1.3 证明 教学设计--2024-2025学年浙教版八年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 1.3证明 教科书 书 名：义务教育教科书数学八年级上册 出版社：浙江教育出版社 出版日期：2013年07月 教学目标 1.进一步体验证明的意义。 2.进一步学习证明的思考方法。 3.进一步学习综合法证明的方法和表述，体验辅助线在证明中的作用。 教学内容 教学重点： 继续学会证明的方法和表述。 教学难点： 例4需添辅助线，证明思路不易形成，是本节教学的难点。 教学过程 1． 复习回顾 什么是证明？ 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立.这样的推理过程叫做证明。 【设计意图】通过对前面所学内容的复习，回顾证明的定义，以及主要的思考方法和常见类型。 二．探究新知 例3 证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题. 师生活动：小学用什么方法说明这是一个真命题？是的，小学是用下面的实验进行说明的。可是通过上一节课的学习我们发现，通过实验的方法得到的结论不一定是正确的，我们应该用证明的方法去验证这是一个真命题，证明的前提是分清命题的条件和结论，故我们应将命题进行改写。 命题改写如下： 已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 师生活动：我们可以用什么工具来代替实验中“拼”的过程？可否能将∠B，∠C搬到∠A的两旁？故此题我们需要添加辅助线，辅助线的作用是为了得到相等的角，因此只要过点A作MN平行于BC即可。添加了辅助线之后，我们可以快速写出这个命题的证明过程。 证明 如图，过点A作直线MN//BC，则 ∠B=∠MAB（两直线平行，内错角相等） 同理，∠C=∠NAC. ∴∠BAC+∠B+∠C =∠BAC+∠MAB+∠NAC=180° 注意：添加辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线.同时这题也是利用第三个角传递相等关系的。 当然，添加辅助线的方法不唯一，还有下图两种添加方式： 1.什么是三角形的外角？ ∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角. 2.△ABC有几个外角？ 有如下图所示的6个外角。 3.请提出一个外角与内角之间数量关系的猜想. 猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和. 验证： 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：∵∠ACD+∠ACB=180° （平角的定义） ∠A+∠B+∠ACB=180° （三角形内角和为180°） ∴∠ACD=∠A+∠B 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和. 证明几何命题时，表述格式一般是： （1）按题意画出图形. （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论. （3）在“证明”中写出推理过程. 注意：证明过程中每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步的括号内. 【设计意图】通过这个活动让学生感受到问题探究的过程，并体会到“猜想——验证——结论”的数学问题探究方法，从而总结出了本节课的教学重点，整理得到证明命题正确的基本方法。 三.例题讲解 例4 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD. 求证：AB//DE. 师生活动：先思考如何证明两条直线互相平行？可以寻找相等的同位角，内错角或者寻找互补的同旁内角，但是这里找不到，怎么办呢？是否可可以通过添加辅助线的方式构造两直线被第三条直线所截的图形，从而找到可以证明平行的条件，故可添加如下的辅助线： M 不管如何添加辅助线，其本质都是“添加辅助线，构造两直线被第三条直线所截的图形”，再去证明这个结论。 法1 证明 如图，延长DC，交BA于点F ∵∠B+∠D=∠BCD 又∵∠BCD=∠B+∠BFD （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和） ∴∠B+∠D=∠B+∠BFD ∴∠D=∠BFD ∴AB//DE（内错角相等，两直线平行） 法2 证明 如图，延长BC，交DE于点M ∵∠B+∠D=∠BCD 又∵∠MCD=∠D+∠CMD （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和） ∴∠B+∠D=∠D+∠CMD ∴∠B=∠CMD ∴AB//DE（内错角相等，两直线平行） 法3 证明 连结BD ∵∠ABC+∠EDC=∠BCD 又∵∠CBD+∠CDB+∠BCD=180° （三角形内角和是180°） ∴∠ABC+∠EDC+∠CBD+∠CDB =∠ABD+∠BDE=180° ∴AB//DE（同旁内角互补，两直线平行） 师生活动：若点C落在如下图的位置应该如何添加辅助线？ 与前一种图形类似，这里有如下三种添加辅助线的方法： 【设计意图】通过例4的讲解，让学生体会到添加辅助线的并不复杂，添加辅助线的目的就是把我们不熟悉的图形转化为我们熟悉的图形。重点讲解了“两平行线间的折点”这一类型的辅助线作法，希望同学们能做一道题会一类题。 四.课堂练习 课内练习2 已知：如图，O为△ABC内任意一点. 求证：∠BOC=∠1+∠2+∠A. 师生活动：此题应该如何添加辅助线？在添加辅助线的过程中选择和尝试是非常需要的，所以同学们一定要自己实际动手操作，突破本节课的难点。 添加辅助线的方法不唯一，主要有下图中的三种添加方式： 【设计意图】分析添线思路往往会得出多种方案，而且可能含有的方案是“此路不通”的，此题让学生体会到添辅助线的过程选择和尝试是非常需要的。另外，此题的解法众多，应鼓励学生探索多种解题方法。 五．课堂小结 1.解决了一个问题：证明几何命题的表述格式： 2.在证明第一课时的学习基础上，又获得了一个证明几何推理的经验： 【设计意图】通过该环节回顾本节课的学习重点，感受知识的生成过程. 学科网（北京）股份有限公司 $$