精品解析：吉林省长春市第五十二中学2024-2025学年九年级上学期10月期中考试数学试题

五十二中九年级上第二次质量监测（数学） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列各选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，不可能事件是（ ） A. 打开电视时正在播放广告 B. 风大时轮渡会停航 C. 自然状态下的水从低处向高处流 D. 清明时节雨纷纷 6. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C在x轴的正半轴上，，点D在AB边上，且，函数的图象经过点D．若点A、B的坐标分别为、，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：（π﹣1）0﹣sin30°＝_____． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _______． 11. 如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______． 12. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、的坐标分别为、若点A的坐标为，则点的坐标为 _____． 14. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点GAE中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°； ②△AEF是等边三角形； ③AC=3OG； ④S△AOG=S△ABC 其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上） 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译(记为)、导游(记为)、礼仪(记为)三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率． 17. 长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．（结果精确到米）参考数据：，， 18. 如图，在四边形中，∠＝90°，∥，对角线⊥． （1）求证：△∽△． （2）若＝2，＝3，求△与△的面积比． 19. 某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； b．七年级成绩在这一组数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； （2）表中m的值为______； （3）在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______更靠前； 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，在图①中画出； （2）在图②中，作出的高线； （3）在图③中，在边上作点，使线段的长度为． 21. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． （1）月用电量50度时，应交电费______元． （2）当时，求y与x之间的函数关系式； （3）月用电量为150度时，应交电费______元． 22. （1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 23. 在正方形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，，点P从点A出发，沿着向点C运动，速度为每秒，连结，做点E关于的对称点F，连结，．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为______． （2）当点F落在线段上时，求t的值． （3）当点P在边上运动，且线段最短时，求面积． （4）当是锐角三角形时，直接写出t的取值范围． 24. 已知二次函数（m、n为常数，），线段两个端点坐标分别为，． （1）该二次函数的图象的对称轴是直线____________； （2）当时，若点恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式； （3）当时，当此二次函数的图象与线段只有一个公共点时，求n的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五十二中九年级上第二次质量监测（数学） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式得到，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3. 已知，下列各选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意知，当时，，，，进而可知A、C、D不一定正确，，可知B一定正确，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，，，A、C、D不一定正确，故不符合要求； ，B一定正确，故符合要求； 故选：B． 4. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后得到点 ，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴将先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后得到点 ， ∴抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 5. 下列事件中，不可能事件是（ ） A. 打开电视时正在播放广告 B. 风大时轮渡会停航 C. 自然状态下的水从低处向高处流 D. 清明时节雨纷纷 【答案】C 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义判断即可得解 【详解】解：A. 打开电视时正在播放广告，是随机事件，不符合题意； B. 风大时轮渡会停航，是必然事件，不符合题意； C. 自然状态下的水从低处向高处流，是不可能事件，符合题意； D. 清明时节雨纷纷，是随机事件，不符合题意； 故选择：C 【点睛】本题主要考查了随机事件，不可能事件，正确地掌握有关的定义是解题的关键． 6. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度， ∴， ∴（米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， 故选D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C在x轴的正半轴上，，点D在AB边上，且，函数的图象经过点D．若点A、B的坐标分别为、，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥BC于E，得出△ACB∽△DEB，根据点A、B的坐标和，求出点D坐标即可． 【详解】解：作DE⊥BC于E， ∵， ∴DE∥AC， ∴△ACB∽△DEB， ∵， ∴， ∵点A、B的坐标分别为、， ∴，，， 则D点坐标为， ， 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数和相似三角形性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，利用相似三角形的性质求出点的坐标． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：（π﹣1）0﹣sin30°＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝1﹣＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 由根与系数的关系可直接求得的值． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ． 故答案为：． 11. 如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案． 【详解】点，分别是边，的中点 ，即 又 则四边形的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 12. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、的坐标分别为、若点A的坐标为，则点的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点B、的坐标求出与的位似比，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵和是位似图形，点B、的坐标分别为、， ∴与的位似比为：， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换，根据题意求出与的位似比是解题的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°； ②△AEF是等边三角形； ③AC=3OG； ④S△AOG=S△ABC 其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①②④． 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠FCA＝∠OAG， ∵O为AC中点，EF⊥AC， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA， ∵点G是AE中点且∠AOG＝30°， ∴OG＝AE＝AG， ∴∠OAG＝∠AOG＝30°， ∴∠FCA＝∠FAC＝30°， ∴∠AFC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，①正确； ∵∠FAE＝30°+30°＝60°，∠AEO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形，②正确； ∵∠OAG＝30°，EF⊥AC， ∴AE＝2OE＝2OG， ∴OA＝OE＝OG， ∴AC＝2OA＝2OG，③不正确； ∵点G是AE中点， ∴S△AOG＝S△AOE， ∵∠AOE＝90°＝∠B，∠OAE＝∠BAC， ∴△AOE∽△ABC，相似比为＝＝＝， ∴＝（）2＝， ∴S△AOG＝S△ABC，④正确； 故答案为：①②④． 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】由十字相乘法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， 或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题的关键． 16. 甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译(记为)、导游(记为)、礼仪(记为)三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是树状图法求概率．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的结果数为5种， ∴甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪概率为． 17. 长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．（结果精确到米）参考数据：，， 【答案】大桥立柱的高约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再根据，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴大桥立柱的高约为米． 18. 如图，在四边形中，∠＝90°，∥，对角线⊥． （1）求证：△∽△． （2）若＝2，＝3，求△与△的面积比． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据两组角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）直接运用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵⊥， ∠ B ＝90°， ∴，即：， 又∵∥， ∴， ∴△∽△； （2）∵△∽△， ∴相似比为， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 19. 某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； b．七年级成绩在这一组的数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； （2）表中m的值为______； （3）在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______更靠前； 【答案】（1）23 （2）77.5 （3）甲 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图、中位数，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义． （1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案． 【小问1详解】 解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有（人； 故答案为：23； 【小问2详解】 解：七年级学生成绩的中位数（分； 故答案为：77.5； 【小问3详解】 解：七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数； 故答案为：甲． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，在图①中画出； （2）在图②中，作出的高线； （3）在图③中，在边上作点，使线段的长度为． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）结合网格，找到、中点，再相连接，即可作答； （2）结合网格，利用直角三角形中两锐角互余的性质，即可作答； （3）的长度为，，即，找到的五等分点，即可作答． 【小问1详解】 如图， 即为所求； 【小问2详解】 如图， 即为所求； 【小问3详解】 如图， 点即所求． 证明：，由图可知：． 21. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． （1）月用电量为50度时，应交电费______元． （2）当时，求y与x之间的函数关系式； （3）月用电量为150度时，应交电费______元． 【答案】（1）30 （2） （3）130 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求出当时的函数解析式，再将代入即可得解； （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式即可； （3）将代入（2）的结果中即可得解． 小问1详解】 解：当时，设， 将代入可得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， ∴月用电量为50度时，应交电费元， 故答案为：30； 【小问2详解】 当时，设， 将，代入可得：， 解得：， ∴当时，y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时，， 即月用电量为度时，应交电费元， 故答案为：130． 22. （1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比； （2）根据得出，，进而得出，，即可求证； （3）过点作，作，连接，证明，得出比例线段，证明，得出比例线段，由勾股定理可求，的长，即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； ∴ 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作，作，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 23. 在正方形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，，点P从点A出发，沿着向点C运动，速度为每秒，连结，做点E关于的对称点F，连结，．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为______． （2）当点F落在线段上时，求t的值． （3）当点P在边上运动，且线段最短时，求的面积． （4）当是锐角三角形时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），详见解析 （2），详见解析 （3），详见解析 （4）或，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形性质，三角形面积，勾股定理等， （1）利用正方形的性质可得，，再根据勾股定理即可求得答案； （2）当点F落在线段上时，根据轴对称性质可得点P与点D重合，即可求得答案； （3）当点P在边上，且线段最短时，根据垂线段最短可知，根据三角形面积公式即可求得答案； （4）分别讨论，为锐角时，对应的t值范围，即可根据点P的运动规律得出答案． 熟练掌握其性质，运用分类讨论思想是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵在正方形中，对角线、相交于点O，， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 当点F落在线段上时， ∵点E与点F关于对称， ∴点P与点D重合， ∴， 即； 【小问3详解】 当点P在边上，且线段最短时，，如图1， 则， ∵点E与点F关于对称， ∴，， ∴， ∴； 【小问4详解】 ∵， ∴永远是锐角， ∴当为锐角时，点F落在或内部， 当点F落在上时， 如图2，∵点E与点F关于对称， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图3，当点F落在上时， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，为锐角； 如图4，当为直角时，过P点作交于点H， ∴， ∴ ∴, ∴ ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，为锐角， 如图5，当为直角时， 同理可得， ∴当时，为锐角， ∴综上所述，当是锐角三角形时，t的取值范围为或． 24. 已知二次函数（m、n为常数，），线段的两个端点坐标分别为，． （1）该二次函数的图象的对称轴是直线____________； （2）当时，若点恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式； （3）当时，当此二次函数的图象与线段只有一个公共点时，求n的取值范围； 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据二次函数解析式即可得出对称轴； （2）当时，把代入函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当抛物线顶点落在上时， 当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数（m、n为常数，）， ∴二次函数的图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，， 把代入得：， ∴， ∴二次函数的关系式为； 【小问3详解】 解：当时，， ∵此二次函数的图象与线段只有一个公共点， ∴当抛物线顶点落在上时，， 解得：， 当抛物线经过点时，， 当抛物线经过点时，， 解得：， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$