函数与导数（解答题）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

宁 sir考前救急小册子 函数与导数（解答题） 一、指对混合问题（同构） 在解决指数函数与对数函数的混合不等式恒成立求参数范围或证明指对不等式时，如果使用参变分离、隐 零点代换等方法，都避免不了复杂计算，有时效果也不一定好，而使用同构法会达到意想不到的效果． 如何构造同构函数呢？一般情况下含 xe 和 lnx的函数，主要是统一化为左边或化为右边构造同构式．同构式 需要构造这样一个母函数，这个函数既能满足指数与对数互化，又能满足单调性和最值易求等特点，因此 常见的同构形式大多为 ln xy x x y xe ， ，或其同族函数．经过同构变形，再结合复合函数的单调性，可以 快速解决证明不等式、恒成立求参数的取值范围等问题． 构造同构函数通常有三种基本模式： （1）积型 lnaae b b  三种同构方式     lnln ln ln ln ln ln ln ln ln a b x a a ae b e f x xe e e b b f x x x a a b b f x x x                同左： （ ） 同右： （ ） 取对： （ ） （2）商型 a be a   三种同构方式   ln ln ln ln ln ln ln ln ln a b x a a e e ef x a nb x e b xf x e b x a a b b f x x x                   同左： （ ） 同右： （ ） 取对： （ ） （3）和差型 lnae a b b    二种同构方式 ln ln ln ln ln a b x a a e a e b f x e x e e b b f x x x               同左： （ ） 同右： （ ） 其中 ln lnx xx e e  在变形构造同构式中起着重要作用． 二：恒成立与存在性问题 专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用 函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从 不同角度分析问题是解题的法宝. 考法一： 不等式恒成立问题 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数  a f x 恒成立(  maxa f x 可)或  a f x 恒成立 （  mina f x 即可）；② 数形结合(  y f x 图象在  y g x 上方即可)；③ 最值法：讨论最值  min 0f x  或  max 0f x  恒成立；④ 讨论参数. 考法二：不等式（方程）有解（能成立）问题 根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造 函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数 的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 三：极值点偏移问题 专题阐述：极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方型及商型 5个类型，考查学生化归 与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是历年高考中题的一个难点. 处理极值点偏移问题中的类似于 1 2x x a  （ 1 2,x x 为   0f x  的两根）的问题的基本步骤如下： ①求导确定  f x 的单调性，得到 1 2,x x 的范围； ②构造函数      F x f x f a x   ，求导后可得  F x 恒正或恒负； ③得到  1f x 与  1f a x 的大小关系后，将  1f x 置换为  2f x ； ④根据 2x 与 1a x 所处的范围，结合  f x 的单调性，可得到 2x 与 1a x 的大小关系，由此证得结论. 由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造. 四：双变量问题 专题阐述：双变量问题主要表现为双变量不等式问题，一般包括中点型、极值和差商积问题、剪刀模型及 主元法. 破解双变量不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等 式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双变量的不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果. 五：凹凸反转问题 专题阐述：很多时候，我们需要证明函数 ( ) 0f x  ，但不代表就要证明 min( ) 0f x  ，因为大多数情况下， '( )f x 的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能 的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转. ( ) 0 ( ) ( )f x g x h x   ，如果能够证明 min max( ) ( )g x h x ，则 ( ) ( )g x h x 显然成立，很明显， ( )g x 是凹函数， ( )h x 是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数 零点不可求的问题的，两种方法互为补充. 六：隐零点设而不求 专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数 大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则 隐零点问题必须熟练掌握. 隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的 最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体 的数字.