精品解析：北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（    ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 4. 在四棱锥中，“”是“平面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 8. 霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（    ）（，结果四舍五入取整） A. 20天 B. 21天 C. 22天 D. 23天 9. 北京市餐饮品牌《南城香》每个门店，当客人点完餐之后，服务人员给10分钟计时沙漏，保证在10分钟之内上完餐.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为8，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 已知函数，有最大值，并将其记为，则说法正确的是（ ） A. 的最小值为，的最大值为2 B. 的最大值为，的最小值为 C. 的最大值为，的最大值为2 D. 的最小值为，的最小值为 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量满足，则__________. 12. 二项式展开式的各二项式系数之和为32，n=______；该展开式中项的系数为_______． 13. 在中，，则的面积为______. 14. 设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则公比___________，数列的前4项的和为___________． 15. 已知函数的部分图象如图所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列结论正确的有_____________ ① ② ③图中， ④图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC中，角C为锐角且满足． （1）求； （2）若，且的周长为，求的面积． 17. 已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直． （1）求l的方程； （2）求的极值． 18. 已知四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点. （1）求证：BC∥面ADE; （2）求面ADE与面ABD所成角的大小; 19. 如图所示，M是单位圆与轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，函数， （1）求函数的表达式及单调递减区间； （2）若在上仅存在两个零点，求t的取值范围. 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点． （1）求证：； （2）当点为线段的中点时，求点到平面的距离； （3）是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数（a为常数）. （1）求函数的单调区间； （2）若存在两个不相等的正数，满足，求证：. （3）若有两个零点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由并集的定义求解. 【详解】集合， 则。 故选：B. 2. 若复数z满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求，根据共轭复数的定义求即可. 【详解】由题设，则. 故选：A 3. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关幂函数单调性判断A、B；由余弦函数的性质判断C；利用奇偶性定义及对数复合函数单调性判断D. 【详解】A：为偶函数，且在上递减，不符合； B：为奇函数，不符合； C：在上不单调，不符合； D：且定义域为，即为偶函数， 由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，符合. 故选：D 4. 在四棱锥中，“”是“平面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合充分、必要条件的定义进行判定. 【详解】 由，平面，平面，得平面. 由平面，平面，平面平面，得. 故“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 5. 在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到，进而得到，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 则， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 6. 已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断. 【详解】角的终边不在坐标轴上，有，，，， 对于A，令，则， ，即，A不是； 对于B，令，则，即，B不是； 对于C，令，则， 于是，即，C不是； 对于D，，则，则一定成等比数列，D是. 故选：D 7. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 8. 霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（    ）（，结果四舍五入取整） A. 20天 B. 21天 C. 22天 D. 23天 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果. 【详解】由题可得：，两式相除可得，即， 设繁殖天后数量达到200， 则，又，则， ∴，则，即， ∴， ∴， 则要使数量达到200大约需要22天. 故选：C. 9. 北京市餐饮品牌《南城香》每个门店，当客人点完餐之后，服务人员给10分钟计时沙漏，保证在10分钟之内上完餐.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为8，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若圆锥体积为，沙子体积为，根据题设可得，结合圆台和圆锥中的等比性质求圆台的高. 【详解】由题意，若圆锥体积为，沙子体积为， 则，故， 设沙子堆积成的圆台的高为，沙漏下圆锥的高为4， 结合圆台、圆锥的性质，有， 所以. 故选：A 10. 已知函数，有最大值，并将其记为，则说法正确的是（ ） A. 的最小值为，的最大值为2 B. 的最大值为，的最小值为 C. 的最大值为，的最大值为2 D. 的最小值为，的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的增减情况，再结合题意可得到，从而可求解. 【详解】由题意知，当时，，求导得， 当，， 当，， 当，， 所以在区间，单调递减，在单调递增， 由题意知当时，为增函数， 因为函数有最大值， 则可得当时，， 此时，令，解得，或， 令，解得或， 当时，此时的最大值为， 当时，此时的最大值为， 当时，此时的最大值为， 当时，此时的最大值为， 当时，此时无最大值， 综上：的最大值为，的最小值为.故B正确. 故选：B. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为： 12. 二项式展开式的各二项式系数之和为32，n=______；该展开式中项的系数为_______． 【答案】 ①. 5 ②. -5 【解析】 【分析】根据二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算展开式中项的系数. 【详解】二项式展开式的各二项式系数之和为32，则有，得； 二项式展开式的通项为，且， 令，解得，所以展开式中项的系数为. 故答案为：5；-5. 13. 在中，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理、倍角正弦公式得，再由余弦定理及倍角余弦公式求得，进而得，且，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，结合题设有， 又，即， 所以，在三角形中，必有为锐角， 所以，故，且， 故△ABC的面积为. 故答案为：. 14. 设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则公比___________，数列的前4项的和为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由等比数列的性质及等差中项，并结合等比数列通项公式列方程求基本量，进而写出前4项即可得前4项和. 【详解】由题设，且， 所以，又，故， 所以，则前4项的和为. 故答案为：， 15. 已知函数的部分图象如图所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列结论正确的有_____________ ① ② ③图中， ④图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 【答案】①②③ 【解析】 【分析】在图中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的值，即可判断①；结合的取值范围求出的值，可判断②；利用空间向量数量积的坐标运算可判断③；求出，结合扇形的面积公式可判断④． 【详解】函数的最小正周期为， 在图中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设点，则点，， ， 因为，解得，故①正确； 所以，则，可得， 又因为函数在附近单调递减，且，所以，故②正确； 所以， 由，可得， 又因为点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，可得， 因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得， 翻折后，则有、，、、 所以，， 所以在图中，，故③正确； 在图中，设点，， 可得， ，，， 易知为锐角，则， 所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部， 故区域的面积，故④错误． 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛： 本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC中，角C为锐角且满足． （1）求； （2）若，且的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由倍角公式和同角三角函数的商数关系，化简得，角C为锐角， 有，可求角C； （2） ，得，余弦定理得，求出，由公式求的面积． 【小问1详解】 由可得， 则，得， 因为角C为锐角， 有，可得. 【小问2详解】 因为周长 ， ，所以 ①， 又因为，所以 ②， 由①②得，所以. 17. 已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直． （1）求l的方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）得，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直， 可得，解得，所以 又因为， 故所求切线方程为，即． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增， 故的极大值为， 极小值为． 18. 已知四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点. （1）求证：BC∥面ADE; （2）求面ADE与面ABD所成角的大小; 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，根据线面平行的判定证结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小. 【小问1详解】 ∵是正方形， ，面，面， ∴面. 【小问2详解】 ∵平面，平面， ∴， 又是正方形，则， ∴两两垂直，以为原点如图建系，设， ∴，，，， ∴ 又平面，平面的法向量， 设平面的法向量，则，， ∴，令，则， ∴， ∴面ADE与面ABD所成角的大小 19. 如图所示，M是单位圆与轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，函数， （1）求函数的表达式及单调递减区间； （2）若在上仅存在两个零点，求t的取值范围. 【答案】（1），递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量的坐标表示得，应用向量数量积的坐标表示、三角恒等变换得，进而求其单调区间即可； （2）问题化为有两个根，结合的图象确定的范围，即可求参数范围. 【小问1详解】 由题意，得，， 则， 因此， 即函数的表达式为， 令，得， ∴的减区间为； 【小问2详解】 在有两个零点，即有两个根， 由，则，而函数的图象如下， 由图知，可得. 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点． （1）求证：； （2）当点为线段的中点时，求点到平面的距离； （3）是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：连接、， 因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形， 因为为的中点，故， 因为为等边三角形，为的中点，则， ，平面，平面，则， ，故. （2）； （3） 存在，且. 【解析】 【分析】（1）连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可得出，再结合可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合可求得的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面平面，平面平面，，平面，平面， 因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ，所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：设，其中， ， 由题意， 整理可得，因为，解得， 因此，存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时. 21. 已知函数（a为常数）. （1）求函数的单调区间； （2）若存在两个不相等的正数，满足，求证：. （3）若有两个零点，，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）证明：由，得， 故欲证，只需证：，即证， 又，，， 不妨设，，等价于，令（）， 等价于（）， ，所以在单调递增，而， 所以，当时，恒成立. 所以， 所以. （3）证明：函数有两个零点，，所以，， 不妨设，， 即，要证：， 需证： 只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：， 令，只需证：， 令，， 所以在上单调递减，所以，即， 故. 也可由对数均值不等式（），即， 令（），则，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）利用对数均值不等式（，，）即可得证. （3）由题意得，要证，只需证：，利用换元，令，只需证：，由对数均值不等式即得. 【小问1详解】 由，得函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上，当时，在上单调递增； 当时，单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $