立体几何（解答题）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

宁 sir考前救急小册子 空间立体几何（解答题） 一、法向量的求算 技巧总结《三种方法》 方法 1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平面垂线的方向向量 即为平面的法向量． 方法 2、待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为  zyxn ,, ． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量  111 ,, cbaa  ，  222 ,, cbab  ． ③根据法向量的定义建立关于 zyx ,, 的方程组      0 0 bn an   ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组      0 0 bn an   有无数多个解，只需给 zyx ,, 中的一个变 量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 二：空间直角坐标系的构建策略 技巧总结 ①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系 ②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系 ③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系 ④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 ⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系 ⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系 三：空间斜坐标系的构建策略 技巧总结 空间向量基本定理，空间中任意一个向量都可以由三个不共面向量表示，即 321 ezeyexa   ，我们 记向量  zyxa ，， 312111b ezeyex   我们记向量  111b zyx ，，  利用空间斜坐标系步骤如下 第一步：快速表示单位向量 321 eee  、、 第二步：设 321  、、 为单位基向量两两之间的夹角， 即 331232121 coscoscos   eeeeee 、、 第三步：计算模长及数量积（其它运算与直角坐标系的算法都一样）   3212222321 cos2cos2cos2  xzyzxyzyxezeyexa      312111321 ezeyexezeyexba         311211111111 coscoscos   zxxzyzzyyxxyzzyyxx 四：坐标处理距离问题 技巧总结 结论 1：《点线距离》 2 1 2 1             a aPPPPd 《异面直线求距离问题》 推导过程：已知直线 l的方向向量是 a，点 ,, 1 lPlP  则直线 1PP与直线 l夹角为θ，则 2 1 2 1 2 11 cos1sin           a aPPPPPPPPd    结论 2：《点面距离》 n nPPd     1 提示： 1PP、 分别是平面外及平面上的两点， n  是平面的法向量 结论 3：《线面距离》 n nPPd     1 提示： 1PP、 分别是直线上及平面上的任意两点， n  是平面的法向量 结论 4：《面面距离》 n nPPd     1 提示： 1PP、 分别是平面 1及平面 2的任意两点， n  是平面 2的法向量 结论 5：《点点距离》      221221221 zzyyxxd  提示：  111 ,, zyxA 与  222 ,, zyxB , AB 的距离为 d 五：坐标处理角度问题 技巧总结: 结论 1：异面直线所成角                2 ,0cos  ba ba   ①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解 ②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式 ba baba     ,cos 求出 关键是求出 ba   及 a  与 b  结论 2：线面角                2 0sincos  ， nAB nAB   提示： 是线 AB与平面法向量的夹角，是线 AB与平面的夹角 结论 3：二面角的平面角    ，0cos 21 21     nn nn 提示： 是二面角的夹角，具体 cos 取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则 取负. 备注：若 AB线上存在一点 P ,则必须写成 ABAP  ，从而求出点 P的坐标，从而参与计算 特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解. 六：处理线与面各种平行关系 技巧总结 线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹 ②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像） 方法一：中位线型： 如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中，点E是 PD的中点.求证： //PB 平面 AEC . 分析： 方法二：构造平行四边形 如图⑵, 平行四边形 ABCD和梯形 BEFC所在平面相交，BE //CF ，求证： AE //平面DCF . 分析：过点 E作 EG // AD交 FC于G， DG就是平面 AEGD 与平面DCF的交线，那么只要证明 AE //DG即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行 如图⑶，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD为菱形， M 为OA的中点，N 为BC的中点，证明：直线 MN OCD平面‖ 分析：：取OB中点 E，连接 NEME, ，只需证平面MEN∥平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 已知公共边为 AB的两个全等的矩形 ABCD和 ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线 AE，BD上的点， 且 AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面 CBE． 如下图，已知三棱锥 ABCP  ， CBA  、、 是 PBC , PCA , PAB 的重心.(1)求证： BA  ∥面 ABC； 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及 平面的法向量． 如下图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为正方形，侧棱 SD⊥底面 ABCD E F， ， 分别为 AB SC， 的中点．证明 EF∥平面 SAD； 分析：因为侧棱 SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的 点的坐标． 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz ． 设 ( 0 0) (0 0 )A a S b，，， ，， ，则 ( 0) (0 0)B a a C a， ，， ， ，， 0 0 2 2 2 a a bE a F           ，， ， ，， ， 0 2 bEF a       ，， ． 因为 y 轴垂直与平面 SAD，故可设平面的法向量为 n =（0，1，0） 则： 0 2 bEF n a          ，， （0，1，0）=0因此 EF n   ，所以EF∥平面 SAD．