专题27 函数的新定义问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题27 函数的新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、定义新概念 1 题型二、定义新运算 2 题型三、定义新性质 3 压轴能力测评（11题） 4 一、新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 二、新定义问题的方法和技巧 1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念。 【题型一 定义新概念】 一、解答题 1．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ；. (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” (1)已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； (2)已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 3．（24-25高一上·广东惠州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由； (2)用定义证明函数在为单调递增函数； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【题型二 定义新运算】 一、解答题 1．（24-25高三上·辽宁·开学考试）定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为. (1)求； (2)已知函数不存在最小值，求的取值范围. 2．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，. (1)求的解集和的解集. (2)若，恒成立，求取值范围. (3)若的解集为，求的范围. 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数，满足以下条件： ①，； ②，，，. (1)求，的值. (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. (3)若，，试判断函数的周期性，并说明理由. 【题型三 定义新性质】 一、解答题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增． (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 2．（23-24高一上·浙江温州·期中）如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”. (1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，.若函数有8个零点，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·上海·期末）（1）是定义在正整数集上的函数，并且满足 ①当为正整数时，； ②当为非负整数时，. 求的值. （2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质： ①；②；③. 求. 一、解答题 1．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质. (1)证明：函数具有性质，并求出相应的； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围. 2．对于定义域分别为，的函数，，规定：函数. (1)若，其中，，其中，求； (2)对（1）中的，求的值域． 3．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 4．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 5．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 6．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”． (1)求证；若为的“不动点”，则为的“稳定点”； (2)若，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，且，求实数的取值范围． 7．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 8．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”． (1)判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； (2)设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值； (3)设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 9．（22-23高二下·山东青岛·期末）定义一种新的运算“”：，都有. (1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系； (2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围； (3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 10．（22-23高一上·上海奉贤·期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 11．（23-24高一下·广东韶关·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“Ω区间”. 性质1: 对任意，有； 性质2: 对任意，有. (1)分别判断区间是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由； ①② (2)若是函数的“Ω区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数在R 上单调递减，且只能满足性质2. 求证: 函数在 R 上存在唯一的零点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27 函数的新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、定义新概念 1 题型二、定义新运算 6 题型三、定义新性质 9 压轴能力测评（11题） 13 一、新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 二、新定义问题的方法和技巧 1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念。 【题型一 定义新概念】 一、解答题 1．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ；. (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 【答案】(1)无下界，理由见解析；有下界，为8； (2)答案见解析，无“上界”，理由见解析 【分析】（1）根据称为函数在上的“下界”的定义，判断即可； （2）类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间上有“上界”的定义即可；通过讨论的范围，判断函数是否有“上界”即可. 【详解】（1）因为，所以，无“下界”； 因为，，当且仅当时“”成立， 所以有“下界”，为8. （2）对于定义在区间上的函数， 若存在，对任意的，都有， 则称函数在区间上有“上界”，把称为函数在上的“上界”. 由题，， 当时，， ，易得在上单调递减， 当时，，无“上界”； 当时，， ，易得在上单调递增， ； 综上，函数无“上界”. 2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” (1)已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； (2)已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 【答案】(1)①或；② 0或1. (2) 【分析】（1）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （2）由二次函数的性质可知当时，函数G为增函数，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【详解】（1）① 因二次函数的对称轴为直线， 当时，，当时，. （Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数， 依题意，由，解得； （Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数， 依题意，由，解得. 综上，或； ② 当时，函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，. (Ⅰ)若，则由，解得（舍去）； （Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅲ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅳ）若，则由，解得（舍去）. 综上，t的值为0或1； （2）因二次函数的对称轴为直线， 又，则，于是， 故当时，函数为增函数， 即当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 于是，， 因为整数，且，则，即， 又因，即，解得. 【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值. 3．（24-25高一上·广东惠州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由； (2)用定义证明函数在为单调递增函数； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）判断方程有没有实数解即可； （2）设，且是上任意两个实数，用作差法证明； （3）方程在上有解，令，问题转化为方程在上有解，再由一元二次方程根的分布知识求解． 【详解】（1），则方程为， 化为，又，此方程无实数解， 所以，不存在实数，满足， 所以不是“局部反比例对称函数”. （2）， 设，且是上任意两个实数，则， 所以，即， 所以在为单调递增函数； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，即在上有解． 即在上有解． ， 令，则上述方程化为， ，由（2）知， 所以方程在上有解， 设，则其图象开口向上，对称轴为， ①若，， 即，所以，所以； ②若，， 即，所以，所以； 综上，实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题函数的新定义，解题方法利用新定义把问题进行转化，第（3）小题一是直接由新定义转化为方程在上有解，二是利用换元法转化一元二次方程在上有解，然后再利用二次方程根的分布知识求解． 【题型二 定义新运算】 一、解答题 1．（24-25高三上·辽宁·开学考试）定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为. (1)求； (2)已知函数不存在最小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三阶行列式运算，列不等式求解集； （2）由分段函数解析式，分别讨论定义区间内函数不存在最小值的条件，可求的取值范围. 【详解】（1）， 解得且，又，， 所以不等式解集. （2）由（1）可知，有， 所以当时，； 当时， 当，即时，，所以不存在最小值； 当，即时，，因为不存在最小值， 所以，解得， 综上，的取值范围是. 2．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，. (1)求的解集和的解集. (2)若，恒成立，求取值范围. (3)若的解集为，求的范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由表示不超过实数的最大整数可得的范围； （2）由不等式恒成立，分离参数可得，再利用基本不等式可得的范围； （3）不等式可化为，分三类讨论解集情况可得. 【详解】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ，则，所以. 所以的解集为. （2），恒成立， 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立. 故的最小值为， 所以要使恒成立，则. 故的取值范围为. （3）不等式，即， 由方程可得或. ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得. 综上所述， 或. 故的范围为. 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数，满足以下条件： ①，； ②，，，. (1)求，的值. (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. (3)若，，试判断函数的周期性，并说明理由. 【答案】(1)， (2)是偶函数，是奇函数，理由见解析 (3)是以为周期的周期函数，理由见解析 【分析】（1）利用特殊值进行代入计算得出结果； （2）利用函数奇偶性的定义，通过赋值进行分析判断函数的奇偶性； （3）利用周期函数的定义，通过进行分析判断函数的周期性； 【详解】（1）令，则； 令，则 由①可取，得. 综上，，. （2）令，则， 即，，则是偶函数. 令. 即，，则是奇函数． （3）由题意得，，则． 又，则， 又， 则，进而， 所以，即是以为周期的周期函数. 【点睛】方法点睛：研究抽象函数相关性质的方法： 法一：利用单变量赋值法求出函数的性质，利用双变量赋值求出具体值，是抽象函数函数值此类题型的通性通法； 法二：利用熟悉的函数使抽象函数具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，也是此类题型的解题方法； 【题型三 定义新性质】 一、解答题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增． (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为 (2) 【分析】（1）运用整体换元法对已知函数进行变形，再根据“对勾函数”的性质得出结果； （2）根据条件可得出值域是值域的子集，由此解决问题. 【详解】（1）解：设，， 则． 由函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增． ，，即， 的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （2）当时，今，则， 则函数， 由于，故当时，的值域为， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 故，解得， 即实数a的取值范围为． 2．（23-24高一上·浙江温州·期中）如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”. (1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，.若函数有8个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据给定的性质，求出函数在的解析式，再分类讨论求出最大值. （2）根据给定的性质，求出函数的解析式，并分析函数性质作出图象，令，把函数的零点问题转化为一元二次方程实根分布求解. 【详解】（1）由具有“性质”，得对恒成立，则函数是上的偶函数， 当时，，， 则当时，；当时，， 所以当，最大值为；当时，最大值为. （2）函数具有“性质”，则，即， 而当时，，则当时，，， 于是，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，函数的图象如图， 令，显然当时，方程无解，当或时，方程有2个解， 当时，方程有3个解，当时，方程有4个解， 函数有8个零点，则在上有两个不等的实数根， 因此，解得， 所以的取值范围为. 3．（23-24高一上·上海·期末）（1）是定义在正整数集上的函数，并且满足 ①当为正整数时，； ②当为非负整数时，. 求的值. （2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质： ①；②；③. 求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由可得，后续迭代计算即可得； （2）结合所给性质逐个计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，故， ，故， ，故， ，故， 当时，有， 即，， ，； （2）由，故， ， ， ， 由，故， ， ， ， ， 由，故， 即有 . 【点睛】关键点睛：第一小问关键在于能借助得到；第二小问关键在于能借助性质得到，并通过该性质不断计算化简. 一、解答题 1．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质. (1)证明：函数具有性质，并求出相应的； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义，将代入，化简计算即可得证； （2）由的定义域为，可得，根据函数具有性质，存在，使得成立，代入化简整理得到关于的方程，转化为方程有解的问题，进而求出的取值范围. 【详解】（1）证明：代入得：， 即，解得， 函数具有性质，； （2）由题知的定义域为，且， 函数具有性质， 存在，使得成立， 代入得：， ， ， 整理得：有实根， ①当时，解得，； ②当时，得， 即，解得：， 综上可得：. 2．对于定义域分别为，的函数，，规定：函数. (1)若，其中，，其中，求； (2)对（1）中的，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的新定义，结合函数的定义域可得解析式； （2）利用基本不等式可得函数的值域. 【详解】（1）由函数的定义域为，函数的定义域为， 所以当时，； 当时，， 综上所述：. （2）由（1）得当，， 设，则，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 当时，，即，即， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，； 当时，， 综上所述. 3．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最值即可得到的值； （2）求出分段函数，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）若选择条件①因为， 所以，故. 所以， 因为，故， 解得或， 所以不等式解集为. 若选择条件②恒成立，故最小值为， 所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①. （2）不论是条件①或是条件②均可以得到， 因为， 根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，， 所以， 又因为当，不等式恒成立， 故当，不等式恒成立， 即恒成立，. 因为， 当且仅当时等号成立，故，即. 4．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 【答案】(1)与是“利普希兹条件函数”，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义推导的正负，即可判断； （2）首先证明对任意的，都有，再由周期性，即可证明对定义域内任意的，均有. 【详解】（1）由题知，函数的定义域为， 所以， 即， 所以函数是“利普希兹条件函数”； 函数的定义域为， 所以，， 所以， 所以函数是“利普希兹条件函数”； （2）若， 当，则； 若，设， 则 ， 所以对任意的，都有， 因为函数是周期为的周期函数， 所以对任意的，都存在，使得，， 所以， 综上可得对定义域内任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义. 5．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是增长函数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】（1）的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； （2）依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； （3）由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 6．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”． (1)求证；若为的“不动点”，则为的“稳定点”； (2)若，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助“不动点”和“稳定点”的定义代入计算即可得； （2）分与进行讨论，当时结合一元二次方程的根的判别式与“不动点”和“稳定点”的定义可得要么没有实根，要么实根是方程的根，计算即可得. 【详解】（1）由为的“不动点”，则有， 则，即为的“稳定点”； （2）由题意可知，有实根，即有实根， 当时，有，即有是函数的“不动点”， 令，即，故是函数的“稳定点”， 故，符合要求， 当时，则，解得，即， 由（1）知，所以，即， 即有， ，要么没有实根，要么实根是方程的根， 若没有实根，则，解得； 若有实根且实根是方程的根， 则由方程，得，代入， 有．由此解得，再代入得，由此， 综上所述，的取值范围是． 7．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据优美区间的定义来证明即可； （2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证； （3）原题条件等价于是方程（*）的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解. 【详解】（1）在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； （2），设，可设或， 则函数在上单调递增. 若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根. 方程无解. 函数不存在“优美区间”. （3），设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出的范围以及关于的表达式，由此即可顺利得解. 8．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”． (1)判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； (2)设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值； (3)设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 【答案】(1)与关于“维交换”，理由见解析； (2)0； (3). 【分析】（1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断. （2）由与关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出，借助恒恒等式求解即得. （3）根据给定条件可得，再按讨论分段函数零点即可得解. 【详解】（1）函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，令，即， 解得，因此有唯一解， 所以与关于“维交换”. （2）依题意，对任意，恒有成立， 即对任意，存在函数，， 显然等式左边是关于的4次多项式，则设， 于是， 由奇次项系数得，又，则，，解得， 因此存在，使得与关于“任意交换”，所以. （3）令，依题意，函数在R上有3个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，函数在时只有1个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有2个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点， 当时，在时无零点，当时，在时有1个零点， 综上所述，当时，有3个零点， 所以当与关于“3维交换”时，. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 9．（22-23高二下·山东青岛·期末）定义一种新的运算“”：，都有. (1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系； (2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围； (3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解； （2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可； （3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围. 【详解】（1）， ， （2） 原不等式可化为：，即， 为满足题意，必有，即或① 令， 由于，，结合①可得：， 的一个零点在区间，另一个零点在区间， 从而，即② 由①②可得：或 （3）， 设， 令，，则， ， ， 的值域为 ， 的值域为 根据题意可知：， 解之得：且 【点睛】关键点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之. 10．（22-23高一上·上海奉贤·期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 【答案】(1)函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“m级”性质的定义可说明在R上具有“1级”性质，利用特殊值可判断在R上不具有“1级”性质； （2）根据“m级”性质的定义即可证明结论； （3）任取，讨论是同时属于或，还是一个属于，另一个属于，结合“1级”性质的含义，说明在区间上满足定义，即可证明结论. 【详解】（1）函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由如下： 对于，任意，， 故在R上具有“1级”性质； 对于，，则， 故在R上不具有“1级”性质； （2）函数在R具有“m级”性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数a，，则， 设，则 ，（m为正整数）， 故函数具有“m级”性质； （3）函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质， 即对于任意，均有， 对于任意，均有， 故任取，若同时属于或，则成立； 若中一个属于，另一个属于，不妨设，， 则 ， 综合上述，对于任意，均有， 故函数在区间上具有“1级”性质． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中证明函数在区间上具有“1级”性质，解答时要首先理解“1级”性质的定义，然后要分类讨论任取所处区间，分别说明均符合“1级”性质的定义，即可证明结论. 11．（23-24高一下·广东韶关·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“Ω区间”. 性质1: 对任意，有； 性质2: 对任意，有. (1)分别判断区间是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由； ①② (2)若是函数的“Ω区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数在R 上单调递减，且只能满足性质2. 求证: 函数在 R 上存在唯一的零点. 【答案】(1)区间是函数①的“Ω区间”， 区间不是函数②的“Ω区间”理由见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)利用给定定义逐步检验即可； (2)先确定函数满足那条性质，然后在对进行讨论，确定的导函数符号以及其取值范围； (3) 设新函数，确定的单调性，再根据零点存在定理即可得证. 【详解】（1）对于①，由一次函数的性质得它在上单调递减， 所以当时，， 故区间是的“Ω区间”， 对于②，由反比例函数的性质得它在上单调递减， 所以当时，，此时不满足，也不满足， 故区间不是的“Ω区间”； （2）由题意知是函数的“Ω区间”，，所以满足性质1，所以，则， ①若时，且，，可知在上单调递减，所以解之得不存在故舍之； ②若时, 在时，则在上单调递增， 在时，，则在上单调递减， 所以 解之得； ③若时，，则则在上单调递增， 解之得不存在故舍之. 综上可知若是函数的“Ω区间”，； （3）设是R上的任意两个实数，且， 因为在R 上单调递减，所以， 则根据不等式运算法则知， 令，所以在R上单调递减， 因为只能满足性质2，所以存在，使得， 若，则， 因为单调递减，所以当足够大时，，即， 所以由在R上单调递减可知，存在唯一的使得， 若，， 因为单调递减，所以当足够小时，，即， 所以由在R上单调递减可知，存在唯一的使得， 综上函数在 R 上存在唯一的零点. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$