集合篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

限公司 宁 sir考前救急小册子 集合（选填题） 一、关于集合的元素的特征问题 (1)确定性：设 A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则 x或者是 A的元素，或者不是 A的元素， 两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应 重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由 1，2，3组成的集合，也可以写成由 1，3，2组成 一个集合，它们都表示同一个集合. 结论：（1） .A A （类比 aa  ） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）若 , ,A B B C  则 CA  （类比 ba  ， cb  则 ca  ） （4）一般地，一个集合元素若为 n个，则其子集数为 2n个，其真子集数为 2n-1个，特别地，空集的子 集个数为 1，真子集个数为 0。 二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素所组成的集合，称为集合 A与 B的并集，记作：A∪B 读作：“A并 B”，即：A∪B={x|xA，或 xB} Venn图表示： （1）“xA，或 xB”包含三种情况：“ ,x A x B 但 ”；“ ,x B x A 但 ”；“ ,x A x B 且 ”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A与 B的所有元素组成的集合(重复元素只出现 一次). 限公司 2.交集 一般地，由属于集合 A且属于集合 B的元素所组成的集合，叫做集合 A与 B的交集；记作：A∩B，读 作：“A交 B”，即 A∩B={x|xA，且 xB}；交集的 Venn图表示： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A与 B没有公共元素时，不能说 A与 B没有交集， 而是 A B   ． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是 A与 B的公共元素”，同时“A与 B 的公共元素都属于 A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A与 B的所有公共元素组成的集合. 3.补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作 U. 补集：对于全集 U的一个子集 A，由全集 U中所有不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相 对于全集 U的补集(complementary set)，简称为集合 A的补集，记作： ACU ，即 }|{ AxUxxACU  且 补集的 Venn图表示： （1）理解补集概念时，应注意补集 ACU 是对给定的集合 A和 ( )U A U 相对而言的一个概念，一个 确定的集合 A，对于不同的集合 U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则 Z 为全集；而当问题扩展 到实数集时，则 R为全集，这时 Z 就不是全集． （3） ACU 表示 U为全集时 A的补集，如果全集换成其他集合（如 R）时，则记号中“U”也必须换成 相应的集合（即 ACR ）． 集合基本运算的一些结论 A B A A B B A A=A A = A B=B A        ， ， ， ， A A B B A B A A=A A =A A B=B A       ， ， ， ， UAACU )( ，  AACU )(  限公司 若 A∩B=A，则A B ，反之也成立 若 A∪B=B，则A B ，反之也成立 若 x(A∩B)，则 xA且 xB 若 x(A∪B)，则 xA，或 xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”， 在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn图或数轴进而 用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 三：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号 p q 与 p q 的含义 “若 p，则 q ”为真命题，记作： p q ； “若 p，则 q ”为假命题，记作： p q . 充分条件、必要条件与充要条件 ①若 p q ，称 p是 q的充分条件， q是 p的必要条件. ②如果既有 p q ，又有q p ，就记作 p q ，这时 p是 q的充分必要条件，称 p是 q的充要条 件. 对 p q 的理解：指当 p成立时， q一定成立，即由 p通过推理可以得到 q . ①“若 p，则 q ”为真命题； ② p是 q的充分条件； ③ q是 p的必要条件 以上三种形式均为“ p q ”这一逻辑关系的表达. 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若 p，则 q ”，其条件 p与结论 q之间的逻辑关系 ①若 p q ，但 q p ，则 p是 q的充分不必要条件， q是 p的必要不充分条件； ②若 p q ，但 q p ，则 p是 q的必要不充分条件， q是 p的充分不必要条件； ③若 p q ，且 q p ，即 p q ，则 p、 q互为充要条件； ④若 p q ，且 q p ，则 p是 q的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若 p：x∈A，q：x∈B， ①若 AB，则 p是q的充分条件， q是 p的必要条件； ②若 A是 B的真子集，则 p是q的充分不必要条件； ③若 A=B，则 p、q互为充要条件； 限公司 ④若 A不是 B的子集且 B不是 A的子集，则 p是 q的既不充分也不必要条件. 充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要 条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件.