不等式（选填）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

股份有限公司 宁 sir考前救急小册子 不等式（选填题） 一、一元二次不等式与二次函数关系 技巧总结 ① 2 0ax bx c   意味着 cbxaxy  2 中 0y 部分， ② 02  cbxax 意味着 cbxaxy  2 中 0y 部分 ， 处理技巧： ))(( 21 2 xxxxacbxax  ，求出两个根 1x ， 2x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两 边，小于取中间，开口向下时，大于取中间，小于取两边. 注意：处理此题时，主要确定 a的正负及快速画出图象 一元二次不等式与韦达定理 技巧总结 模型一：已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，解关于 x的不等式 02  abxcx ． 由 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，得: 01)1( 2  c x b x a 的解集为 )1,1( mn ，即关于 x的不等式 02  abxcx 的解集为 )1,1( mn ． 已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，解关于 x的不等式 02  abxcx ． 由 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，得: 01)1( 2  c x b x a 的解集为 ),1[]1,(  mn  即关于 x的不等式 02  abxcx 的解集为 ),1[]1,(  mn  ． 模型二：已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，解关于 x的不等式 02  abxcx ． 由 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，得: 01)1( 2  c x b x a 的解集为 )1,1( nm  即关于 x的不等式 02  abxcx 的解集为 )1,1( nm  ． 已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，解关于 x的不等式 02  abxcx ． 由 02  cbxax 的解集为 ),( nm ，得: 01)1( 2  c x b x a 的解集为 ),1[]1,(  nm  即关于 x的不 等式 02  abxcx 的解集为 ),1[]1,(  nm  ， 股份有限公司 一元二次不等式与判别式 技巧总结 ①已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为 R，则约束条件一定满足      0 0a ． ②已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为 ，则约束条件一定满足      0 0a ． ③已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为 R，则约束条件一定满足      0 0a ． ④已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为，则约束条件一定满足      0 0a ． 注意：此类题画出符合要求的图象更加直观 乘除的等价原理和穿根法 技巧总结 ①若 0 )( )(  xg xf ，则 )(xf 与 )(xg 异号， 0)()(  xgxf ． ②若 0 )( )(  xg xf ，则 )(xf 与 )(xg 异号， 0)()(  xgxf ，且 0)( xg ． ③若 0 )( )(  xg xf ，则    f x g x与 同号， 0)()(  xgxf ． ④若 0 )( )(  xg xf ，则    f x g x与 同号， 0)()(  xgxf ，且 0)( xg ． 数轴穿根法 0))...()(()( 21  nxxxxxxxf 或 0))...()(()( 21  nxxxxxxxf 口诀：高系为正上穿下，右穿左，奇穿偶回上为正. 二、基本不等式常用模型 技巧总结 形式一： )0,0(2  nmmn x nmx ，当且仅当 m nx  时等号成立. 形式二： )0,0(2)(      nmmamnma ax naxm ax nmx ，当且仅当 m nax  时等号 成立. 股份有限公司 形式三： )0,0( 2 11 2      ca bac x cbaxcbxax x ，当且仅当 a cx  时等号成立. 形式四： )0,0,0( 4 ) 2 1)()( 2 2 m nxnm m nmxnmx mm mxnmxmxnx  （ ，当且仅当 m nx 2  时等号成立. 柯西不等式（二元式） 技巧总结 柯西不等式：设a，b， c， d R ，有 2)())(( bdacdcba  当且仅当 d b c a  时等号成立． 形式一：一次与分式模型 2)())(( nm b n a mba  其中 Rba, ，例如 4)11()11)(( 2  b b a a ba ba ； 形式二：分式与分式模型（分母和为定值） 2)() 1 )](1()[( 1 ba x b x axx x b x a      形式三：高低和积配凑模型 已知 22 yx  的值，求 yx 的取值范围，或者已知 yx 的值，求 22 32 yx  的最值或者求 yx  的最值 即 22222 )())(( nymxnmyx  ，其中m， n R 例： 222 )()11)(( baba  形式四：同次和积配凑模型 已知 xy的值，求 ),)()((  Rnmnymx 的最值，利用 2)())(( mnxynymx  求最值． 热点基本不等式 技巧总结 通过对柯西不等式变形可知 2 22 )())(( bayx y b x a  在 0,,, yxba 时，就存在 yx ba y b x a    222 )( 当 y b x a  时，等号成立．同理 ,)( 2222 zyx cba z c y b x a    当 z c y b x a  时，等号成立． 权方和不等式 技巧总结 权方和不等式也称热点不等式的延伸 若 .0,0,0  mba ii 则    mn m n m n m n m m m m bbb aaa b a b a b a       21 1 21 1 2 1 2 1 1 1 )( )( )( )( )( )( 当仅当 n n b a b a b a   2 2 1 1 时，等号成立.m为该不等式的和，它的特证是分子的幂比分母的幂多一次. 股份有限公司 关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为 2 3 次，分母为 2 1 次. 三、绝对值不等式证明 技巧总结 工具： ①热点不等式： 通过对柯西不等式变形可知 2 22 )())(( bayx y b x a  在 0,,, yxba 时，就存在 yx ba y b x a    222 )( 当 y b x a  时，等号成立．同理 ,)( 2222 zyx cba z c y b x a    当 z c y b x a  时，等号成立． ②柯西不等式 22222 )())(( nymxnmyx  当 n y m x  等号成立 ③1的整体代换 形如： mba  ，求 b f a h  的最小值 破解：                    m b m a b f a h b f a h m b m a m ba 111 随后利用基本不等式求解即可. ④   dxcxbxaxxf  取最值时，必须在绝对值零点处取到. 故         ，最小的为最小值比较，最大的为最大值          df cf bf af 糖水变甜分式不等式 技巧总结 定理：若 0 ba ， 0m ，则一定有 a b ma mb    ，或者 b a mb ma    同号取倒反序 通俗的理解就是 a克的不饱和糖水里含有 b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜； 证明：① 0)( 22         ama mba ama bmabamab a b ma mb ② 0)( 22         bmb mba bmb amabbmab b a mb ma