专题3.1 生活中的立体图形（五大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（华东师大版2024）

专题3.1 生活中的立体图形（五大题型总结） 【题型一：常见的几何体与立体图形的分类】 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列几何体中棱柱有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面一定是四边形；④棱柱的侧面展开图是一个长方形；⑤若棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·全国·期中）下列说法不正确的是（    ） A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的 C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的 【题型二：简单组合体的构成】 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 7．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留）    8．（23-24六年级上·山东烟台·期中）如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要 个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 【题型三：几何体中的点、面、棱】 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点、9条棱、5个面，如图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． （1）四棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． （2）五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． （3）你能由此猜想六棱柱、七棱柱各有几个顶点、几条棱、几个面吗？棱柱呢？ 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）不透明袋子中装有一个棱柱，小金告诉小林关于这个棱柱的一些信息：①共有18个顶点；②所有侧棱长的和为． 请回答以下问题： （1）该棱柱是_____棱柱； （2）求该棱柱每条侧棱的长； （3）若该棱柱的底面边长都为，则这个棱柱的底面周长是多少？ 11．（24-25七年级上·全国·阶段练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于7，那么两面带红色的小正方体的个数等于 ． 12．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； （4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【题型四：平面图形旋转后所得的立体图形】 13．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的．（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·四川成都·期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 15．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，将下面组合图形分别绕轴、轴旋转一周形成两个不同的立体图．求这两个立体图形体积？ 16．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． （1）这个几何体的名称是 ，有 个平面， 个曲面； （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 【题型五：截一个几何体】 17．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   18．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片，将该长方形纸片绕一条边所在的直线旋转一周，然后用平面沿与平行的方向去截所得的几何体，求截面的最大面积（结果保留）． 19．（23-24六年级下·上海·期末）将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ． 20．（2024·山东青岛·一模）已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 生活中的立体图形（五大题型总结） 【题型一：常见的几何体与立体图形的分类】 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列几何体中棱柱有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】 根据棱柱的定义，可得答案． 【解题过程】 解：①是长方体（四棱柱），③是四棱柱）⑥是五棱柱，⑦是三棱柱，以上这四个都是棱柱； 其它三个分别是圆柱、圆锥、球，都不是棱柱． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了简单几何体，准确地识别球、长方体、圆柱、圆台是解决问题的关键．根据各选项中的实物所抽象出的几何图形逐一进行判断即可得出答案． 【解题过程】 解：选项A中的实物抽象出的几何图形为球，故选项A不符合题意； 选项B中的实物抽象出的几何图形为长方体，故选项B符合题意； 选项C中的实物抽象出的几何图形为圆柱，故选项C不符合题意； 选项D中的实物抽象出的几何图形为圆台，故选项D不符合题意， 故选：B． 3．（24-25六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面一定是四边形；④棱柱的侧面展开图是一个长方形；⑤若棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查了认识立体图形，注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形是解题的关键．根据柱体，锥体的定义及组成，即可求解． 【解题过程】 解：①柱体包括圆柱、棱柱，柱体的两个底面一样大，故该说法正确； ②圆柱、圆锥的底面都是圆，故该说法正确； ③棱柱的底面可以是任意多边形，故原说法错误； ④棱柱的侧面展开图可能是一个长方形，也可能是平行四边形，故原说法错误； ⑤棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱，故该说法正确， 综上所述，正确的为：①②⑤，共有3个． 故选：B 4．（24-25七年级上·全国·期中）下列说法不正确的是（    ） A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的 C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的 【思路点拨】 本题考查认识立体图形，掌握每一个立体图形的形状是解本题的关键．根据平面与曲面的区别进行分析即可． 【解题过程】 解：A．正方体有六个面，这六个面都是平的，正确，故该选项不符合题意； B．圆柱有三个面，上底和下底是平的，侧面是曲的，故原说法错误，该选项符合题意； C. 圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的，正确，故该选项不符合题意； D. 球由一个面围成，这个面是曲的，正确，故该选项不符合题意． 故选B． 【题型二：简单组合体的构成】 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【思路点拨】 本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【解题过程】 解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【思路点拨】 此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，在一个大正方体的上面的一个角上挖出一个棱长的小正方体，那么它的表面积没有发生变化；用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可． 【解题过程】 解：余下部分的体积： ； 表面积：1； 答：余下部分的表面积是，体积是． 7．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留）    【思路点拨】 本题考查长方体体积和圆柱的体积，根据零件的体积长方体体积圆柱体积，列式求解即可，注意圆孔选择面积最小的一个面，即圆柱的高为． 【解题过程】 解：由题知，零件的体积． 故答案为：． 8．（23-24六年级上·山东烟台·期中）如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要 个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 【思路点拨】 根据图形，可得搭成后的大正方体的每条棱长至少是由3个小正方体组成的，据此可以得出搭成后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方体的个数，即可得出答案． 【解题过程】 解： （个）， ∴至少还需要个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 故答案为：． 【题型三：几何体中的点、面、棱】 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点、9条棱、5个面，如图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． （1）四棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． （2）五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． （3）你能由此猜想六棱柱、七棱柱各有几个顶点、几条棱、几个面吗？棱柱呢？ 【思路点拨】 本题主要考查了图形类的规律探索，几何体中点、面、棱的个数问题： （1）根据图形求出对应几何体的点、面、棱的个数即可； （2）根据图形求出对应几何体的点、面、棱的个数即可； （3）根据三棱柱，四棱柱，五棱柱中点，面，棱的个数可得规律n棱柱有个顶点，条棱，个面，据此规律求解即可． 【解题过程】 （1）解：四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面， 故答案为：8，12，6； （2）解：五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面， 故答案为：10，15，7； （3）解：三棱柱有个顶点，条棱，个面， 四棱柱有个顶点，条棱，个面， 五棱柱有个顶点，条棱，个面， ……， 以此类推可知n棱柱有个顶点，条棱，个面， ∴六棱柱有12个顶点、18条棱、8个面；七棱柱有14个顶点、21条棱、9个面． 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）不透明袋子中装有一个棱柱，小金告诉小林关于这个棱柱的一些信息：①共有18个顶点；②所有侧棱长的和为． 请回答以下问题： （1）该棱柱是_____棱柱； （2）求该棱柱每条侧棱的长； （3）若该棱柱的底面边长都为，则这个棱柱的底面周长是多少？ 【思路点拨】 本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）根据棱柱顶点的个数确定出是九棱柱； （2）根据棱柱的每一条侧棱都相等即可求出答案； （3）底面周长用底面边长乘9即可． 【解题过程】 （1）解：由一个棱柱共有18个顶点可得该棱柱是九棱柱， 故答案为：九； （2）解：九棱柱有9条侧棱长，所有的侧棱长的和是， 每条侧棱长为； 答：该棱柱每条侧棱的长； （3）解：这个棱柱的底面有9条边长，则底面周长是， 答：这个棱柱的底面周长是． 11．（24-25七年级上·全国·阶段练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于 ． 【思路点拨】 本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【解题过程】 解：∵是质数， ∴只能是的无红色， ∴原来大小是， 把它看成三层：第一层：棱块有（个）， 第二层：只有个； 第三层：同第一层个， ∴两面带红色的小正方体的个数共个， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； （4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【思路点拨】 （1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【解题过程】 （1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：12； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【题型四：平面图形旋转后所得的立体图形】 13．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的．（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，解题的关键是观察平面图形的特征． 根据选项一一判断即可． 【解题过程】 解：A、此选项的图形旋转一周所得的图形与题干图形不符合，不符合题意； B、此选项的图形旋转一周所得的图形为圆柱，不符合题意； C、此选项的图形旋转一周所得的图形即为题干所示立体图形，符合题意； D、此选项的图形旋转一周所得的图形与题干图形不符合，不符合题意； 故选：C． 14．（23-24七年级上·四川成都·期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 【思路点拨】 本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键． 【解题过程】 解：大圆柱的表面积（平方厘米）． 小圆柱的侧面积（平方厘米）． 待求几何体的表面积（平方厘米）． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，将下面组合图形分别绕轴、轴旋转一周形成两个不同的立体图．求这两个立体图形体积？ 【思路点拨】 本题考查点、线、面、体，第一个图形形成的立体图形是一个圆柱体挖掉一个圆锥，第而个图形形成的立体图形是一个圆柱体加上一个圆锥，由圆柱、圆锥的体积公式即可求解． 【解题过程】 解：第一个图形形成的立体图形的体积： ； 第二个图形形成的立体图形的体积： ； 答：第一个立体图形体积为，第二个立体图形体积为． 16．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． （1）这个几何体的名称是 ，有 个平面， 个曲面； （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 【思路点拨】 本题考查几何体的体积以及面动成体． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，进而可得出平面和曲面的个数； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，有2个平面，1个曲面， 故答案为：圆柱，2，1； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 【题型五：截一个几何体】 17．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   【思路点拨】 此题考查了几何体的截面图，根据题意进行排除即可，解题的关键是正确理解几何体的截面图 【解题过程】 解：根据几何体的截面可知， 、圆锥的截面图为圆，三角形，此选项不符合题意； 、正方体的截面图如图，此选项不符合题意；    、球的截面图为圆，此选项不符合题意； 、圆柱的截面图为圆，长方形，此选项不符合题意； 故选：． 18．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片，将该长方形纸片绕一条边所在的直线旋转一周，然后用平面沿与平行的方向去截所得的几何体，求截面的最大面积（结果保留）． 【思路点拨】 根据长方形绕直线或旋转一周得到一个圆柱体，分别计算沿线段的平行方向截所得的几何体截面面积，再比较，取最大的即可． 【解题过程】 解：由题意可得，把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 圆柱的底面半径为，高为， 用平面沿与平行的方向去截所得的几何体，截面是圆， 所以截面的最大面积为； 由题可得，把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 圆柱的底面半径为，高为， 用平面沿与垂直的方向去截所得的几何体，截面是长方形， 所以截面的最大面积为， 因为， 所以截面的最大面积为． 19．（23-24六年级下·上海·期末）将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ． 【思路点拨】 根据长方体的特征：长方体有12条棱．在顶点处截去一个角就多出三条棱，但是长方体原本的12条棱少了几条要画图分类讨论． 【解题过程】 解：①（条）； ② （条）； ③ （条）； ④ （条）； 答：所得立体图形的棱的条数为15条或14条或12条或13条 故答案为：15条或14条或12条或13条． 20．（2024·山东青岛·一模）已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为 ．    【思路点拨】 本题考查了正方体的特征，正确理解截一个几何体后的图形是本题的解题关键． 根据截去小正方体后棱长变化求出棱长和，再分析当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少，计算求出即可． 【解题过程】 解：∵在每个顶点处截去一个小正方体，原正方体棱数会多9，原正方体棱长和多出6个小正方体棱长， ∴八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体后， 棱长和为：， 当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少， 由于重合总棱长的和相当于少4个长为7的棱长， ∴最少棱长和为：， 故答案为：368． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$