黄金卷04（广东专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，而， 所以, 所以阴影部分表示的集合为=． 故选:C． 2. 已知复数z满足，则（ ） A． 3 B． 2 C． D． 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C． 3.已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即， 由已知得，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】，，， 在上单调递增，，所以， 所以. 故选：D 5. 已知函数和是相邻的两个零点，则（ ） A． B． 在区间上单调递减 C． D． 直线是曲线的切线 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，所以， 又，，所以，故A错误； 所以， 当时，，由正弦函数的单调性知， 在上单调递增，故B错误； 由， ，所以，故C错误； 设切点为，因为，所以， 解得或，， 即或，， 当时，切点为，切线方程为，即， 故D正确. 故选：D 6. 已知正四棱台，其高为，则此正四棱台外接球的直径为（ ） A． 8 B． C． D． 16 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在正四棱台的高上， 设球心位置为，如图所示，距离下平面距离为， 因为高为， 所以，解得， 即正四棱台下底面中心即为球心，则直径为， 故选：B． 7. 已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【详解】数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增，即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即； 解得， 所以若数列是单调递增数列，则， 故选：A． 8. 记为数列的前n项和，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，， 故；，，，，故； ，，， ，， 故； ，， ，， 故； 故.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：.则关于这组数据的结论正确的是（ ） A． 极差是4 B． 众数小于平均数 C． 方差是2 D． 数据的第80百分位数为4.5 【答案】AD 【解析】 【详解】数据从小到大排列为：. A项，该组数据的极差为，故A正确； B项，众数为3，平均数为， 所以众数与平均数相等，故B错误； C项，方差为， 故C错误； D项，由，是整数， 则这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数， 即，故D正确. 故选：AD． 10. 设函数，则（ ） A． 是的极小值点 B． 当时， C． 当时， D． 当时， 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由于，故 . 所以，从而对有，所以是的极大值点，故A错误； 对于B，当时，由于，故 ， 且由，，可得. 故B正确； 对于C，当时，由于，故由，可知 ， 所以，故C正确； 对于D，当时，有，故 ， 所以，故D正确. 故选：BCD． 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A． 点和均在上 B． 点的纵坐标的最大值为 C． 的最大值与最小值之和为3 D． 【答案】ABD 【解析】 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，那么__________. 【答案】 【解析】 详解】由题意可知，， 即：， 即，所以. 故答案为：. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 . 【答案】 【详解】因为，，且为中点，所以，且，，因为， 所以，解得， 直线的方程为，所以，则， 在直角三角形中利用勾股定理得， 解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 14. 若关于的方程有实根，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【详解】设方程的实根为，则， 所以，即. 设点，则点在直线上. 设点到直线的距离为，则， 设，则， 所以， 当，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以， 则，又，由几何意义可知， 所以. 检验：当时，， 由，解得，此时； 由，解得，此时. 所以最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. （13分）在锐角三角形中，角对应的边分别记为. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可知，，由正弦定理可得：， 而，所以， 又，所以，那么，所以. 【小问2详解】 由题意可知， 因为锐角三角形中，，所以， 所以，所以 所以取值范围是. 16. （15分）如图，四棱锥中，底面，. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 证明：已知底面，且底面， 所以. 由，可得 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点.由，可得， 又因为，所以三角形是正三角形， 故. 在中，，所以. 可建立如图所示的空间直角坐标系， 求得， 由（1）可知，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 即， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. （15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程. （2）设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，，. 【解析】 【小问1详解】 由题意得，因为双曲线渐近线方程为， 所以， 又点在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：， 联立两式解得，， 所以双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 如图所示， 点,直线l与双曲线交于两点， 由题意得，设直线l的方程为，点坐标为， 联立得，， 设，， 则，， ， ， ，， 所以 ， 所以若要使得上式为常数，则， 即，此时， 所以存在定点，使得为常数. 18. （17分）已知函数． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，则， 令， 显然时，，即此时单调递减， 时，，即此时单调递增， 所以，则， 实数a的取值范围为； 【小问2详解】 若，则， 令，则， 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 即， 即， 所以， 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即， 所以， 当且仅当时，， 所以最大值为. 19.（17分） 已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列：，：， 均为项0-1数列，定义数列：，其中，． (1)已知数列：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值； (2)若数列，均为项0-1数列，证明：； (3)对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列，，，使得，并说明理由. 【答案】（1）， （2）当为偶数时，有可能为，当为奇数时，不可能成立. 【解析】 【小问1详解】解：因为数列A：1，0，1，：0，1，1， 所以数列：，数列：， 所以，； 小问2详解】证明：对于两个0-1数列A：和：， 记数列：，对于， 若，则此时； 若，则此时， 故对于数列：，考虑的值： 若，则； 若，则， 所以与是同一数列， 所以； 【小问3详解】解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下： 对于3个项0-1数列A，，， 记， 则， 当时，， 当中有一个不同于其他两个时，， 所以是奇数， 则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为； 若为偶数，即， 可构造：，，， 此时数列为，数列，相同，都是， 所以有， 综上所述，当为偶数时，有可能为， 当为奇数时，不可能成立. 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷04·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A D D B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BCD ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可得：， ………………………2分 而，所以………………………5分 又，所以，那么，所以..………………………7分 （2）由题意可知， ，………………………10分 因为锐角三角形中，，所以， 所以，所以 所以取值范围是..………………………13分 16．（15分） 【详解】（1）已知底面，且底面，所以，……………………………………………3分 由，可得，……………………………………………4分 又平面，所以平面，…………………………………6分 （2）取的中点.由，可得，又因为，所以三角形是正三角形，故.……………………………………………7分 在中，，所以.可建立如图所示的空间直角坐标系， ……………………………8分 求得，………………………………9分 由（1）可知，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 即， 令，得，……………………………………………12分 设平面与平面的夹角为， 所以；……………………………………………14分 所以平面与平面夹角的余弦值为..……………………………15分 17．（15分） 【详解】（1）由题意得，因为双曲线渐近线方程为，………………………………………2分 所以，……………………………………………3分 又点在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：，…………………………4分 联立两式解得，，所以双曲线的标准方程为……………6分 （2）如图所示， 点,直线l与双曲线交于两点， 由题意得，设直线l的方程为，点坐标为，……………………7分 联立得，， 设，， 则，， ， .…………10分 ，， 所以 ，…………13分 所以若要使得上式为常数，则， 即，此时， 所以存在定点，使得为常数.…………15分 18．（17分） 【详解】（1）由题意得，则，…………………2分 令，…………………3分 显然时，，即此时单调递减， 时，，即此时单调递增，…………………5分 所以，则， 实数a的取值范围为；…………………6分 （2）若，则，…………………7分 令，则，…………………8分 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减，…………………11分 即， 即， 所以， 则，…………………13分 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即，…………………15分 所以， 当且仅当时，， 所以最大值为.…………………17分 19．（17分） 【详解】（1）因为数列A：1，0，1，：0，1，1， 所以数列：，数列：，…………………2分 所以，；…………………3分 （2）对于两个0-1数列A：和：，记数列：，对于， ………………4分 若，则此时； 若，则此时，…………………6分 故对于数列：，考虑的值： 若，则； 若，则，…………………8分 所以与是同一数列， 所以；…………………9分 （3）若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下：对于3个项0-1数列A，，，…………………10分 记， 则，…………………12分 当时，， 当中有一个不同于其他两个时，， 所以是奇数，…………………14分 则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为；…………………15分 若为偶数，即， 可构造：，，， 此时数列为，数列，相同，都是， 所以有， 综上所述，当为偶数时，有可能为， 当为奇数时，不可能成立.…………………17分 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2. 已知复数z满足，则（ ） A． 3 B． 2 C． D． 1 3.已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5. 已知函数和是相邻的两个零点，则（ ） A． B． 在区间上单调递减 C． D． 直线是曲线的切线 6. 已知正四棱台，其高为，则此正四棱台外接球的直径为（ ） A． 8 B． C． D． 16 7. 已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8. 记为数列的前n项和，且，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：.则关于这组数据的结论正确的是（ ） A． 极差是4 B． 众数小于平均数 C． 方差是2 D． 数据的第80百分位数为4.5 10. 设函数，则（ ） A． 是的极小值点 B． 当时， C． 当时， D． 当时， 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A． 点和均在上 B． 点的纵坐标的最大值为 C． 的最大值与最小值之和为3 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，那么__________. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 . 14. 若关于的方程有实根，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. （13分）在锐角三角形中，角对应的边分别记为. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 16. （15分）如图，四棱锥中，底面，. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. （15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程. （2）设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 18. （17分）已知函数． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求的最大值． 19.（17分） 已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列：，：， 均为项0-1数列，定义数列：，其中，． (1)已知数列：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值； (2)若数列，均为项0-1数列，证明：； (3)对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列，，，使得，并说明理由. 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$