精品解析：河南省南阳市内乡县第一教育集团2024-2025学年九年级上学期10月期中联考数学试题

2024年秋期内乡县1教育集团期中学情检测 九年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的值不可能是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，通过“二次根式的被开方数不小于0”列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：有意义 ∴ ∴ ∴可以为，，，不可能是 故选：D ． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据“被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式”进行判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； C. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 ∴或 解得，． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简和计算，解答关键是熟练掌握相关运算法则，解答时，逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A. ，故不符合题意； 选项B. ，故不符合题意； 选项C. ，故不符合题意； 选项D. ，正确，故符合题意； 故选：D 5. 如图，一架3m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，M为中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 先变大后变小 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果． 【详解】解：，M为的中点，， ∴是的中线， ， ∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变， ∴的长度也不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 7. 如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入x的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了程序流程图和解一元二次方程，根据题意得：，解出即可． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，则与的面积比是（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：9 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知位似比为，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：， 则与的位似比为， 与的相似比为, 则与的面积比为, 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，求得位似比是解题的关键． 9. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 10. 如图，在中，，是边的中点，是边上一点，连接，．若平分的周长，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 又， 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ， 即， 是的中位线，， ． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知设出a=3k，b=2k，再把a，b的值代入即可求出答案． 【详解】解：， ∴设 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的求值．此题比较简单，解题的关键是注意掌握分式的求值方法． 12. 请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a， ∵要使原方程有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝_____米． 【答案】6 【解析】 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答． 【详解】解：∵ ， 当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝， 当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即， ∴＝， ∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米， 设AB＝x，BC＝y， ∴，即，即2（y+1）＝y+5， 解得：y＝3， 则， 解得，x＝6米． 即路灯A的高度AB＝6米． 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 15. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算，要注意乘法公式和简便方法的运用． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再把所得的结果合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1）6； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识，准确识图是解题的关键． 对于（1），由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； 对于（2），由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 19. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【答案】旗杆的高AB为3米． 【解析】 【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO=∠EGF． 又∵∠AOD=∠EFG=90°， ∴△AOD∽△EFG． ∴． ∴． 同理，△BOC∽△AOD． ∴． ∴． ∴AB=OA−OB=3（米）． ∴旗杆的高AB为3米． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 20. 已知关于的方程， （1）证明：无论为何值方程都有两个实数根； （2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，求出满足条件的正数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵关于方程的判别式， ∴无论 为何值方程都有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程根与系数的关系：，． （1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于，即可得到一个关于m的方程，求得m的值． 【详解】⑴ 略 ⑵解：设方程的两个实数根为，， ∴，， 令， ∴， 整理得，， 解得，或， 所以存在正数，使得方程的两个实数根的平方和等于． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点． （1）作出关于x轴的对称图形； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所作． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形，点的坐标，熟练掌握网结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再顺次连接这三个点即可得； （2）利用关于x轴对称 点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数写出点的坐标即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于x轴对称，， ∴． 【小问3详解】 解：． 22. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 【答案】（1） （2）①55件； ②不存在，理由如下： 根据题意，得， 化简得， ∴， ∴方程无解， ∴不存在每天的销售利润为1650元． 【解析】 【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）①根据每件的利润乘以销售量等于利润1375元，列出方程并求解，再结合每件商品获利不得高于60%，可得符合题意的答案； ②根据每件的利润乘以销售量等于利润1650元，然后根据根的判别式判断方程是否有解即可． 【小问1详解】 解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，将点、代入一次函数关系式得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴y与x之间的函数关系为； 【小问2详解】 解：①根据题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴，， ∴每天的销售量55件； ②略 【点睛】本题考查了一次函数一元以及二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键． 23. 矩形中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为． （1）观察发现：如图1，若点P恰好在边上，________（填写一个与相似的三角形）； （2）拓展探究：如图1，若点P恰好在边上，则线段的长为________． （3）迁移应用：如图2，若E是的中点，的延长线交于点F，其余条件不变，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两组对应角相等的三角形相似，得到即可； （2）折叠得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，得到，利用勾股定理进行求解即可； （3）过点P作交于G，交于H，设设，则， 证明，得到，，在，勾股定理求出的值，再证明，列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：如图，过点P作交于G，交于H． 则四边形是矩形， 设，则， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值已经舍去），即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期内乡县1教育集团期中学情检测 九年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的值不可能是（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一架3m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，M为中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 先变大后变小 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入x的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，则与的面积比是（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：9 9. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是边的中点，是边上一点，连接，．若平分的周长，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为________． 12. 请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根． 13. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 14. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝_____米． 15. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程 （1） （2）． 18. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 19. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 20. 已知关于的方程， （1）证明：无论为何值方程都有两个实数根； （2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，求出满足条件的正数的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点． （1）作出关于x轴的对称图形； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 22. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 23. 矩形中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为． （1）观察发现：如图1，若点P恰好在边上，________（填写一个与相似的三角形）； （2）拓展探究：如图1，若点P恰好在边上，则线段的长为________． （3）迁移应用：如图2，若E是的中点，的延长线交于点F，其余条件不变，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $