第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（单元复习课件）-2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 单元考点串讲 第13章三角形中的边角关系、 命题与证明 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 课本复习题 技巧总结 考点透视 考点透视 C D 典例剖析 D B C B D D A 70° 60°或10° 技巧总结 C C 1.判断下列命题是真命题还是假命题： (1) 三角形的三条高所在直线一定相交于三角 形内； （ ） (2)三角形的三个内角中至少有两个是锐角. （ ） 假命题 真命题 2.写出下列命题的逆命题，并判断原命题和它的逆命题是真命题还是假命题. (1)对顶角相等； 解：(1)原命题：真命题 逆命题：相等的两个角是对顶角. 假命题. (2)一个数能被4整除，这个数也能被2整除. (2)原命题：真命题. 逆命题：一个数能被2整除，这个数也能被4整除. 假命题. 复习题 13A组 3.填空： (1)有4条线段的长度分别是3 cm，7 cm，9 cm和11 cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作 个不同的三角形； 3 (2) 三角形中，已知两边长为4 cm和8 cm，还有一边与前面两边长中的一边长相等，这个三角形周长是 cm； (3) 如果三角形的一个外角等于140°，且∠B=∠C，那么∠A= . 20 40°或100° 4.已知三角形两边长分别为4和5，第三边长为正整数.求第三边长. 解：由三边关系可知5-4<第三边长<5+4. 即1<第三边长<9.因为第三边长为正整数，所以第三边长可以取2，3，4，5，6，7，8这7个正整数中任一个. 5.已知：如图，△ABC中，∠A=64°. (1)若△ABC的两个外角平分线BP，CP交于点P，求∠P的度数. 解：(1)如图所示，由角平分线及外角性质可知∠1= (∠A+∠ACB)， ∠2= (∠A+∠ABC). 在△PBC中，由三角形内角和可知 ∠P=180°-(∠1+∠2)=180°-[ (∠A+∠ACB) + (∠A+∠ABC) ] =180°-[∠A+ (∠ABC+∠ACB) ] =180°-[∠A+ (180°-∠A) ] =90°- ∠A =58°. (2)如果BP，CP分别是∠B，∠C两内角平分线，求∠P的度数. (2)如图所示，BP，CP分别平分 ∠ABC，∠ACB. 则∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB. 在△PBC中，由三角形内角和定理知 ∠P=180°-(∠1+∠2)=180°- =180°- (∠ABC+∠ACB) =180°- (180°-∠A) =90°+ ∠A =122°. (3)如果BP，CP中一个是内角平分线，另一个是外角平分线，求∠P的度数. (3)如图所示，BP，CP分别平分 ∠ABC，∠ACD. 则 ∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD= (∠A+∠ABC). ∠P =∠2-∠1 = (∠A+∠ABC)- ∠ABC = ∠A =32°. 6.已知：如图，△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE，CF是两边AC，AB上的高，它们交于点H，求∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数. 解：△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°. 由∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴在Rt△ABE中， ∠ABE=90°-∠A=30°. 同理可求∠ACF=30°. ∵∠FBH=30°，∠BFH=90°， ∴∠BHC=∠FBH+∠BFH=30°+90°=120°. (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和) 解：如图，延长AD交BC于点F. ∵∠ADC=∠DFC+∠C，∠DFC=∠ABC+∠A， (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∴∠ADC=∠C+∠ABC+∠A=30°+ 83°+33°=146°. 7.已知：如图，∠A=33°，∠ABC=83°，∠C=30°，求∠ADC的度数. 8.已知：如图，AB与CD相交于点O，∠1=∠C，∠2=∠D. 求证：AC∥DB. O 证明：∵∠1=∠C，∠2=∠D. 且∠1=∠2，(对顶角相等) ∴∠C=∠D.(等量代换) ∴AC∥DB. (内错角相等，两直线平行) 9.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E . ∠B=38°，∠C=70°.求∠DAE的度数. 解：在△ABC中， ∠B=38°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=72°. 又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC= ∠BAC=36°. 又∵AE⊥BC，∴∠EAC=90°-∠C=20°. ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC= 36°-20°=16°. 10.已知：如图，在△ABC中，若∠A=50°，∠C=60°，BD平分∠ABC，DE∥BC，DE交AB于点E.求∠BDE与∠BDC的度数. 解：∵∠A=50°，∠C=60°， ∴∠ABC=180°-(∠A+∠C)=70°. 又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC= ∠ABC=35°. 又∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC=35°. 在△CDB中，∠BDC=180°-(∠C+ ∠DBC)=180°-95°=85°. 11.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E. 求证：∠CFE=∠CEF. 证明：在△BCE中，∠ACB=90°， 则∠CEF+∠CBE=90°.(直角三角形两锐角互余) 在△BDF中，FD⊥DB， 则∠DBF+∠DFB=90°. 又∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠DBF . (角平分线定义) ∴∠CEF=∠DFB.(等量代换) 又∵∠DFB=∠CFE，(对顶角相等) ∴∠CFE=∠CEF.(等量代换) 12.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 证明：∵AD平分外角∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD. 又∵∠B=∠C， ∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B. ∴2∠EAD=2∠B，即∠EAD=∠B. ∴AD∥BC. (同位角相等，两直线平行) 1.已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c. 求证：a∥b. 证明：如图，作直线l分别与 a，b，c相交. ∵a∥c， 复习题 13B组 ∴∠1=∠3.(两直线平行，同位角相等) 又∵b∥c， ∴∠2=∠3. (两直线平行，同位角相等) ∴∠1=∠2.(等量代换) ∴a∥b.(同位角相等，两直线平行) 2.已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a⊥c，b⊥c. 求证：a∥b. 证明：如图，∵a⊥c， ∴∠1=90°. ∵b⊥c，∴∠2=90°. ∴∠1=∠2. ∴a∥b.(同位角相等，两直线平行) 3.已知：AB∥CD. (1)点E在AB与CD之间，如图(1)，问∠A，∠C与∠E有什么关系？ 解：(1)如图，过点E作EF∥AB， 则∠AEC=∠AEF+∠CEF. (1) 又AB∥CD∥ EF，可得∠AEF=∠A,∠CEF =∠C, 则∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C . (2)点E在AB与CD之间，如图(2)，问∠A，∠C与∠E又有什么关系？ (2)如图，过点E作EF∥AB，则∠AEC=∠AEF+∠CEF. (2) 又AB∥CD∥ EF，可得∠AEF+∠A=180°, ∠CEF +∠C=180°, 则∠AEC+∠A+∠C=∠AEF+∠A+∠CEF +∠C=360 °. (3)点E在AB与CD之外呢[图(3)]？ (3)如图，过点E作EF∥AB. 易得AB∥CD∥ EF，则有∠A=∠AEF，∠C=∠CEF. 故∠AEC=∠AEF- ∠CEF=∠A- ∠C. F (3) 4.(1)已知：图(1)是五角星形.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数； (1) 解：(1)如图，∠EFG=∠B+∠D， ∠EGF=∠A+∠C， 在△EFG中， ∠E+∠EFG+∠EGF=180°. ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. F G (2)已知：图(2)是七角星形.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数. (2)如图，∵∠GIA=∠A+∠D，∠FHE=∠B+∠E， ∴∠3=∠GIA+∠FHE=∠A+∠D+∠B+∠E. 又∵∠4=∠C+∠F，∠G+∠3+∠4=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°. 考点一：　三角形的三边关系 1．(毕节中考)在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是(　　) A．2 cm,3 cm,4 cm　　　 B．3 cm,6 cm,6 cm C．2 cm,2 cm,6 cm D．5 cm,6 cm,7 cm 2．一个三角形的两边的长分别为3和8，第三边的长为奇数，则第三边的长为(　　) A．5或7 B．7 C．9 D．7或9 考点二：三角形的三条重要线段 3．如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是(　　) A． INCLUDEPICTURE"H069A.TIF" B． C． D． 4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分的面积等于(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 5．在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12与15两部分，求三角形各边长． 解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x， 当x＋2x＝12，解得x＝4，BC＋x＝15，解得BC＝11，此时AB＝AC＝8，BC＝11；当x＋2x＝15，解得x＝5，BC＋x＝12，BC＝7，此时AB＝AC＝10，BC＝7. 考点三：三角形的内角和与外角性质 6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是(　　) A．75° B．65° C．55° D．45° 7．适合条件∠A＝eq \f(1,2)∠B＝eq \f(1,3)∠C的△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A等于(　　) A．50° B．60° C．70° D．85° 9．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠a的度数为(　　) A．75° B．105° C．135° D．165° 10．(黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD等于(　　) A．75° B．80° C．85° D．90° 11．(丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB、AC相交于点D、E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为 . 12．(哈尔滨中考)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 . 13．如图，在△ABC中，已知∠A＝50°，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于点P.求∠BPC的度数． 解：∵∠A＝50°，BE⊥AC，∴∠ABE＝40°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BPC＝∠BDC＋∠ABE＝130°. 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠D＝29°，求∠1的度数． 解：∵CD∥AB，∠D＝29°，∴∠ABD＝∠D＝29°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD＝58°，∵CD∥AB，∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°－∠ABC＝122°，∴∠1＝∠BCD－∠ACD＝122°－90°＝32°. 15．问题情景：如图①，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C. 试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝ 度，∠PBC＋∠PCB＝ 度， ∠ABP＋∠ACP＝ 度； (2)类比探索：请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的关系； (3)类比延伸：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 解：(1)130,90,40； (2)结论：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.证明：∵90°＋(∠ABP＋∠ACP)＋∠A＝180°，∴∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°，∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A； (3)不成立．存在∠ACP－∠ABP＝90°－∠A. 理由：△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∵∠MPN＝90°，∴∠PBC＋∠PCB＝90°， ∴(∠ABC＋∠ACB)－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－∠A－90°， 即∠ABC＋∠ACP＋∠PCB－∠ABP－∠ABC－∠PCB＝90°－∠A， ∴∠ACP－∠ABP＝90°－∠A. 【易错分析】 1．知道两边长求等腰三角形的周长时忽视三角形的三边关系而出错． 2．对三角形的高的概念理解不透导致对高的识别出错． 3．解决与三角形边角相关的问题，由于题中无图，画图又模棱两可时，应注意． (2)∠DAE＝eq \f(1,2)(β－α)．证明如下：∵∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，∴∠BAC＝180°－(α＋β)． ∵AE是角平分线，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝90°－eq \f(1,2)(α＋β)．∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－α，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90－α－[90°－eq \f(1,2)(α＋β)]＝eq \f(1,2)(β－α)． 强化角度1　求同一顶点的角平分线与高线的夹角度数 1．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线． (1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； (2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α、β的代数式表示∠DAE，并证明． 解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°. ∵AE是角平分线，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×80°＝40°.∵AD是高， ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝50°－40°＝10°； 解：∠BOC＝90°＋eq \f(1,2)∠A＝125°； (3)若∠A＝n°，求∠BOC的度数． 解：∠BOC＝90°＋eq \f(1,2)n°. 强化角度2　求两内角平分线的夹角度数 2．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线． (1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由； 解：∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB. ∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋∠A＝180°， ∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋2∠BOC＝360°， ∴2∠BOC－∠A＝180°.∴∠BOC＝90°＋eq \f(1,2)∠A.∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠A＝180°－50°－60°＝70°.∴∠BOC＝90°＋eq \f(1,2)×70°＝125°； (2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数； 强化角度3　求两外角平分线夹角度数 3．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为 ； (2)请就(1)中的结论进行证明． 解：(1)∠BOC＝90°－eq \f(1,2)∠A； (2)证明：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分线， ∴∠DBC＝2∠OBC＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠OCB＝∠ABC＋∠A， ∴2∠OBC＋2∠OCB＝2∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°， ∴∠OBC＋∠OCB＝eq \f(1,2)∠A＋90°.又∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°－eq \f(1,2)∠A. 强化角度4　求一内角平分线与一外角平分线夹角度数 4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1、CA1相交于点A1. (1)求证：∠A1＝eq \f(1,2)∠A； (2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3…依此得到∠A2021，若∠A＝α，则∠A2021＝ . (1)证明：CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝eq \f(1,2)∠ACD＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)． 又∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∴∠A1＋∠A1BC＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)． ∵BA1平分∠ABC，∴∠A1BC＝eq \f(1,2)∠ABC， ∴eq \f(1,2)∠ABC＋∠A1＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)，∴∠A1＝eq \f(1,2)∠A； (2)eq \f(α,22021). 强化角度5　“塔形”型 如图是“塔形”模型的示意图，可利用结论：∠1＋∠2＝∠3＋∠4求解相关问题． 1．已知：如图，D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：DE∥BC. 证明：∵∠1＋∠2＋∠A＝180°，∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∴DE∥BC. 2．如图，D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，∠B＝50°，∠C＝60°，求∠BDE＋∠CED的度数． 解：∵∠BDE与∠ADE互补，∠CED与∠AED互补，∴∠BDE＋∠CED＝(180°－∠ADE)＋(180°－∠AED)＝360°－(∠ADE＋∠AED)．∵∠ADE＋∠AED＝∠B＋∠C＝110°，∴∠BDE＋∠CED＝360°－110°＝250°. 强化角度6　“对顶三角形”型 如图是“对顶三角形”模型的示意图，其存在结论：∠1＋∠2＝∠3＋∠4. 3．如图，AC、BD相交于点E，∠A＝40°，∠B＝45°，∠C＝47°，则∠D等于(　　) A．42°　　 B．40° C．38°　　 D．35° 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE交其延长线于点D.若∠1＝24°，则∠EAB的度数为(　　) A．66° B．33° C．24° D．12° 5．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数． 解：∵∠A＋∠B＋∠AIB＝180°，∠C＋∠D＋∠CPD＝180°， ∠E＋∠F＋∠EOF＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠AIB＋∠CPD＋∠EOF＝540°， 又∵∠AIB＋∠CPD＋∠EOF＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°. $$