函数与导数（选填）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

股份有限公司 宁 sir考前救急小册子 函数与导数（选填题） 一、抽象函数具体化 使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数 的内容延伸和实例化. 解题步骤： 第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型； 常见函数模型包括： Ⅰ：若      nfmfmnf  ，可认为函数为幂函数   axxf  (a的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若      nfmfmnf  ，可认为函数为对数函数   xxf alog (a的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若      nfmfnmf  ，可认为函数为指数函数   xaxf  (a的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若      nfmfnmf  ，可认为函数为正比例函数   kxxf  或    1xfxf  Ⅴ：若         nfmf nfmfnmf    1 ，可认为函数为正切函数   xxf tan ； Ⅵ：若        f x y f x y f x f y    ，可认为是余弦函数   cosf x x . Ⅶ：若       mnfmfnmf  ，可认为函数为一次函数   bkxxf  或     mxfxf  1 第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性. 结论法(函数性质法) 使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数. 解题步骤： 第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的. 第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性. 常见的结论(函数性质)包括： (1)  xf 与   Cxf  单调性相同.(C为常数) (2)当 0k 时，  xf 与  xkf 具有相同的单调性；当 0k 时，  xf 与  xkf 具有相反的单调性 (3)当  xf 恒不等于零时，  xf 与   1 f x 其有相反的单调性. (4)当  xf 、  xg 在D上都是增(减)函数时，则    xgxf  在D上是增(减)函数. (5)当  xf 、  xg 在D上都是增(减)函数，且两者都恒大于 0 时，    xgxf 在D上是增(减)函数；当  xf 、  xg 在D上都是增(减)函数，且两者都恒小于 0 时，    xgxf 在D上是减(增)函数. 股份有限公司 (6)设   Dxxfy  , 为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域D上也是严格增(减)函 数. (7)奇(或偶)函数的单调性： 由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性. (8)周期函数的单调性： 若  xf 是周期为T 的函数，且  xf 在  ba, 单调递增或单调递减，则  xf 在   ZkkTbkTa  , 上单 调递增或单调递减. 根据函数奇偶性的规律判定 使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断； 第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性. 常见的结论包括： (1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函 数. (2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数. 常见基本函数的奇偶性： (1)一次函数  0 kbkxy ，当 0b 时，是奇函数，当 0b 时，是非奇非偶函数. (2)二次函数  02  acbxaxy ，当 0b 时，是偶函数；当 0b 时，是非奇非偶函数. (3)反比例函数  0, 0ky k x x    是奇函数. (4)指数函数 xay  ( 0a 且 1a )是非奇非偶函数 (5)对数函数 xy alog ( 0a 且 1a ， 0x )是非奇非偶函数. (6)三角函数  Rxxy  sin 是奇函数，  Rxxy  cos 是偶函数， tan , 2 y x x k k Z        是奇函 数. (7)常值函数   axf  ，当 0a 时，是偶函数，当 0a 时，既是奇函数又是偶函数. 特殊函数的奇偶性： 奇函数：两指两对 ⑴    0 1 2 1 1            x a mm a amxf xx x ，    Rm a mm a amxf xx x            1 2 1 1 股份有限公司 ⑵函数                    x x x xxx a a a aaaxf 11 2 ⑶                   mx m mx mxxf aa 21loglog ，                   mx m mx mxxf aa 21loglog ⑷函数           mxmxxf a 1log 2 ，函数           mxmxxf a 1log 2 ⑸函数   1 1 2 2       x x xx xx a a aa aaxf  考点：形如①已知  xf 奇函数，则           0 000 最小值最大值 mM xfxf ②已知  xf 奇函数 a ，则           amM axfxf 2 200 最小值最大值 偶函数： ⑴函数    xx aaxf  ⑵函数     2 1log mxaxf mxa  ⑶函数  xf 类型的一切函数. 判定抽象函数的奇偶性 使用前提：所给的函数没有解析式，需要利用所给的条件判定函数的奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向； Ⅰ：若      nfmfmnf  ，可认为函数为幂函数   axxf  (a的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若      nfmfmnf  ，可认为函数为对数函数   xxf alog (a的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若      nfmfnmf  ，可认为函数为指数函数   xaxf  (a的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若      nfmfnmf  ，可认为函数为正比例函数   kxxf  或    1xfxf  Ⅴ：若         nfmf nfmfnmf    1 ，可认为函数为正切函数   xxf tan ； Ⅵ：若        f x y f x y f x f y    ，可认为是余弦函数   cosf x x . Ⅶ：若       mnfmfnmf  ，可认为函数为一次函数   bkxxf  或     mxfxf  1 第二步：利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出  f x 与  f x 的关系； 第三步：得出结论. 股份有限公司 函数单调性与奇偶性综合求不等式范围问题 技巧总结 结论 1：奇函数单调性不改变，若函数  xf 为定义在R上的奇函数时 ①若 0x 时，  xf 为单调递增，则 0x 时，  xf 为也为单调递增，即     00  nmnfmf . ②若 0x 时，  xf 为单调递减，则 0x 时，  xf 为也为单调递减，即     00  nmnfmf . 结论 2：奇函数单调性不改变，若定义在 R上函数  xf 关于点  ba, 对称时 ①若 ax  时，  xf 为单调递增，则 ax  时，  xf 为也为单调递增，即     anmbnfmf 22  . ②若 ax  时，  xf 为单调递减，则 ax  时，  xf 为也为单调递减，即     anmbnfmf 22  . 结论 3：偶函数单调性改变，若函数  xf 为定义在R上的偶函数时 ①若 0x 时，  xf 为单调递增，则 0x 时，  xf 为单调递减， 即     nmnfmf  ，       mxmfxfxf  2 . ②若 0x 时，  xf 为单调递减，则 0x 时，  xf 为单调递增， 即     nmnfmf  ，       mxmfxfxf  2 . 结论 4：偶函数单调性改变，若定义在 R上函数  xf 关于直线 ax  对称时 ①若 ax  时，  xf 为单调递增，则 ax  时，  xf 为单调递减， 即     anamnfmf  ，       maxmfxafxaf  2 . ②若 ax  时，  xf 为单调递减，则 ax  时，  xf 为单调递增， 即     anamnfmf  ，       maxmfxafxaf  2 . 二、函数周期性的妙解 技巧总结 类型一：抽象函数的周期性 使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期 解题步骤： 第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 常见的结论包括： 结论 1：若对于非零常数m和任意实数 x，等式    xfmxf  恒成立，则  xf 是周期函数，且 m2 是 它的一个周期. 证明：        xfmxfmmxfmxf  2 mT 2 也可理解为：平移m个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的 股份有限公司 距离为 m2 ， mT 2 结论 2：定义在 R上的函数  f x ，对任意的 x R ，若有    f x a f x b   (其中 ,a b为常数，a b )， 则函数  f x 是周期函数， a b 是函数的一个周期. 证明：        abxfxfbaxfaaxf  abT  口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究 x前的正负. 结论 3：定义在 R上的函数  f x ，对任意的 x R ，若有    f x a f x b    (其中 ,a b为常数，a b )， 则函数  f x 是周期函数， 2 a b 是函数的一个周期. 证明：    f x a f x b    先向左平移a个单位得    baxfaaxf     abxfxf  令 mab     mxfxf  如同结论 1 结论 4：定义在 R上的函数  f x ，对任意的 x R ，若有 1( ) ( ) f x a f x   ，(或 1( ) ( ) f x a f x    )(其中 a为常数， 0a  )，则函数  f x 是周期函数， 2 a 是函数的一个周期. 证明：    xfaxf 1  ，        xfaxfaaxfaxf  12 aT 2 结论 5:定义在 R上的函数  f x ，对任意的 x R ，有    xafxaf  且    xbfxbf  ， (其中 ba, 是常数， ba  )则函数  xfy  是周期函数， ba 2 是函数的一个周期. 另一种题干出现的信息：①若  y f x 的图象关于直线 bxax  , 都对称，则等价于    xafxaf  且    xbfxbf  ，则  y f x 为周期函数且 baT  2 . ②若  y f x 为偶函数且图象关于直线 ax  对称，则  y f x 为周期函数且 aT 2 证明：    xafxaf  向左平移 a个单位，得     axafaaxf     xafxf  2 ，同理    xbfxf  2 ，    xbfxaf  22 利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究 x前的正负.秒出周期 结论 6:若定义在 R上的函数  y f x 对任意实数 x R ，恒有      axfxafxf  成立( 0a )，则  f x 是周期函数，且 a6 是它的一个周期. 证明：由函数            xfaxfaxfaxfxafxf  2            axfaxfaxfxfaxfxf 22  ，向右平移 a个单位得          xfaxfaaxfaxfxf  3333 aT 6 口诀：内同号，外异号，内部只差需 2倍，出现周期很 easy . 股份有限公司 结论 7:若对于非零常数m和任意实数 x，等式 1 ( )( ) 1 ( ) f xf x m f x     成立，则  f x 是周期函数，且 m4 是 它的一个周期. 证明：   1 ( )1 1 ( ) 1 ( ) 11 ( )( ) ( 2 ) 1 ( )1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) f x f x f x m f xf x m f x m f xf x f x m f x f x                      xfmxf 12  如同结论 4，      xfmxfmmxf  2 122 mT 4 结论 8:若对于非零常数m和任意实数 x，等式 1 ( )( ) 1 ( ) f xf x m f x     成立，则  f x 是周期函数，且 m2 是 它的一个周期. 证明：   1 ( )1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( 2 ) 1 ( )1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) f x f x f x m f xf x m f x m f xf xf x f x m f x                  mT 2 结论 9:若对于非零常数m和任意实数 x，等式  1( ) 1 ( ) 0 ( ) f x m f x f x     成立，则  f x 是周期函数， 且 m3 是它的一个周期. 证明：  1( ) 1 ( ) 0 ( ) f x m f x f x     得    1 1 1 1( 3 ) 1 1 1 1( 2 ) ( ) 11 1 1 ( ) f x m f x f x m f x m f x m f x                 mT 3 结论 10:①若定义在 R上的函数  y f x 的图象关于两点    00 ,,, ybByaA 都对称，则  f x 是周期函数， 且 ab2 是它的一个周期. ②若奇函数  y f x 的图象关于点  0,aA 对称，则  f x 是周期函数，且 a2 是它的一个周期. 证明：函数  xfy  满足     02yxafxaf  且     02yxbfxbf  ， 则          xbfxafxbfyxafyxf  222222 00 利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究 x前的正负.秒出周期 结论 11:①若定义在 R上的函数  y f x 的图象关于点  0, yaA 和直线 bx  都对称，则  f x 是周期函数， 股份有限公司 且 ab4 是它的一个周期. ②若奇函数  y f x 的图象关于直线 ax  对称，则  f x 是周期函数，且 a4 是它的一个周期. 证明：函数  xfy  满足     02yxafxaf  且    xbfxbf  ， 则            xafyxabfyxfxbfxafyxf  22222222 000        xabfyxfxafyxbf  222222 00       000 2442222 yxabfyxabfyxf  abT  4 秒记：模仿三角函数 第三步:运用函数的周期性求解问题. 注意：偶函数      mfxfmxf  2 ，一定有     mTmfmf 20  . 分段函数的类周期性 使用前提：所给的函数不具有周期性，但是可以经过伸缩变换将所给的函数变形为周期函数 解题步骤： 第一步：确定函数在一个区间上的函数图像 第二步：结合所给的递推关系式和伸缩变换的结论确定函数在定义域内的图象性质 常见的伸缩变换结论包括： 结论 1：若    mxkfxf  ，即     0,01  kmxf k mxf ，则只需将函数在一个“周期”内的图象 向右平移m个单位的同时，函数值变为原来的 1 k 倍；向左平移m个单位的同时函数值变为原来的 k倍. 结论 2：若     kmxfxf  ，即      0,0  kmkxfmxf ，则只需将函数在一个“周期”内的图 象向右平移m个单位的同时，向下平移 k个单位；向左平移m个单位的同时，向上平移 k个单位. 结论 3：若    mxfxf  ，即     0,0  kmxfmxf ，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横坐标 伸长为原来的m倍时，函数值不变. 结论 4：若    mxkfxf  ，即    1f mx f x k   0,0  km ，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横 坐标伸长为原来的m倍时，函数值变为原来的 1 k ，横坐标缩短为为原来的 1 m 时，函数值变为原来的 k倍. 结论 5：若        mxkfxfxkfmxf  , ，则只需将函数在一个“周期”内的图象横坐标每增加m个 单位的同时，函数值变为原来的 k倍； 结论 6：若         m xkfxf ，则只需将函数在一个“周期”内的图象横坐标每扩大m倍的同时，函数值变为 原来的 k倍；此函数称为倍增函数. 股份有限公司 第三步：解决所给的问题，得到结论 三、函数对称性的妙解 技巧总结 类型一：函数自身的对称性 使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征 解题步骤： 第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性 常见函数的对称性包括： 定 理 1 ： 函 数  xfy  的 图 像 关 于 点  baA , 对 称 的 充 要 条 件 是     bxafxf 22  . 或     bxfxaf 22  或     bxafxaf 2 推论 1：函数  xfy  的图像关于原点O对称的充要条件是     0 xfxf . 证明：设点  11, yx 在  xfy  上，即  11 xfy  ，通过     bxafxf 22  可知     bxafxf 22 11  ，     111 222 ybxfbxaf  ，所以点  11 2,2 ybxa  也在  xfy  上， 而点  11 2,2 ybxa  与  11, yx 关于  ba, 对称，得证. 定理 2：函数  xfy  的图像关于直线 ax  对称的充要条件是    xafxaf  ，即    xafxf  2 . 推论 2：函数  xfy  的图像关于 y 轴对称的充要条件是    xfxf  . 证明：设点  11, yx 在  xfy  上，即  11 xfy  ，通过    111 2 xafxfy  可知 点  11,2 yxa  ，也在  xfy  上，而点  11,2 yxa  与  11, yx 关于 ax  对称，得证. 第二步：结合函数的对称性确定结论 不同函数的对称性 使用前提：解析式有关系的两个函数具有轴对称或中心对称的特征 解题步骤： 第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性 常见函数的对称性包括： 结论 1：函数  xfy  与函数  xafyb  22 关于点  ba, 对称， 等价于函数  xfy  与函数  xgy  关于点  ba, 对称，则    xafbxg  22 ， 结构特征是：横坐标之和为 a2 ，纵坐标之和为 b2 。 特别地，函数  xfy  与函数  xfy  关于点  0,0 对称。 结论 2：函数  xfy  与函数  xafy  2 关于直线 ax  对称， 结构特征是：横坐标之和为 a2 ，纵坐标相等。 特别地，函数  xfy  与函数  xfy  关于直线 0x ，即 y轴对称。 股份有限公司 结论 3：函数  xfy  与函数  xfyb 2 关于直线 by  对称， 结构特征是：横坐标相等，纵坐标之和为 b2 . 特别地，函数  xfy  与函数  xfy  关于直线 0y ，即 x轴对称。 结论 4：函数  xfy  与函数  yfx  关于直线 xy  对称， 结构特征是：横坐标，纵坐标互换。 结论 5：函数  xafy  与函数  xbfy  的图像关于直线 2 b ax  对称。 结论 6：函数  xfy  与  yafxa  的图像关于直线 ayx  成轴对称 结论 7：函数  xfy  与  ayfax  的图像关于直线 ayx  成轴对称 抽象函数奇偶性性的妙解 技巧总结 抽象函数奇偶性：  mxf  奇函数：则         0 mxfmxfmxfmxf 所以对称中心为  0,m  mxf  偶函数：则     mxmxfmxf  对称轴 四：函数嵌套原理求函数解析式 技巧总结 定义：①函数里调用另一个函数   xgf 简称函数嵌套. ②函数里调用函数本身   xff 简称递归嵌套. 函数嵌套原理求函数解析式步骤如下： 形如：    BAxff  第一步：令     AmxfmAxf  第二步：令 mx  ，   Ammf  ,解出 ?m 第三步：求出  xf 的解析式. 函数嵌套中的不动点与稳定点问题 技巧总结 不动点：对于函数  xf ， Rx ,则   xxf  的解 x称为函数  xf 的不动点，即  xfy  与 xy  图象交 点的横坐标. 稳定点：对于函数  xf ， Rx ,则    xxff  的解 x称为函数  xf 的稳定点，即   xffy  与 xy  图 象交点的横坐标. 不动点与稳定点关系的结论： 若 0x 为函数  xfy  的不动点，即   00 xxf  ，则若 0x 必为函数  xfy  的稳定点点. 股份有限公司 证明： 0x 为函数  xfy  的不动点，即   00 xxf  ，      000 xxfxff  . 不动点定理 1：（三条线一交点） 若函数  xf 为定义域内的单调增函数，则    xxff  有解等价于   xxf  有解. 证明：若   xxf  无解，则必有   xxf  或   xxf  恒成立. ①当   xxf  时，函数  xf 为定义域内的单调增函数，则      xxfxff  ，显然    xxff  无解. ②当   xxf  时，函数  xf 为定义域内的单调增函数，则      xxfxff  ，显然    xxff  无解. 若函数  xf 为定义域内的单调增函数，则    xxff  有解等价于   xxf  有解. 不动点定理 2：（三条线无交点） ①当    xxff  时，则      xxfxff  .②   xxf  时，则      xxfxff  . 函数嵌套的零点问题 技巧总结 结论：若函数    xxgf  有解，则    xxfg  必有解. 证明：    xxgf  ，两边同时取反函数得    xfxg 1 ，故  xf 与  xg 为反函数（  xf 与  xg 关于 xy  对称） 同理    xxfg  ，两边同时取反函数得    xgxf 1 故  xf 与  xg 为反函数（  xf 与  xg 关于 xy  对称） 五：构造函数的正规运算 形如 1： )]'()([)(')()()(' xgxfxgxfxgxf  与 ' 2 )( )( )( )(')()()('         xg xf xg xgxfxgxf 推论 1： 0)]'([0)()('  xxfxfxxf ； 0)(0)()(' '     x xfxfxxf 证明如下： )]'([)()(' xxfxfxxf  ； ' 2 )()()('      x xf x xfxxf 0)()('  xfxxf ，则函数 )(xxfy  单调递增； 0)()('  xfxxf ，则 x xfy )( 单调递减． 推论 2：当 0x 时， 0)]'([0)()('  xfxxnfxxf n ； 0)(0)()(' '     nx xfxnfxxf 证明如下： )]'([)()(' 1 xfxxfnxxfx nnn   ； ' 2 1 )()()('       nn nn x xf x xfnxxfx 0)()('  xnfxxf ，则函数 )(xfxy n 单调递增； 0)()('  xnfxxf ，则 nx xfy )( 单调递减． 关于 )()(' xfxf  股份有限公司 推论 3： 0)]'([0)()('  xfexfxf x ； 0)(0)()(' '     xe xfxfxf 证明如下：       + ,x xf x e e f x f x          x x f x f x f x e e          ， 0)()('  xfxf ，则  xexfy )( ；反之  xexfy )( ； )()(' xfxf  ,则  xe xfy )( ；反之  xe xfy )( 推论 4：由于 0)]')(([)()('  axfeaxfxf x ； 0))(()()(' '      xe axfaxfxf 证明如下： x x e axfeaxfxf )]')(([)()('  ； ' 2 ))(()()('      x x e axfeaxfxf axfxf  )()(' ，则  ))(( axfey x ，反之  ))(( axfey x ；若 axfxf  )()(' ，则    xe axfy )( ，反之  xe axfy )( 形如 2：关于 )(cos)('sin xxfxxf  或 )(sin)('cos xxfxxf  推论：口诀：正弦同号，余弦反号 0)]'([sin0)(cos)('sin  xxfxxfxxf ； 当       2 , 2 x 0)]'([sin0)()('tan  xxfxfxxf    ( ) ( )sin cos ( ) 0 0 ; , tan ( ) 0 0 sin 2 2 sin f x f xxf x xf x x xf x f x x x                            当 ，             cos sin ( ) 0 cos ( ) 0 ; , tan ( ) 0 cos ( ) 0 2 2 ( ) ( )cos sin ( ) 0 0 ; , tan ( ) 0 0 cos 2 2 cos xf x xf x xf x x f x xf x xf x f x f xxf x xf x x f x xf x x x                                               当 ， 当 ， 形如 3： xx ln 推论：       ( )ln ( ) 0 ln ( ) 0 ; ln ( ) 0 0 ln f xf x x x f x xf x f x x x f x x                         ( )ln 1 ln ( ) 0 ln ( ) 0 ; ln 1 ln ( ) 0 0 ln f xf x x x x f x x x f x f x x x x f x x x                         ln ( )ln 1 ln ( ) 0 ( ) 0 ; ln 1 ln ( ) 0 0 ln x xf xf x x x x f x f x f x x x x f x x x                         秒记方法： 满足导数构造中加乘减除符号不变性 ①若括号内无 ln x则是   ( )ln ( ) ln f xxf x x      或 ； 股份有限公司 ②若括号内是1+ln x，则是   ( )ln ( ) ln f xx xf x x x      或 ； ③若括号内是1 ln x- ，则是 ln ( )( ) ln x xf xf x x x             或 构造函数的变形运算 技巧总结 形如 1：            00  xfmxxfxfmx          00           mx xfxfxfmx 形如 2：            xnfxfexfexnfxf nxnx  0           nxnx e xnfxf e xfxnfxf         0 形如 3：                  xxxxxx aexfeaexfeaexfxfeaxfxf           0  axfeaexfeaexfe xxxxx 形如 4：                         xxxx e a e xf e a e xfxfaxfxf        0              xxxxx e axf e a e xf e a e xf 形如 5：             nnnn axxfxaxxxnfxfxxaxxnfxfx   11       0 11 11        n axxfx n axxfxdxaxxfx n n n nnn 形如 6：           nnnn x a x xf x ax x xnfxfxaxxnfxfx               0 11 11             n ax x xf n ax x xfdx x a x xf n n n nnn