专题3.5 求某点的弧形运动路径长度（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题3.5 求某点的弧形运动路径长度 · 典例分析 【典例1】四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ． 【思路点拨】 三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接，由内心定义得，继而证明，再由全等三角形的对应角相等解得，接着计算的度数，得到，过、、三点作，求得的度数，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根据弧长公式解题即可． 【解题过程】 解：如图，连接， 是内心， ， ，， ， ， ， ， ， ， 过、、三点作，连接， ， 当点从点运动到点时，内心所经过的路径长为的长， 过点作，过作，垂足分别为M、N， ，， ，， ，． ，， ， 在等腰直角三角形中，， ． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 4．（2024·湖南湘潭·一模）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·四川达州·期中）如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（    ）      A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·三模）如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在等腰中， ，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按滑动到B止，在这个过程中，线段的中点M所经过的路径长为 ． 11．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为 ．      12．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心过点，B点为上任意一点，，连接，，以、为邻边作平行四边形，当B点从A点出发，绕圆旋转一周的过程中，求Q的运动路径长为 ． 13．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，， 将绕点顺时针旋转得到，过点作于点，当点在同一直线上时停止旋转．在这一旋转过程中，点所经过的路径长为 ． 14．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）如图，中，，，点E、F是以斜边为直径的半圆的三等分点，点P是上一动点，连接，点M为的中点．当点P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为 ． 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 17．（2023九年级上·浙江·专题练习）等边三角形的边长为，在，边上各有一个动点E，F，满足，连接，相交于点P．    （1）的度数； （2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长； （3）连接，直接写出长度的最小值． 18．（2024·云南楚雄·一模）如图1，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A，B分别作，的平行线，相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积是24，，求矩形的周长； （3）如图2，在（2）的条件下，点P是线段上的一动点，连接，作点B关于直线的对称点Q，若点P从点B开始向右运动了6个单位，求点Q运动的轨迹的长． 19．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）求的长； （2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1：和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 求某点的弧形运动路径长度 · 典例分析 【典例1】四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ． 【思路点拨】 三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接，由内心定义得，继而证明，再由全等三角形的对应角相等解得，接着计算的度数，得到，过、、三点作，求得的度数，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根据弧长公式解题即可． 【解题过程】 解：如图，连接， 是内心， ， ，， ， ， ， ， ， ， 过、、三点作，连接， ， 当点从点运动到点时，内心所经过的路径长为的长， 过点作，过作，垂足分别为M、N， ，， ，， ，． ，， ， 在等腰直角三角形中，， ． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查圆三角形的综合运用，如图所示，连接，由垂径定理得，点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角，根据弧长的计算方法即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，连接， ∵P是弦的中点 ∴， ， ∴点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角， ∴点P所经过的路径长为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 【思路点拨】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键． 解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可． 【解题过程】 解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴点C经过的路径长为：， 故选：C． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质及动点轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用圆周角定理确定P点的轨迹．连接，由，可得点P是在以为直径的弧上运动，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长，据此求解即可． 【解题过程】 解：如图，连接， 是的直径， ， 点P是在以为直径的弧上运动， 当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长， ， 中，， ， 故选：C 4．（2024·湖南湘潭·一模）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键． 首先求得每一次转动的路线的长，发现每3次循环，找到规律然后计算即可． 【解题过程】 解：如图： 解：转动一次顶点A至点，旋转，路线长是：， 转动第二次顶点至点，未动，路线长是：0， 转动第三次顶点至点，旋转，路线长是：， 以此类推，每三次循环， 故顶点A转动三次经过的路线长为：， ∵9次旋转重复了（遍）， ∴顶点A转动在整个旋转过程中所经过的路程之和为：， 故选：A. 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 首先确定的运动轨迹是以B为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后利用弧长公式求解即可． 【解题过程】 解：由对称的性质可知，， ∴在以为圆心，半径为的圆上运动， 当若从运动到，如图，的运动轨迹为， ∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可． 【解题过程】 解：如图，连接， 在中，点O是的中点，， ， ， ， ， 点E与点C第一次重合时，旋转角为， ， 由旋转的性质得到， 点A运动路径的长为， 点A运动路径的长为：， 故选：A． 7．（23-24九年级下·四川达州·期中）如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（    ）      A． B． C． D． 【思路点拨】 由点的运动特点可知点轨迹是以为直径圆上的弧，求出的长以及圆心角，即可求解． 【解题过程】 解：连接，，以的长为半径，的中点为圆心画圆，点为半圆上的三等分点，连接，，如图：    ∵点为半上的三等分点， ∴， 故， ∴， ∴， ∴， 当点从点运动到点的过程中，， 即， ∴， 故点的运动轨迹是，且， 在中，， ∴点的运动路径长为， 故答案为：B． 8．（2024·湖北武汉·三模）如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，由是上半圆的中点可得，利用勾股定理得到，由可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，求出半圆的弧长即可求解，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键． 【解题过程】 解：连接， ∵是上半圆的中点， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵点从点运动到点， ∴点的运动轨迹为一个半圆， ∴点运动的路径长是， 故选：． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在等腰中， ，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，利用勾股定理得到的长，进而可求出，的长，求得，于是得到点在以为直径的圆上，然后根据圆的周长公式计算点运动的路径长． 【解题过程】 解：取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图， 在等腰中， ， ， ， ， ， 在上， 为的中点， ， ， ∴点M在以为直径的圆上， 点在点时，点在点；点在点时，点在点． 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， ， 同理， ， 四边形是矩形， ， 四边形为正方形， ， 点的路径为以为直径的半圆， 点运动的路径长 ． 故选：B． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按滑动到B止，在这个过程中，线段的中点M所经过的路径长为 ． 【思路点拨】 本题主要是考查了正方形的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式是解题的关键． 如图：根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个圆弧，点M所经过的路线为半径为1圆的周长，求出即可． 【解题过程】 解：连接， 当Q在A、B之间运动时，及B点形成直角三角形， ∵M为中点， ∴总有， ∴M点的运动轨迹是以点B为圆心的四分之一圆． 同理，当Q在B、C之间运动时，M点的运动轨迹是以点C为圆心的四分之一圆， ∴点M经过的路线为半径圆的周长，即为． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为 ．      【思路点拨】 本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及扇形的弧长．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理先后求得的长，以及和的度数，再利用弧长公式计算即可． 【解题过程】 解：∵，，， ∴，， ，， ∴，，    ∴点翻滚到位置时共走过的路径长为：， 故答案为：． 12．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心过点，B点为上任意一点，，连接，，以、为邻边作平行四边形，当B点从A点出发，绕圆旋转一周的过程中，求Q的运动路径长为 ． 【思路点拨】 本题主要考查确定点的运动轨迹，根据四边形是平行四边形，且，由此可得出当B点从A点出发，绕圆旋转一周的过程中， Q的运动路线是以为圆心，2为半径的圆，故可得出点Q的运动路径长. 【解题过程】 解：如图， ∵ ∴ ∵边形是平行四边形， ∴且 ∴当B点从A点出发，绕圆旋转一周的过程中， Q的运动路线是以为圆心，2为半径的圆， 所以，的周长为， 即，Q的运动路径长为． 故答案为：. 13．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，， 将绕点顺时针旋转得到，过点作于点，当点在同一直线上时停止旋转．在这一旋转过程中，点所经过的路径长为 ． 【思路点拨】 通过添加辅助圆，找到点的运动轨迹，求出圆弧对应的圆心角与半径长，然后根据弧长公式计算即可． 【解题过程】 解：如图1，取中点，连接, 于点， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图2，点在同一直线上， ，， ，， ， ， 点所经过的路径长为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）如图，中，，，点E、F是以斜边为直径的半圆的三等分点，点P是上一动点，连接，点M为的中点．当点P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为 ． 【思路点拨】 令的中点分别为点O、G、H，连接，易证为等腰三角形，根据三线合一可得，则点M的运动路径为以中点为圆心，以为半径，圆心角为的弧长，即可求解． 【解题过程】 解：令的中点分别为点O、G、H，连接， ∵为直径，点O为中点， ∴， ∵，点O为中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点M为的中点， ∴，则， ∵点E、F是以斜边为直径的半圆的三等分点， ∴点M的运动路径为以中点为圆心，以为半径，圆心角为的弧长， ∵点G、O、H、分别为中点，， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴点M的运动路径长为． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 【思路点拨】 本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【解题过程】 解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 【思路点拨】 （1）由四边形是菱形，，则，由旋转性质可知，，则，最后根据即可求证； （2）连接交与，根据菱形的性质可得，，，由角所对直角边是斜边的一半得，再由勾股定理得，利用弧长公式即可即可求解． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接交与， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质可知：， ∴弧的长为， ∴在旋转过程中点扫过路径的长为． 17．（2023九年级上·浙江·专题练习）等边三角形的边长为，在，边上各有一个动点E，F，满足，连接，相交于点P．    （1）的度数； （2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长； （3）连接，直接写出长度的最小值． 【思路点拨】 （1）结合等边三角形的性质，证明，即可作答； （2）根据，,可知点P的路径是一段弧，根据点P经过劣弧上，,可得当点P经过优弧上，，即有，结合弧长公式即可作答； （3）根据，,可得点P的路径是一段弧，即当点E运动到的中点时，长度的最小，即点P为的中心，过B作于，问题随之得解． 【解题过程】 （1）∵为等边三角形， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴． ∴． （2）如图1，    ∵，, ∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为的中点的时候，点P经过劣弧的中点，此时为等腰三角形，且， ∵点P经过劣弧上，, ∴当点P经过优弧上，， ∴，即， 又∵， ∴， 点P的路径是； （3）如图2，    ∵，, ∴点P的路径是一段弧， ∴当点E运动到的中点时，长度的最小， 即点P为的中心， 过B作于， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∴长度的最小值是2． 18．（2024·云南楚雄·一模）如图1，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A，B分别作，的平行线，相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积是24，，求矩形的周长； （3）如图2，在（2）的条件下，点P是线段上的一动点，连接，作点B关于直线的对称点Q，若点P从点B开始向右运动了6个单位，求点Q运动的轨迹的长． 【思路点拨】 （1）首先由矩形的性质得到．然后结合，，即可证明出四边形是菱形； （2）连接，交于点，首先得到，，进而得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）首先根据题意求出，，然后得到点运动的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，然后得到点Q在上，点运动的轨迹是弧，然后利用弧长公式求解即可． 【解题过程】 （1）证明：， 四边形是平行四边形； 四边形是矩形， ，， ， 是菱形； （2）解：连接，交于点，如图： 四边形是菱形，面积是24， ， 点，分别是，的中点， ， 在中，， 或（舍去） 矩形的周长为：； （3）解：由（2）知，，； 将①式代入②式得：， 解得：， ∵点B关于直线的对称点Q， ∴ ∴点运动的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当时， ∴ ∴ ∴ ∴点Q在上 ∴点运动的轨迹是弧， ． 19．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）求的长； （2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【思路点拨】 （1）由圆周角定理得出，由勾股定理可求出答案； （2）延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论； （3）连接，，证明，由全等三角形的性质得出 ，则点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上 (分左右两种情况)，求出的长，由弧长公式可得出答案． 【解题过程】 （1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1：和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【思路点拨】 （1）如图，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图，由，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图， 证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【解题过程】 解：；；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）如图，∵，， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$