积极回村创业兴农，在对本村一种成本为40元的特色农产品进行网上销信时发现，按原价每件60元出售，一天可售出100件、若该农产品售价每降低1元，日第售量增加10件（售价不低于成本价）， （1）若日利润保持不变，想尽快销售完该农产品，每件售价应定为多少元？ （2）李先生发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件60元，买五送一，在（1）的条件下，李先生想要用最优惠的价格购买27件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？ 21. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 22. 如图①，在中，，，点在上（且不与点、重合）．在的外部作等腰，使，连接，过点作平行且相等于，连接、． （1）此时四边形为__________形；、的数量关系为___________． （2）将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接． ①此时四边形为__________形； ②、的数量关系为__________，证明你的结论． （3）在绕点逆时针旋转一周的过程中，若，，线段长度的最大值为__________． 23. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A、D两点，且．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．点E是线段上的一动点，从点D出发向点A匀速运动，同时点F从点A出发，以与点E大小相同的速度沿x轴正方向匀速运动，当点E到达点A时停止运动，此时点F也随之停止运动，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； （3）请你求出四边形的面积的最大值； （4）的最小值是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $