第29讲 轴对称（三类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第29讲 轴对称（八大题型） 学习目标 1、知道轴对称图形的概念． 2、了解轴对称的性质． 3、画轴对称图形． 一、图形的翻折与轴对称图形 在日常生活及工作中，还会看到一类图形，将它们沿着某一条直线翻折，其在直线两边的部分能够重合.如图14-3-1,将“幕”在直线l左边的部分沿着直线l翻折，l两边的“喜”字重合.如图14-3-2中的京剧脸谱，将它在直线l左边的部分沿着l翻折，与右边部分重合. 如图14-3-3,三角形ABC和三角形A₁B₁C₁沿着直线l翻折后重合，点A与点A₁是对应点，线段AB与线段A₁B₁是对应线段，∠A与∠A₁是对应角. 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 线段、角、正方形和圆都是常见的轴对称图形. 二、轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 三、画轴对称图形 例 如图14-3-9(1),画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形.分析利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”,即四边形四个顶点关于直线l的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)过点A画直线l的垂线AO,垂足为0.延长AO到点A₁,使OA₁=OA,就得到点A关于直线l的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，分别画出点B、C、D关于直线l的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-3-9(2)所示.四边形A₁B₁C₁D₁就是四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形. 【即学即练1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解析】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 【即学即练2】试找出下列两图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，如果两个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴．据此即可解答． 【解析】解：如图， 第二组图形不是轴对称图形． 【即学即练3】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解析】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图像应该是． 故答案为： 题型1：轴对称图形与成轴对称图形 【典例1】．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【解析】解：A、是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 【典例2】．在一美术字中，有的汉字可以看成轴对称图形，下面4个汉字中，可以看成轴对称图形的是（ ） A．感 B．动 C．中 D．国 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解析】C可以看成轴对称图形， 故选：C． 【点睛】此题考查轴对称图形的概念，对于轴对称图形的判断问题，应严格把握定义中的对折、重合两个方面，对于轴对称图形的概念要从以下几个方面正确理解：轴对称图形中至少有一条对称轴；对称轴两旁的部分是指同一图形的两部分，而不是两个图形；这个图形在对称轴两侧的部分能够完全重合． 【典例3】．在数学符号“＋，﹣，×，÷，≈，＝，≤，≥，（    ），≠，中，轴对称图形有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【解析】解：“＋，﹣，×，÷，＝，（    ），”是轴对称图形有7个， 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 【典例4】．如图，属于轴对称图形的有 ，成轴对称的图形有 ．（只填序号） 【答案】 ①③④⑧⑩ ②⑤⑦⑨ 【分析】轴对称图形是将一个图形沿着一条直线翻折后直线两侧部分能够完全重合的图形是轴对称图形，轴对称是一个图形沿着某条直线翻折后与另一个图形能够完全重合称这两个图形成轴对称. 【解析】解：属于轴对称图形的是①③④⑧⑩，属于成轴对称的图形是②⑤⑦⑨. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形和轴对称的定义. 【典例5】．如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做 ；这条直线就是它的 ． 【答案】 折叠 互相重合 轴对称图形 对称轴 【分析】根据轴对称图形的概念直接填空即可． 【解析】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 故答案为：折叠，互相重合，轴对称图形，对称轴． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，解题关键是熟记定义． ． 【典例6】．如图，是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是(   ) A．①②③④⑤⑥ B．①④ C．①③⑤ D．②④⑥ 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义即可解答. 【解析】观察图形可知，这个图形直线①或④对折后，图形的两部分能够完全重合，所以直线①④是这个图案的对称轴. 故选B. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练运用轴对称图形的定义是解决问题的关键. 题型2：（画）图形的对称轴 【典例7】．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)． 【答案】详见解析 【分析】根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可． 【解析】解：如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，解题关键是熟练掌握正五边形的对称性． 【典例8】．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析． 【分析】根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可． 【解析】解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形， 对称轴如下： ． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键． 【典例9】．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．    【答案】见解析 【分析】如图1，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可； 如图2，以线段所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可； 如图3，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可； 如图4，以线段所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可． 【解析】解：如图所示：       【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键．   题型3：电子钟的轴对称问题 【典例10】．小灵和小萍同时站在镜子前看到镜子里的墙上电子挂钟的读数如图所示，此时实际的读数是多少？小灵说是15：20，小萍说是05：21.她们谁说得对？ 【答案】实际的读数是12：50，她们说得都不对． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解析】物体在镜子里的图像关于镜面成轴对称，镜子改变了物体的左右方向．一行数字不仅每个数字被镜子改变左右结构，而且整行数字的左右顺序也被改变， 0和1在镜子里仍然是0和1，2被改变成5，5被改变成2， 所以实际的读数是12：50， 所以她们说得都不对． 【点睛】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2. 题型4：轴对称性质的有关概念 【典例11】．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 【答案】A 【解析】根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D正确，选项A错误. 故选A. 【典例12】．两个图形关于某直线对称，对称点一定(   ) A．这直线的两旁 B．这直线的同旁 C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上 【答案】D 【解析】由成轴对称的定义知，成轴对称的两个图形的对称点，或者在对称轴上，或者在对称轴两旁. 故选D. 点睛：本题考查了成轴对称的定义，一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫做对应点. 【典例13】．轴对称图形的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ． （2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 ． 【答案】 垂直平分线 垂直平分线 【解析】略 题型5：轴对称性质的几何关系 【典例14】．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交直线MN于点O，则（　　） A．点O是BC的中点 B．点O是B1C1的中点 C．线段OA与OA1关于直线MN对称 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质先确定对应点，再根据对应点的连线是对应线段解答． 【解析】由题意可知点O不是BC的中点，A错误；由题意可知点O不是B1C1的中点，B错误； 根据题意A和 A1是关于MN的对应点，∴线段OA与OA1关于直线MN对称， 故选C. 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质. 【典例15】．如图所示的蝴蝶结是一个轴对称图形．若，，那么下面的结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】轴对称图形对应线段相等，对应角相等，据此解答即可． 【解析】解：根据轴对称的性质，可得cm，， 故选：． 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【典例16】．已知Rｔ△ABC中，点B关于对称轴AC的对应点是B′，如图所示，则与线段BC相等的线段是 ，与线段AB相等的线段是 ，与∠B相等的角是 ． 【答案】 B′C AB′ ∠B′ 【解析】解：根据轴对称图形的性质得，与线段BC相等的线段是B′C，与线段AB相等的线段是AB′，与∠B相等的角是∠B′． 故答案：(1)． B′C，    (2)． AB′，    (3)． ∠B′ 【典例17】．如图所示，已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整： （1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______________； （2）分别延长DM，EP，FN至点____________，使______＝______，______＝______，______＝______； （3）顺次连结______，______，______，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL. 【答案】（1）M，P，N；（2）G，H，L，MG，DM　，PH，EP，NL，FN；（3）GH，HL，LG 【分析】作轴对称图形就是从图形的各顶点向轴引垂线并延长相同长度找对应点，顺次连接所成的图形．根据这个作法对(1)、(2)、(3)进行求解即可. 【解析】(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点M、P、N； (2)分别延长DM，EP，FN至点G、H、L，使MG=DM， PH=EP， NL=FN； (3)顺次连结GH，HL，LG，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL. 故答案为(1)M，P，N； (2)G，H，L，MG，DM， PH，EP， NL，FN； (3)GH，HL，LG． 【点睛】本题考查了的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． 题型6：根据轴对称的性质求解 【典例18】．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ） A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN 【答案】D 【分析】根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【解析】解：直线是四边形的对称轴， ，，． 由于和不是对应线段，故不一定等于． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 【典例19】．如图，点D为的边AC上一点，点B，C关于DE对称，若，，则线段BD的长度为 ． 【答案】4 【分析】证明，可得结论． 【解析】解：，， ， ，关于对称， ， 故答案为：4． 【典例20】．已知△ABC关于直线MN对称，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC中必有一个顶点在直线MN上 B．△ABC中必有两个角相等 C．△ABC中，必有两条边相等 D．△ABC中必有有一个角等于60° 【答案】D 【解析】解：∵△ABC关于直线MN对称，∴△ABC为等腰三角形，其对称轴为底边上的高所在的直线． A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上，故本选项正确； B、△ABC中必有两个角相等，故本选项正确； C、△ABC中，必有两条边相等，故本选项正确； D、当该等腰三角形是等边三角形时，△ABC中有一个角等于60°，故本选项错误． 故选D． 【典例21】．在网格中的位置如图所示，若以网格线所在直线为对称轴，作与成轴对称的图形，那么此网格中可以作出的的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义求解即可． 【解析】解：根据题意可作如下图： 根据上图可得，此网格中可以作出的的个数为3个， 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义（平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），正确的画出图形是解决本题的关键． 【典例22】．如图，直线，交于点，点关于，的对称点分别为，． （1）若，相交所成的锐角，则________； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）120°；（2）11 【分析】（1）由于P关于1、2的对称点分别为P1、P2，可得出∠P1AO=∠AOP，∠P2OB=∠POB，再根据∠AOB=60°即可求解； （2）根据对称的性质可知，OP1=OP=OP2=3，再根据P1P2=5即可求出△P1OP2的周长． 【解析】（1）∵点关于，的对称点分别为，， ∴，， ∴； 故答案为：120°； （2）∵点关于，的对称点分别为，， ∴， ∵， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 题型7：画轴对称图形 【典例23】．已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画对称轴，理解轴对称图形的性质是解题的关键． （1）直线是线段的垂直平分线，画出线段的垂直平分线即可； （2）作出A、B两点关于直线对称的对应点，依次连接四个对应点即可． 【解析】（1）解：画出线段的垂直平分线如下： （2）解：所画的轴对称图形如下： 【典例24】．画出四边形关于直线的轴对称的图形． 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特点直接作图即可． 【解析】作图如下： 四边形即为所求． 【点睛】此题主要考查轴对称图形的作法，根据已知分别作出A，B，C、D的关于l对称点是解决问题的关键． 【典例25】．在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有： ①1条对称轴； ②2条对称轴； ③4条对称轴． 【答案】答案见解析. 【分析】①直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；②直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；③直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解析】①如图1所示：  ②如图2所示：③如图3所示： 题型8：台球桌面上的轴对称问题 【典例26】．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【解析】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【典例27】．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【解析】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【典例28】．如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型． （1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求； （2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求． 【解析】（1）解：如图1中，路径是． （2）解：如图2中，路径是． 一、单选题 1．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【解析】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 3．若和关于直线l 对称，的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质可得即可得到答案． 【解析】∵和关于直线l 对称， ∴， ∴， 的面积为8， ∴的面积为8； 故选：C． 4．对如图所示的变化顺序描述正确的是（    ） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．平移、轴对称、旋转 D．轴对称、平移、旋转 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称，平移以及旋转的定义，根据轴对称，平移以及旋转的定义判断即可． 【解析】解：由题意得：如图所示的变化顺序应为先轴对称，再平移，最后旋转， 故选：D. 5．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【解析】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 6．下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和对称轴的定义，准确找出组合图形的所有对称轴是解题的关键； 找出每个组合图形的对称轴，然后比较即可得出答案． 【解析】 A．该图有两条对称轴， B．该图有一条对称轴， C． 该图有三条对称轴， D． ，该图有两条对称轴， 故选：C． 7．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠后对应线段相等、对应角相等；由折叠知，由的周长即可求得结果． 【解析】解：由折叠知； ∵的周长为， ∴， 即， ∴； 故选：B． 8．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）即可得． 【解析】解：由轴对称图形的定义可知，这个格子内标有的数字是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键． 9．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．与互余 B． C．与互补 D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【解析】解：根据折叠的性质可知，，， ∵， ∴，即，故A不符合题意； ∴，故B不符合题意，D符合题意； ∵，故C不符合题意． 故选：D． 10．如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质，根据折叠的性质求解即可． 【解析】解：由折叠可得：，，，， 是边的中点， ，， 的面积恰好是面积的， ， ， 根据已知条件无法证明 故①、②皆错误， 故选：D． 二、填空题 11．（1）观察下列图形，请将轴对称图形的序号写在横线上 ； （2）观察下图中各组图形，其中成轴对称的有 ． 【答案】 ①②⑥ ①②④ 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【解析】解：（1）轴对称图形有①②⑥， 故答案为：①②⑥； （2）轴对称图形有①②④， 故答案为：①②④. 12．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解析】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 13．一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码 ． 【答案】 【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【解析】解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 14．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【解析】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴； 故答案为：5． 15．在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  【答案】 平移 翻折 翻折 旋转 【分析】本题考查平移，轴对称和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．把一个图形沿某条直线对折，可与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线对称，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．根据平移，轴对称，旋转的性质逐一分析即可． 【解析】解：第一组第一个图形通过平移可第二个图形重合； 第二组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第三组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第四组第一个图形通过旋转可第二个图形重合； 故答案为：平移，翻折，翻折，旋转 16．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形，即可求得答案． 【解析】解：如图，    ∴补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了利用轴对称设计图案的知识．掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，且对称轴为折痕所在的这条直线是解题关键． 17．如图，在中，，，，将沿直线折叠，恰好使点与点重合，直线交边于点，那么的周长是 ． 【答案】 【分析】由轴对称的性质可得，再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【解析】解：∵将沿直线折叠，恰好使点与点重合， ∴， ∴的周长为：， ∵，， ∴的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟练的确定轴对称现象中的相等线段是解本题的关键． 18．如图，四边形是长方形（）．点E、F分别是边、上的任意点，连接、．将三角形与三角形分别沿着、翻折，点A、C的对应点分别是点、，当点、、D恰好在同一直线上时， 度． 【答案】45 【分析】首先根据长方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，，据此即可解答． 【解析】解：如图： 四边形是长方形， ， 将三角形与三角形分别沿着、翻折，点A、C的对应点分别是点、，点、、D恰好在同一直线上， ，，， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了翻折的性质，熟练掌握和运用翻折的性质是解决本题的关键． 三、解答题 19．如图是“绿色食品”的标识，它是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？    【答案】该图是轴对称图形，有1条对称轴 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键．根据轴对称图形的定义得出结论即可． 【解析】解：该图是轴对称图形，有1条对称轴． 20．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握画轴对称图形的方法是关键． （1）根据网格结构找出点、、关于的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）． 21．如图，在的正方形网格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形．请你在图中，作出与成轴对称的格点三角形（要求所画图形不重复）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解． 【解析】解：如图所示，和即为所求（答案不唯一）． 22．下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此设计图案即可． 【解析】解：如图所示，即为所求． 23．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．    (1)在方格纸中，格点三角形经过旋转后得到格点三角形，则旋转中心是______（填序号） (2)说明三角形是由三角形经过每样的平移得到的？ (3)画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 【答案】(1)② (2)先向右平移14个单位，然后向下平移2个单位得到的 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转中心的概念求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据轴对称的性质求解即可． 【解析】（1）由题意可得，旋转中心是②， 故答案为：②； （2）由题意可得，三角形是由三角形先向右平移14个单位，然后向下平移2个单位得到的； （3）如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握平移、轴对称、旋转的概念和特征是解题关键． 24．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【解析】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 25．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： （1）任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．  B． C．   D． （2）任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴在图1画出风筝骨架的另一半． （3）任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图2所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，所在的直线是该图形的对称轴，，则竹条的长为________． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． （4）项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识______________． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）60；（4）对应点的连线被对称轴垂直平分 【分析】本题考查利用轴对称设计图案： （1）根据轴对称图形的性质即可进行判断； （2）根据轴对称图形的性质即可完成作图； （3）根据轴对称图形的性质即可解决问题； （4）结合以上任务即可解决问题． 【解析】解：（1）A、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； B、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； C、不是轴对称图形的风筝图案，符合题意； D、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； 故选：C （2）如图，即为所求； （3）∵所在的直线是该图形的对称轴，， ∴竹条； 故答案为：60 （4）在项目实施的过程中用到的数学知识为对应点的连线被对称轴垂直平分． 故答案为：对应点的连线被对称轴垂直平分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 32 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29讲 轴对称（八大题型） 学习目标 1、知道轴对称图形的概念． 2、了解轴对称的性质． 3、画轴对称图形． 一、图形的翻折与轴对称图形 在日常生活及工作中，还会看到一类图形，将它们沿着某一条直线翻折，其在直线两边的部分能够重合.如图14-3-1,将“幕”在直线l左边的部分沿着直线l翻折，l两边的“喜”字重合.如图14-3-2中的京剧脸谱，将它在直线l左边的部分沿着l翻折，与右边部分重合. 如图14-3-3,三角形ABC和三角形A₁B₁C₁沿着直线l翻折后重合，点A与点A₁是对应点，线段AB与线段A₁B₁是对应线段，∠A与∠A₁是对应角. 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 线段、角、正方形和圆都是常见的轴对称图形. 二、轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 三、画轴对称图形 例 如图14-3-9(1),画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形.分析利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”,即四边形四个顶点关于直线l的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)过点A画直线l的垂线AO,垂足为0.延长AO到点A₁,使OA₁=OA,就得到点A关于直线l的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，分别画出点B、C、D关于直线l的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-3-9(2)所示.四边形A₁B₁C₁D₁就是四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形. 【即学即练1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】试找出下列两图形的对称轴． 【即学即练3】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 题型1：轴对称图形与成轴对称图形 【典例1】．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．在一美术字中，有的汉字可以看成轴对称图形，下面4个汉字中，可以看成轴对称图形的是（ ） A．感 B．动 C．中 D．国 【典例3】．在数学符号“＋，﹣，×，÷，≈，＝，≤，≥，（    ），≠，中，轴对称图形有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【典例4】．如图，属于轴对称图形的有 ，成轴对称的图形有 ．（只填序号） 【典例5】．如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做 ；这条直线就是它的 ． 【典例6】．如图，是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是(    ) A．①②③④⑤⑥ B．①④ C．①③⑤ D．②④⑥ 题型2：（画）图形的对称轴 【典例7】．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)． 【典例8】．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【典例9】．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．   题型3：电子钟的轴对称问题 【典例10】．小灵和小萍同时站在镜子前看到镜子里的墙上电子挂钟的读数如图所示，此时实际的读数是多少？小灵说是15：20，小萍说是05：21.她们谁说得对？ 题型4：轴对称性质的有关概念 【典例11】．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（     ） A．对应线段互相平行 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直 【典例12】．两个图形关于某直线对称，对称点一定(   ) A．这直线的两旁 B．这直线的同旁 C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上 【典例13】．轴对称图形的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ． （2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 ． 题型5：轴对称性质的几何关系 【典例14】．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交直线MN于点O，则（　　） A．点O是BC的中点 B．点O是B1C1的中点 C．线段OA与OA1关于直线MN对称 D．以上都不对 【典例15】．如图所示的蝴蝶结是一个轴对称图形．若，，那么下面的结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【典例16】．已知Rｔ△ABC中，点B关于对称轴AC的对应点是B′，如图所示，则与线段BC相等的线段是 ，与线段AB相等的线段是 ，与∠B相等的角是 ． 【典例17】．如图所示，已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整： （1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______________； （2）分别延长DM，EP，FN至点____________，使______＝______，______＝______，______＝______； （3）顺次连结______，______，______，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL. 题型6：根据轴对称的性质求解 【典例18】．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ） A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN 【典例19】．如图，点D为的边AC上一点，点B，C关于DE对称，若，，则线段BD的长度为 ． 【典例20】．已知△ABC关于直线MN对称，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC中必有一个顶点在直线MN上 B．△ABC中必有两个角相等 C．△ABC中，必有两条边相等 D．△ABC中必有有一个角等于60° 【典例21】．在网格中的位置如图所示，若以网格线所在直线为对称轴，作与成轴对称的图形，那么此网格中可以作出的的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例22】．如图，直线，交于点，点关于，的对称点分别为，． （1）若，相交所成的锐角，则________； （2）若，，求的周长． 题型7：画轴对称图形 【典例23】．已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 【典例24】．画出四边形关于直线的轴对称的图形． 【典例25】．在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有： ①1条对称轴； ②2条对称轴； ③4条对称轴． 题型8：台球桌面上的轴对称问题 【典例26】．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【典例27】．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【典例28】．如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 一、单选题 1．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A．B． C． D． 2．下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．若和关于直线l 对称，的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．对如图所示的变化顺序描述正确的是（    ） A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．平移、轴对称、旋转 D．轴对称、平移、旋转 5．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 6．下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．与互余 B． C．与互补 D．平分 10．如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 二、填空题 11．（1）观察下列图形，请将轴对称图形的序号写在横线上 ； （2）观察下图中各组图形，其中成轴对称的有 ． 12．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ． 13．一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码 ． 14．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    15．在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  16．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．    17．如图，在中，，，，将沿直线折叠，恰好使点与点重合，直线交边于点，那么的周长是 ． 18．如图，四边形是长方形（）．点E、F分别是边、上的任意点，连接、．将三角形与三角形分别沿着、翻折，点A、C的对应点分别是点、，当点、、D恰好在同一直线上时， 度． 三、解答题 19．如图是“绿色食品”的标识，它是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？    20．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 21．如图，在的正方形网格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形．请你在图中，作出与成轴对称的格点三角形（要求所画图形不重复）． 22．下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 23．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．    (1)在方格纸中，格点三角形经过旋转后得到格点三角形，则旋转中心是______（填序号） (2)说明三角形是由三角形经过每样的平移得到的？ (3)画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 24．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 25．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： （1）任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．  B． C．   D． （2）任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴在图1画出风筝骨架的另一半． （3）任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图2所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，所在的直线是该图形的对称轴，，则竹条的长为________． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． （4）项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识______________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$