精品解析：辽宁省抚顺市清原满族自治县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度上学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 20 B. 18 C. 10 D. 8 3. 若抛物线经过点，则a等于（　　） A. 3 B. C. D. 4. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（ ）人参加聚会． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，在点D运动过程中，的最小值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 12. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为________． 13. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 14. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 18. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求作图． （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点O成中心对称的； （3）写出线段与的位置关系；不用说明理由． 19. 某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】 “道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】 汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 20. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 21. 某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（需求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 22. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题： 某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题： （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请直接写出线段之间的数量关系；并选择一种情况说明理由． 23. 已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 已知是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 20 B. 18 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先由是方程的一个根，得出，再整理式子，最后整体代入即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即 ∴， 故选：A． 3. 若抛物线经过点，则a等于（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数性质求解． 把点代入解析即可求解． 【详解】解：将点代入， 得：， 故选：A． 4. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，离对称轴最近， ∴． 故选：B． 5. 李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（ ）人参加聚会． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设有x个人参加聚会，则每人需要准备件礼物，所有人总共需要准备件礼物，根据“共送礼物20件”即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个人参加聚会，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去） ∴共有5个人参加聚会． 故选：B 6. 如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查坐标的变化规律、旋转的性质、菱形的性质等知识，找到每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置由得到第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了，即可可求出答案. 【详解】解：菱形的顶点， 与轴的夹角为 ∵菱形的对角线互相垂直平分， 点是线段的中点， 点的坐标是 ∵菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转 ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置 ∵ ∴第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了， ∴点的对应点落在第三象限，且对应点与点关于原点成中心对称， 第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 故选：B 7. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 8. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 9. 如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，在点D运动过程中，的最小值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定．以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的最小值是． 【详解】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图： ，，，， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴最小即是最小， ∴当时，最小，此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：2． 12. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，根据图形旋转的性质可得，，结合，即可求得答案． 【详解】由图形旋转的性质可得，． ∵ ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 13. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 14. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 在中，，则，根据垂直平分线的性质得出，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，进而在中，，分为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∵由线段绕点顺时针旋转得到， ∴， 在中，， 当为直角边时，， 当为斜边时，， 故答案为：2或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用公式法法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴；； 【小问2详解】 ， ， ，，， ， ∴，． 17. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 【答案】（1） （2） 预测月份的生产成本为：（万元）， ， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据下降率求出7月份该公司的生产成本，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得： ， 解得：，（舍去）， ∴每个月生产成本的下降率为； 【小问2详解】 略 18. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求作图． （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点O成中心对称的； （3）写出线段与的位置关系；不用说明理由． 【答案】（1） 如图， 即为所求． （2） 如图， 即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，中心对称作图，直线位置关系的判断； （1）根据旋转的方向及角度作图，即可求解； （2）根据中心对称图形的作法作图，即可求解； （3）由勾股定理的逆定理可判定为直角三角形，可得，由平行线的判定方法得，即可求解； 掌握旋转和中心对称的作法及垂直的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：；理由如下： 由图得： ， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 由旋转得： ， ， ， ． 19. 某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】 “道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】 汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1） （2） 不会．理由如下：∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用． （1）利用抛物线经过原点得到，再设抛物线解析为，把代入得到方程组，解方程组即可得到答案； （2）把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过原点， ∴， 设抛物线解析为， 将代入得：， 解得 ∴， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 20. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠BDE＝90°； （2）DF＝PF， 证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质即可求得结果； （2）由旋转的性质可得∠ACE=∠ADB=45゜，则易得∠FPD=∠DAC+∠ACE=∠CDF+∠ADB=∠FDP，从而可得DF=PF． 【详解】（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE=∠B， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握旋转的性质． 21. 某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（需求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）与的函数关系式为； （2）当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元； （3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 【解析】 【分析】（）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可； （）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价； （）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可； 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 【小问1详解】 依题意，得：， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵依题意得：，即， 解得：，， 又∵， 答：当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元； 【小问3详解】 设每月总利润为元，依题意得， ， ∵，此图象开口向下， 当时，有最大值， 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 22. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题： 某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题： （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请直接写出线段之间的数量关系；并选择一种情况说明理由． 【答案】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ∵， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 如图③所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出； （2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为； （3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， 把，，代入函数解析式得， 解得， ； 【小问2详解】 解：，， 设直线的解析式为，把代入，得， ， 设，则，， ，，， ，， ， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：令，解得：，， ， ，点为的中点， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，， ，， ， ， 取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示： 则，， 设的解析式为， ，解得， ， 联立，解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $