专题3.6 求图形旋转后扫过的面积（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题3.6 求图形旋转后扫过的面积 · 典例分析 【典例1】如图，在扇形中，于点D，，将绕点O点逆时针旋转，则线段扫过的图形面积为是 ． 【思路点拨】 本题考查了扇形面积和阴影部分的面积计算．将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键．由于绕点O点逆时针旋转得到．可见，阴影部分面积为扇形面积减去扇形,分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【解题过程】 解：如图，在扇形中，于点D， 在中，根据勾股定理可得： ． 绕点O点逆时针旋转得到， ， ， 扇形面积为：， 扇形面积为：， 阴影部分面积为：， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2023·广东佛山·三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为2，，，将绕到心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）（    ）    A． B． C． D． 2．（2023九年级上·山东泰安·学业考试）如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）    A． B． C．π D． 3．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 6．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 7．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 8．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 9．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）将如图放置在直角坐标系中，并绕点顺时针旋转至的位置，已知，．则旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ． 11．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出； （2）C点运动到的过程，线段扫过的图形的面积为_______． 12．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． （1）在图中画出； （2）点C的运动路径长为____________； （3）旋转过程中线段扫过的面积为______． 13．（2023·四川绵阳·一模）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分； （1）在坐标系中画出，并写出点的对应点的坐标； （2）求出线段在旋转过程中所扫过的图形的面积． 14．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向上平移5个点位长度，再向左平移4个点位长度，得到，请画出，并写出点的坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （3）将绕着原点O顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积(结果保留)． 15．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，    （1）将向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的图形，并写出相应坐标； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形，并写出坐标； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过图形的面积． 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）．（无刻度的直尺作图）    （1）画出该图中弧所在圆的圆心的位置（保留作图痕迹），则点的坐标为______． （2）分别连接、和，求线段绕着点旋转的度数所形成的图形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.6 求图形旋转后扫过的面积 · 典例分析 【典例1】如图，在扇形中，于点D，，将绕点O点逆时针旋转，则线段扫过的图形面积为是 ． 【思路点拨】 本题考查了扇形面积和阴影部分的面积计算．将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键．由于绕点O点逆时针旋转得到．可见，阴影部分面积为扇形面积减去扇形,分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【解题过程】 解：如图，在扇形中，于点D， 在中，根据勾股定理可得： ． 绕点O点逆时针旋转得到， ， ， 扇形面积为：， 扇形面积为：， 阴影部分面积为：， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2023·广东佛山·三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为2，，，将绕到心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得， ，，从而可得，，然后根据阴影部分的面积等于即可得． 【解题过程】 解：∵直径长为2， ， ∵，， ， ， ∵，是绕圆心逆时针旋转得到的， ∴，，， ∴，， ，， 则阴影部分的面积为， 故选：C． 2．（2023九年级上·山东泰安·学业考试）如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）    A． B． C．π D． 【思路点拨】 整个旋转过程中线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形，分别求出、，即可求出阴影部分面积． 【解题过程】 解：连接，，    ∵O、H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置， ∴， ∴线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形， ∵°，，， ∴， ∴， ∵H为边的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分面积， 故选：C． 3．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 【思路点拨】 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积. 【解题过程】 解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作, 扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积. 由旋转可知，， ， 是平行四边形， 中，， ， ， 故选A． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 【思路点拨】 本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q，根据垂径定理得出，，设，则，根据勾股定理，建立方程，求出，则，即可判断嘉嘉的结论；由旋转的性质得出，再根据扇形面积公式，即可求出扫过的面积，即可判断淇淇的结论． 【解题过程】 解：令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q， ∵点P是中点， ∴，， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故嘉嘉对； ∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴扫过的面积，故琪琪错； 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【思路点拨】 本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解题过程】 解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 6．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了旋转的性质，以及扇形的面积，掌握“旋转前后的两个图形全等，旋转前后的面积相等”，以及扇形的面积公式是解题的关键．根据题意可知边在旋转过程中所扫过的面积是扇形的面积减去扇形的面积，根据扇形的面积公式进行计算即可． 【解题过程】 解：如图， 由旋转的性质得，， 则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积加上减去扇形的面积再减去， 即边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积减去扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 【思路点拨】 本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：是关键； 分别求得∶扇形的面积、以及的面积，即可求解． 【解题过程】 解：，，， ， 的面积是： ， 在中， ，， ， ， 则阴影部分的面积是：， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【解题过程】 解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）将如图放置在直角坐标系中，并绕点顺时针旋转至的位置，已知，．则旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了作旋转变换及扇形面积的计算，由，得到，求得，，，点为的中点，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解题过程】 解：旋转过程中所扫过的图形如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 则旋转过程中所扫过的图形的面积∶ ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ． 【思路点拨】 本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹． 【解题过程】 解：∵的平分线相交于点， ∴可以假设，， 则有，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴； 取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动， ∵，，， ∴， 则扫过的面积扇形的面积的面积， ， ； 故答案为：，． 11．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出； （2）C点运动到的过程，线段扫过的图形的面积为_______． 【思路点拨】 （1）根据旋转的性质，分别作出、、的对应点、、，再依次连接即可； （2）线段扫过的图形的面积即为扇形的面积，先根据坐标两点的距离公式，求出，再由旋转的性质可知，最后利用扇形面积公式，即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，线段扫过的图形的面积即为扇形的面积， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 即线段扫过的图形的面积为， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． （1）在图中画出； （2）点C的运动路径长为____________； （3）旋转过程中线段扫过的面积为______． 【思路点拨】 本题考查坐标系与图形变换旋转，以及弧长和扇形面积的计算．熟练掌握旋转三要素，弧长和扇形的计算公式，是解题的关键． （1）作出点、绕着点顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据弧长公式求解可得； （3）结合图形知线段所扫过的面积为，再利用扇形的面积公式求解可得． 【解题过程】 （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴点的运动路径长为， 故答案为：； （3）解：旋转过程中线段扫过的面积为 ， 故答案为：． 13．（2023·四川绵阳·一模）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分； （1）在坐标系中画出，并写出点的对应点的坐标； （2）求出线段在旋转过程中所扫过的图形的面积． 【思路点拨】 本题主要考查了旋转的性质和扇形的面积公式，扇形的面积等于： （1）根据旋转的性质即可画出图形，从图标即可； （2）先画出线段和的运动轨迹，且均为圆弧，再根据图像计算出旋转角度，通过推算出线段在旋转过程中所扫过的图形的面积为即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：如下图所示， 根据图形读出的坐为； （2）解：点C绕点P旋转，线段的运动轨迹为半径为的圆弧，点A绕点P旋转，线段的运动轨迹为半径为的圆弧，如下图所示， 设红色部分图像的面积为，蓝色图形面积为 根据旋转的性质可得 ∵， ∴线段在旋转过程中所扫过的图形的面积为 根据A和的位置可以得出，点A旋转角度为， ∵， ∴，， ∴线段在旋转过程中所扫过的图形的面积为 14．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向上平移5个点位长度，再向左平移4个点位长度，得到，请画出，并写出点的坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （3）将绕着原点O顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积(结果保留)． 【思路点拨】 本题考查简单作图、扇形面积的计算、平移变换、轴对称变换、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据平移的性质得出对应点的位置，画出平移后的图形，写出坐标即可； （2）利用轴对称的性质得出对应点的位置，画出图形，写出坐标即可；； （3）根据题意画出旋转后的图形，先求得：，，再由旋转角是，利用割补法可知，线段在旋转过程中扫过的面积等于四分之一个圆环的面积，其中圆环外圆半径是，内圆半径是，即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：如图所示，即为所求； 由图可知：点的坐标：； （2）如图所示， 即为所求； 由图可知：点的坐标： （3）将绕着原点顺时针旋转，得到△，如图， ∵，， ，， 由旋转角是，利用割补法可知：线段在旋转过程中扫过的面积等于四分之一个圆环的面积，其中圆环外圆半径是，内圆半径是， 线段在旋转过程中扫过的面积． 15．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，    （1）将向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的图形，并写出相应坐标； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形，并写出坐标； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过图形的面积． 【思路点拨】 （1）根据平移的性质，画出图形，即可得到坐标； （2）根据旋转的性质，找出顶点的位置，画出图形，即可得到坐标；． （3）先计算出AB和AC的长，根据扇形的面积公式，利用线段BC在旋转过程中扫过的面积等于进行计算． 【解题过程】 （1）解：如图，即为所求；      各顶点坐标：； （2）解：如图，即为所求；    其中； （3）解：，， ∵绕点A顺时针旋转得到的， ∴， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为： ． 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）．（无刻度的直尺作图）    （1）画出该图中弧所在圆的圆心的位置（保留作图痕迹），则点的坐标为______． （2）分别连接、和，求线段绕着点旋转的度数所形成的图形的面积． 【思路点拨】 （1）由垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，即可作线段、的垂直平分线，其交点即为点，结合图形即可得出点的坐标； （2）根据勾股定理和勾股定理逆定理得出，则，作，垂足为点，由三角形面积得出，最后根据代入进行计算即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：画图如图所示：点即为所求， ， 由图可得：点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图， ， 由勾股定理得：，， ， 为等腰直角三角形， ， ∴， 作，垂足为点， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$