立体几何（选填）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

30 宁 sir 考前救急小册子 空间立体几何（选填题） 一、立体几何截面问题 ①作出空间几何体的截面 1、作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们的 交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线； 2、作交线的方法有如下两种：（1）利用基本事实 3 作直线；（2）利用线面平行及面面平 行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线。 ②判断截面多边形的形状 判断截面多边形形状时需要注意以下几点： 1、截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。 2、不会与同一个表面有两条交线。 3、与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） 4、截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 ③求解截面多边形的周长 求解截面多边形的周长有两个思路：（1）利用多面体展开图进行求解；（2）在各个表面 确定交线，分别利用解三角形进行求解。 ④求解截面多边形的面积 求解截面多边形的面积问题的步骤：（1）通过解三角形求得截面多边形各边的长度；（2） 判断多边形的形状是否规则，若为规则图形可直接使用面积公式求解；否则可通过切割法 将多边形分为多个三角形求解。 ⑤截面分割几何体的体积问题 截面分割后的几何体易出现不规则的几何体，对此往往采用“切割法”或“补形法”进行 体积的求解。 ⑥截面最值的相关问题 截面最值问题的计算，主要由以下三种方法： 1、极限法：通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否单调）； 2、坐标法：通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解； 3、化归法：通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中的最值计算。 二、垂直与平行命题判断 技巧总结 结论：①要证线∥面，条件为 3 个，其中必有《线面》 ②要证线⊥面，条件为 2 个，其中必有《线∥线或面∥面》 ③要证线∥线（面∥面），条件为 2 或 3 个，其中必有《两个线⊥面》 ④要证线⊥线（面⊥面），条件为 2 个，其中必有《⊥、∥（）》 31 ⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为 3 个，其中必有《      ∥∥面、线 、、 》 三、空间几何体表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝S 底h 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝ 1 3 S 底h 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝ 1 3 (S 上＋S 下＋ S 上S 下)h 球 S＝4πR2 V＝ 4 3 πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则 S 正棱柱侧＝ch′←―― c′＝c S 正棱台侧＝ 1 2 (c＋c′)h′――→ c′＝0 S 正棱锥侧＝ 1 2 ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则 S 圆柱侧＝2πrl←―― r′＝r S 圆台侧＝π(r＋r′)l――→ r′＝0 S 圆锥侧＝πrl. ①求空间几何体表面积的常见类型及思路 1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表 面积； 2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们 的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、 锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； ②空间几何体的体积 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高 转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘 32 一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规 则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作 为三棱锥的底面进行等体积变换 ③平移法求异面直线所成角的步骤 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中 点)作平行线平移；(3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是 0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为 异面直线所成的角 三、空间几何体动态问题 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，空间中轨迹问题的解答 思路： （1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直等关系； （2）用动点Q的坐标 x、 y、z 表示相关点 P的坐标 0x 、 0y 、 0z ，然后代入点 P的坐标  0 0 0, zx y， 所满足 的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程； （3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量. 立体几何最值： 1、计算多面体或旋转体的表面上的最值问题时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形， 即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状； 2、对于几何体内部的折线的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解． 空间中动线段的距离和的最值问题，可以类比平面中的距离和的最值处理利用对称性来处理于转化，另外 异面直线间的公垂线段的长度可利用点到平面的距离来处理.计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值 问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决， 要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；