解三角形（解答题）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

宁 sir考前救急小册子 解三角形（解答题） 一、正余弦定理基础问题 《正弦定理》 ①正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin  ②变形： a c A C c b C B b a B A  sin sin, sin sin, sin sin ③变形： CBAcba sin:sin:sin::  ④变形： C c B b A a CBA cba sinsinsinsinsinsin    ⑤变形： BcCbAcCaAbBa sinsin,sinsin,sinsin  《余弦定理》 ①余弦定理： CabcbaBacbcaAbcacb cos2,cos2,cos2 222222222  ②变形： ab cbaC ac bcaB bc acbA 2 cos, 2 cos, 2 cos 222222222       核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角? ⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 ⑵当每一项都有角《 sin》且次数一样时，采用角化边 ⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题 ⑷当每一项都有角《 sin》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 二：三角形面积公式 ① AbcSBacSCabS ABCABCABC sin2 1,sin 2 1,sin 2 1   ②   rlcbarS ABC 2 1 2 1  其中 lr, 分别为 ABC 内切圆半径及 ABC 的周长 推导：将 ABC 分为三个分别以 ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法 即可得到上述公式 ③ R abcCBARS ABC 4 sinsinsin2 2  （R为 ABC 外接圆的半径） 推导：将 ARa sin2 代入 A CBaS ABC sin sinsin 2 1 2 可得 CBARS ABC sinsinsin2 2 将 CRcBRbARa sin2sin2,sin2  ， 代入 CBARS ABC sinsinsin2 2 可得 R abcS ABC 4  ④ C BAcS B CAbS A CBaS ABCABCABC sin sinsin 2 1, sin sinsin 2 1, sin sinsin 2 1 222   ⑤海伦公式    cpbpappS ABC  （其中  cbap  2 1 ） 推导：根据余弦定理的推论 ab cbaC 2 cos 222   2222 2 2 1 2 1cos1 2 1sin 2 1          ab cbaabCabCabS ABC         cbabacacbcbacbaab  4 12 4 1 22222 令  cbap  2 1 ，整理得    cpbpappS ABC  三：三角形中面积最值求算 技巧总结 正规方法：面积公式+基本不等式 ①  C cababcCabba Cabcba CabS cos12 2cos2 cos2 sin 2 1 2 222 222         ②  B bacacbBacca Bacbca BacS cos12 2cos2 cos2 sin 2 1 2 222 222         ③  A abcbcaAbccb Abcacb AbcS cos12 2cos2 cos2 sin 2 1 2 222 222         三角形中面积取值范围求算 技巧总结 思路 1：如果题干已知一个角，则利用面积公式转化为三角函数求最值（注意角的范围） 思路 2：如果题干未知角，则利用面积公式转化为二次函数求最值（注意单一边的范围） 求单一边范围用到的工具 ①两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ②若为锐角三角形，则两边平方之和大于第三边平方 若为钝角三角形，则两边平方之和小于第三边平方 ③若为锐角三角形，则可利用图象破解或 0cos0cos ＞，＞  建立不等式 四：三角形内部中线条件的求算 技巧总结 ①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值） 如：在 ABC 与 ABD 同用 Bcos 求 AD 22 22 2 CDADACAB  ②中线长常用方法 0coscos  ADCADB ③已知 ACAB ，求 AD的范围 ∵ ACAB 为定值，故满足椭圆的第一定义 ∴半短轴 ＜AD 半长轴 ④方程组思想（复杂情况）        题干所给条件（垂直） 中线定理 余弦定理 ⑤已知 BAD 或 CAD 则利用倍长中线构建平行四边形处理 ⑥已知 ACAB  则利用  ACABAD  2 1 两边平分得结论 三角形内部角平分线条件的求算 技巧总结 《1》张角定理 如图，在 ABC 中，D为 BC边上一点，连接 AD ,设 lAD  ，   CADBAD , 则一定有   cbl  sinsinsin   证明过程：∵ ACDABDABC SSS   ∴    sin2 1sin 2 1sin 2 1 blclbc  同时除以 bcl 2 1 得   cbl  sinsinsin  